markeev_book (522779), страница 56
Текст из файла (страница 56)
и входят в тождество 5 симметрично). Вторые производные от и могут дать первое и третье слагаемые в 5. Их сумму на основании свойств 1 и 2 можно записать в виде ((и, и), и) Ь ((и~., и), и) = (и, (и, и)) — (и, (и, и)). 1 Сь Скобки Пуассона и первые интегралы Теперь уже нетрудно непосредственным вычислением проверить, что правая часть этого равенства не содержит вторых производных от функции и, 167.
Теорема Якоби — Пуассона. Пусть переменные о1, р; удовлетворяют дифференпиальным уравнениям Гамильтона 11рл дН аг др,' — — (1=1, 2,..., и). арг дН д1 дрл ' (2) Дли того чтобы функция 1(уо и;, 1) была первым интегралом, необхо- димо и достаточно, чтобы ее полная производная по времени, в силу уравнений (2)., тождественно равнялась нулю: с((/й1 = О. Выразим зто условие через скобку Пуассона. В силу (2) имеем и п 1=1 1=1 Применяя обозначение (1) для скобки Пуассона, необходимое и доста- точное условие того, что ( — первый интеграл, можно записать в виде равенства — + (У, Н) = О. д1 /1окагательство. Пусть 11 и )2 - - первые интегралы. Тогда, согласно (3), дг1 дгз -~-(1'1, Н) = О,, -~-(12, Н) = О, (4) а нужно доказать, что д(21 У2) +Щ,,6), Н) =О (б) Преобразуем левую часть этого равенства. По свойству 4 скобок Пуассона имеем (Л~У2) ~Уз + 21 Имеет место следующее замечательное утверждение.
Теорема (Якоби — Пуассона). Если 11 и 12 первые интегралы системы (2), то из скобка Пуассона (1„12) также будет первым интегралом этой системы. Глава Х! Если тепеРь пРоизвоДные дргггд! и д~г!гд! заменить на их выРажениЯ из равенства (4) и затем воспользоваться свойствами 1 и 2 скобок Пуассона, то получим д (Л,Л) = — ((Л,Н),Л) — (Л,Уг,Н)) = ((Н,Л):Ь) -'((Л,Н),Л). Подставлял зто выражение в левую часть равенства (5), получаем ее в виде ((Нг Уг)г!2) Ч ((зггН)г!1) + ((Л !2)гН) ° Из свойства 5 скобок Пуассона следует, что последнее выражение тождественно равно нулю, что н доказывает справедливость теоремы Якоби-Пуассона. ПРимеР 1 (ДВижение гмАтеРиАльной тОчки НОД ДейстВием пРитя- ЖЕНИЯ К ЗАДАПИОМР ПЕНТРР 0). Пусть ОЧ,Ч,Ч, — неподвижная прямоугольная декартова систе ка координат, а П(с), где гг = Чг + Ч'- + Чг, потенциая силы притнжения.
Если миссу точки принять за единицу, то для функции Галильтона имеем вьгражение Н = 1(рг + Рг + Рг) + П(с). Пуст в Л = Чгрз — Чзрг .гг Чзр1 Ч1РЗ. Проверка показывает, что (!1. Н) = О и (Гг. Н) = О, т. е. Гг и Гг первые интегралы. Они представлягот собой проекции момента количества движения ягатериалвной точки относилгельно центра О (этот момент постоянен, так как рассматриваемое силовое поле является ценгпральным) на оси ОЧ1 и ОЧ2.
Согласно теореме Якоби-.Пуассона, функция (Гг, !2) тоже должна бьппь первым интегралом. Пмеел ч гсдЛ д,6 П~г дГ2') 'гд д. д д./ Чг Рг Рг ЧЦ Полученный интеграл есть проекция лолента количества движения на осв ОЧз. Моясет показатьсяг что теореми Якоби — Пуассона всегда позволяет по двум известным иервылг интегралал найгпи еще один первый интеграл, затем еще один и так далее до тех пор, пока не будет получено количество первых глнтегралов, необходимое для построения общего интеграла системы (2).
