markeev_book (522779), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Получим теперь критерий каноничности преобразовании (4)д использующий скобки Пуассона. Теорема. э7ля того чтобы преобразование (4) было каноническим, необходимо и достагпочно, чтобы скобки Пуассона функций Оэч Р, от перелденных ды..., д„д ры..., р„, 1 удовлетворяли равенством Яп Щ) =О, (Рд, Рь)=О, (О;, Рь)=од;ь (д', у=1, 2,..., и). (14) МЛМ' = сЛ, (15) которое эквивалентно равенству (7). Левая часть последнего равенства может быть представлена в виде блочной матрицы Доказательство. Доказательство проводится при помощи непосредственной проверки эквивалентности равенств (14) и равенства (7)д положенного в основу определения каноничности преобразования (4).
Возьмем от обеих частей равенства (8) обратные матрицы и учтем, что, согласно (3), Л ~ = — Л. Тогда придем к равенству Глава Х1 Непосредственные вычисления показывают., что левый верхний блок этой матрицы может быть представлен в виде да да да дЦ ( г)г1* дць дЯ* дЯь ч) (, дд: Ор, др. дуз! з=1 =~На, а)~~",ь=, Аналогичные вычисления для остальных блоков матрицы (16) позволнют записать равенство (15) в следующей форме: ~1(а, аьп." ~, ~~(а., Рн) ~~",=, (17) — ЦС~г, .Р,Н,". „, ЦР;, Ря) ~~", „, и п с 'р рь3аь — ~~ РьбЯь ь=г ь=г (18) является полнььн ди44еренциалом некоторой у1ункции Р(д, р, 1).
При этом под полньгми дифферендиалами 6Г и бф, (Й = 1, 2,..., и) понимаются дифференциалы, соответствующие изменению переменных д, р: величина 1 считается параметром. Доказательство. Для доказательства этой теоремы достаточно показать, что условия того, что выражение (18) есть полный дифференциал, эквивалентно равенствам (11). Из (4) имеем ю.=т.(, и;~ . ь) г Пь1ь . дч)ь ~,ду, ' др; Подставив эти дифференциалы в выражение (18) и изменив порядок суммирования, получим зто выражение в виде ~ ~'(Х„бу;+ У,бр,), а=1 Отсюда следует, что равенства (14) и (7) эквивалентны, что и доказывает теорему. Приведенные критерии каноничности, как и само определение (7), позволяют по явно заданному преобразованию (4) решить, является оно каноническим или пет.
Для дальнейшего построения теории канонических преобразований очень важен следующий критерий каноничности. Теорема. Для каноничности преобразовании (4) необходимо и достаточно, чтобы существовала отличная от нуля постоянная с такая, что выраисение 1 4. Канонические преобрпзования где приняты обозначения Х„= ср; — ~~ Р~, ', 1; = — ~~ Р~, (з' = 1, 2,..., и). (20) дЕ " дЕ Условие того, что выражение (19) есть полный дифференциал, записы- вается в виде совокупности равенств дХ, дХь дуз д1 ь дХ; д1'ь доь дои ' дрь др; ' дрь даи Непосредственное вычисление, использующее обозначения (20), пока- зывает, что равенства (21) запишутся соответственно в виде (суи дь) = О, (рз, рь) = О, (уз, рь) = сбзь (з, й = 1, 2,..., п). (22) Доказательство. Действительно, из (б) и (1) имеем — = — — + —, =~ЛН'+ —, д«д«йх д«, д« йг дх аг 04 ' дг' (20) Но ! н,' = н, —.« ~ = (н,м)' = м'н,'.
Позтому, учитывая тождество (15), равенство (23) можно записать в виде й«, д« вЂ” = Лсн4+ —, с)г дг (24) Так как зти равенства совпадают с равенствами (11), то отсюда следует справедливость доказываемой теоремы. 170. Ковврнантность уравнений Гамильтона прн канонических преобразованиях. Если преобразование (4) является каноническим, то в новых переменных система уравнений (1) снова будет иметь гамильтонову форму.
Более точно, имеет место следующее утверждение. Теореме. При каноническим преобразовании (4) любая гамильтинова система дифференциальных уравнений (1) переходит снова в голильтонову систему (вообще говоря, с другой функцией Галилыпона Я(«, с)) Глава ХГ Покажем, что если преобразование (4) каноническое, то — ',~ =ди", дГ (25) где И' некоторая функция переменных ~, и В самом деле, опирансь на соотношения (3) и (6), получаем из (25) следующую цепочку равенств: — -И;.1, —, .1 И,, —, 1М И,—, И;, т. е.
соотношение (25) зквивалентно равенству И;= —,. ЛМ, (26) где И' рассматривается как функция пероменных и, р, Г. В скалярной форме равенство (26) запишется в виде 2и соотношений ОР, Оф'1 ( = Ф~ (1 = 1, 2,..., я), Ог Ор~ ( где обозначения Фл, Ф~ для производных функции И' введены для крат- кости записи.
Величины Фл и Ф~ являются производными по дь и р~ от некоторой функции И' в том и только в том случае, когда выполнены условия ОФь дФ; дФь дФ; ОФь ОФ; Ойт ОгГь Ор. Орь др' Оал Эти условия, как показывак>т непосредственные вычисления, могут быть записаны в виде д д — [о;, Г,) = О, — (Р;, Рь) = О, Так как преобразование (4) каноническое, то имеют место равенст- ва (11), откуда вытекает справедливость равенств (27), а следователь- но, и равенства (25). ОИГ,~-' (' ОЯ дР1 х=г Ои с-'- (дГГ ОЖ Ор~ ~-' ( Ор~ ОГ х=г — (Пи рь) =0 (1, 5=1, 2,..., и).