Это далеко не так. Яа практике скобгга Пуассона чисто может битв либо константойг либо функцией известных первых интеграяов. 337 З 4. Канонические преобразования г7ля того чтобы молсно было надеяться получить из двух первых интегралов много или далее все первые интегралы, недостающие для построения общего интегр ла, надо, чтобы хотя бы один из двух известных исходных первых интегралов был, характерен для рассматриваемой частной задачи, чтобы оп нак можно полнее отража.г физическую сущность именно данной задачи.
Если за исходные первые интегралы брать интегральб вытекающие из основных, общих для всех систем теорем динамики, то вряд ли в общем случае можно надеяться на зффективиое применение теоремы Якоби — Пуассона. 3 4. Канонические преобразования 168. Понятие канонического преобразования. Рассмотрим гамильтонову систему дифференциальных уравнений в векторноматричпой форме Здесь х — 2п-мерный вектор-столбец,х' = (д', р'), ч' = (дм ° . дн), р =(р ° р)", Д= Е 0 (2) Е„единичная матрица и-го порядка.
Н = Н(х, 1) --- функция Га- мильтона, Н, — матрица-строка размером 1 х 2п, Н, = (Нч, Н,) =1Н„,..., Н,„, Нт,..., Н,„). !егко видеть, что Х =Л = — Л, Л = — Ез„. с1е13 =1. (3) Получение решений системы уравнений (1) часто оказывается очень сложным делом. Поэтому надо искать какие-то пути, упрощающие исследование движения. Например, в 32 показано, что наличие одной циклической координаты позволяет понизить порядок системы (1) на две единицы. Это указывает на то, что удачный выбор обобщенных координат может существенно облегчить исследование движения, а иногда позволяет провести его во всей необходимой полноте.
С такой ситуацией мы встретились в и. 166 при анализе движения сферического маятника. Глава Х1 Ф =Ю;(Ч, р,~), 1л =ЫЧ, Р,1), ('=1,2,", п), (4) или, если ввести обозначение ь =(9', Р). Ц =1(вы ° . Йа); Р = (Ры ...., Ра)., ~ = ~(л, 1). (5) Может случиться, что в новых переменных система уравнений (1) будет иметь более простую структуру и ее интегрирование будет проще интегрирования исходной системы. В новых переменных уравнения движения могут уже не быть гамильтоновыми. Мы, однако, будем далее рассматривать только такие преобразования (4), которые пе нарушают гамильтововой формы уравнений движения. Это будут канонические преобразования.
Ниже мы дадим определение канонических преобразований, получим критерии каноничпости и укажем способ нахождения функции Гамильтона, отвечающей преобразованным уравнениям. Практический смысл канонических преобразований состоит в упрощении уравнений движения, в выборе таких новых координат в фазовом пространстве, которые более удобны для решении задачи о движении системы, нежели исходные старые координаты. Метод канонических преобразований является широко распространенным и зффективяым методом исследования гамильтоповых уравнений.
Пусть М вЂ” матрица Якоби преобразования (4), доз да1 доз доз дЧз ''' дча дрз ''' др„ двУ„дЯа дЯ„дЦ„ дЧ1 "' дча дрз "' др. дЦ дЦ дЧ др дР дР (6) дРз дРз дР, дРз дЧз '" дЧп дрз "' дра дР„дРа дра дР„ дчз ''' дча дрз ''' др„ Преобразование (4) называется канонически и, если существует такое постоянное число с ~ О, что матрица Якоби (6) удовлетворяет тож- деству М'Лм = сЛ, (7) В некоторой области фазового пространства Чы Чз, ..., Ча, рз, рз, ..., Р„рассмотрим обратимую, дважды непрерывно дифференцируемую замену переменных Ч, р — ~ Ц, Р, содержащукз время 4 в качестве параметра: Канонические преобразования где матрица Л определена равенством (2). Число с называется валентностью канонического преобразования; если с = 1, то преобразование называетсп униваленппзым.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Матрицы М, удовлетворяющие тождеству (7) при с = 1, называются самплектическами если же в (7) с у': 1, то матрица М называется обобщенно симплектической (с валентностью с). Так как, согласно (3), де1Л = 1, то из равенства (7) на основании теоремы об умножении определителей получаем бесМ = ~с", пь е. обобщенно симплектические матрицы являются невырожденны- ми.