(27) З 4. Канонические преобразования Таким образом, уравнение (24) может быть записано в виде — = Л(сН4 + И'4). аь сзк Если обозначить Я функцию сН+ И', то последнее уравнение примет гамильтонову форму — = ЛЯ~. гП Роль новой функции Гамильтона играет функция Я. Теорема доказана. Приведем некоторые простые, по практически важные примеры канонических преобразований.
Старую и новую функции Гамильтона обозначим соответственно Н(ч1, р. 1) и Я(Ц, Р, 1). Пгимкг 1. Тождественное преобразование (28) % =узч Р;=р, 0=1, 2,", )- Это унив лентное каноническое преобразование; при этом Я =Н(ф Р,1). Примну 2. Пуеобразовиние (29) Оз=рч Р.=д (э=1, 2„..., п). Это каноническое преобразование с валентностмо с = — 1. Оно меняет ролями обобщенные координаты и обобщенные импульсы.
При этом Я = — Н(Р, Ч, 1). Примкр 3. Преобразование чсз = абаз, Р, = ДР, (1' = 1, 2,..., и; а = сопз1, Э = сонат, аЭ ф О). (30) Это пуеобразование каноническое, и сс "и: Пгимкг 4. Преобразование Щ = арз, Р = До (у = 1,2,...,п",а = сонет,,д= соплс,аП ф О). (31) Это преобразование также каноническое, а Глав« Х1 Пример»л 2 и 4 показывают, что при канонических преобразованиях может исчезнуть различие между координатами и импульсами. Применение названий «импульс» и «координата» может стать *тото условным. Поз«кому для пары переменных 1,)г и Ры очень удобно низвание «канонически сопряженные переменныеэч Примят 5.
Перенос начала координат в фазовом пространстве (32) представляет собой унивалентное каноническое преобразование. При этом новые переменные Ц. Р удовлетворяют системе дифференциаль- ных уравнений с функцией Гамильтона Я = Н(ьг + З' (1), Р + д" (1), 1) + — . Ц вЂ” — ° Р, (33) где точкой обозначено скилярное произведение векторов. Поимки 6. Преобразование уб =.,э»2т,э1п~р, рд = ~/2г сову» (у =1, 2....., и) (34) и Н= — ~> Л(й +р), з=з (35) то уравнениям для переменных рэ, т соответствует функция Гамиль- тона а Й = ~~ Лз.тз.. 4=1 (35) Поимки 7.
Преобразование 1гз =уз — зр;, Рэ. =йз+гр (» =1, 2,..., п), (37) где з — мнимая единица (Р = — 1), осуществляет переход к комплексно сопряженным переменным. Оно является киноническим с валентнос- тью 21 и (38) является унивалентным каноническим преобразованием. Оно осуществляет переход от пары канонически сопряженных переменных уэь р, играющих роль декартовых координат на плоскости, к паре канонически сопряженных перел«еннь х рз, т (ч»э — «координата», т — «импульс»), имеющих характер полярных координат. Если старая функция Гамильтони имела вид 347 Канонические преобразования Если, например, старая функция Гамильтона имеет вид (35), то 'Н = з ~~~ Лзц)зР,.
з=з (39) 171. Канонические преобразования и процесс движения. Очень важным примером канонического преобразования служит процесс движения., описываемого гамильтоновой системой дифференциальных уравнений. ПУсть длЯ гамильтоноиой системы (Ц пРи С = 0 Я' = г,', = (ое, Ро). Тогда вектор-функция Ь' = ~'(зо.. 1) = (П'(Чо, Ро: Ц Р'(гяп Ро ~)) УЛОВ летворяет тождеству — = ЛН,'. йь иь (40) Она задает преобразование фазового пространства оо, ро -ь о. р. Теорема.
Преобразование фазового пространства, задаваемое двилсе- ниями гамильтоновоб системы, является унивалентным каноническим преобразованием. М'ЛМ = Л. (41) Для этого найдем дифференциальные уравнения, которым удовлетворнют матрицы М и М'. Продифференцировав обе части тождоства (40) по зо, получим — =ЛН дрда, = 44дп, или = ЛН44М. (42) Транспонируя обе части этого равенства и учитывая соотношения (3) и симметричность матрицы Нсс, получим дм' ПМ = М'Н,'4 ' = -М'Н„. (43) Учитывая (42) и (43), вычислим теперь производную по времени от матрицы М'ЛМ. Имеем Лм М'Л = — М'Н ЛЛМ М'ЛЛН М. гн г1р Й 44 44 Доказательство.
Надо убедиться в том., что матрица Якоби М = д~/дго удовлетворяет тождеству (7) при с = 1, т. е. 348 Глава Х1 Если теперь заметить, что, согласно равонствам (3), Лз = — Езп, то это выражение можно представить н виде а М'ЛМ) а» Отсюда следует, что матрица М'ЛМ постоянна. Но при 1 = О она, очевидно, равна Л. Поэтому при всех 1 имеет место равенство (41). Теорема доказана. 172.
Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Пусть Со -- некоторая область фазового пространства йы ..., йю ры ..., р„. Из каждой ее точки д»о. ° оно: р»о, ° °, рпо как из начальной «в«ппустим» траекторию системы уравнений (1). Пусть ѫ— совокупность точек о = о(оо, ро, 1), р = р(йо, ро, 1) в момент времени 1, 1~ — объем области Со, а 1㫠— объем области