Злмечлиие 2. Лусть е фазовом пространстве последоеителько выполнены два канонических преобразования: Ьз — — Ьз(я. 1) с еалентностью ст и ~г = з,з(~м 1) с валентпостью сг. Тогда результирующее преобразование Ч = Ч(я, 1) = — ~г(з,з(г, 1), 1) таксе будет каноническим, и его волентность с равна произведению сзсг. Б самом деле, по условию М',ЛМ~ — — сзЛ, Мз — — д~,/дя МгЛМг — — сгЛ, Мг = дьг/дь,.
Поэтому с~~ д1г дл дб, дг а следовательно., М'ЛМ = (МзМз)'Л(М Мз) = М',М',ЛМзМз = = МзсгЛМз = сгМзЛМз = сгсзЛ. Отсюда, согласно определению (7) канонического преобразования, следует доказываемое утверждение. Пусть, далее, задано каноническое преобразование з. = з,(л, 1) с валентностью с. Тогда обратное преобразование г = я(з,, 1) такязе будет каноническим, а его валентность равна 1/с. Действительно, умножив обе части тождества (7) слева на матрицу (М') ~, а справа — на матрицу М ~, получим 1зЛ = (М') ЛМ '. с 24О Глава Х! Учитывая перестановочность операций транспоцирования и взятия об- ратной матрицы, приходим к равенству (М ')'ЗМ з = — Л.
(9) Так ьак матрицей Якоби обратного преобразования х = х(Ь, !) является матрица М ", то отсюда следует, что это преобразованис каноническое и имеет валентность 1!'с. Отметив еще, что тождественное преобразование Цч = Чи Р; = р; (з' = 1,2,...,п), очевидно, будет каноническим, приходим к выводу, что совокупность всех канонических преобразований образует группу. Упивалентные преобразования составляют ее подгруппу.
169. Критерии каионичности преобразования. Равенство (7) позволяет легко проверить, является преобразование (4) каноническим или нет. Приведем еще некоторые критерии каноничности. Они эквивалентны условию (7) и могли бы быть приняты за определение каноничности преобразовании (4). Сначала введем понятие скобки Лагранжа и дадим критерий каноничности в терминах этих скобок. Пусть заданы 2п функций уззч чзз' (3 = 1з 2,..., и) от двух переменных х, д и еще, может быть, от некоторых других переменных.
Тогда скобкой !агракзки для этих функций называется величина (дуз! д4! дуз! дф!') (, дх ду ду дх ) ' з'=з (10) Теорема. Если в качестве ьззч з)зз принягпь функции ьгз, Р из (4), то необходимое и достаточное условие капокичкости преобразован я (4) запишется в виде (Чо Чь) = О. [р„рь) =(), (Чзз рь] = сбил (з, у = 1, 2, ..., п). (11) Здесь бщ — символ Ерокекера (бзь = 1 при з, = !с и б,ь = О при з ф к), а с — валектиость канонического преобразования. МЛМ дч дч дч дч д1;з ' др др ' д1;з (12) Доказательство. Доказательство получается при помощи непосредственной проверки. В самом деле, левая часть равенства (7) может быть записана в виде следующей блочной матрицы: 341 Канонические преобразования Вычисления, проведенные для левого верхнего блока этой матрицы с учетом обозначения (10), дают (эо)'Те (др)'до ~(до де до;де) э'=1 = ~Пу у П!,1 л=, Проведя аналогичные вычислении для остальных блоков матрицы (12), убеждаемся, что равенство (7) может быть записано в виде ~ИЧд, Уь4, „„~ИВ: Рь)~~„л, -Ьд»лйч,= ~.(Рд М~~',,= () Для доказательства теоремы теперь лостаточно заметить, что равенства (11) и (Вй) эквивалентны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
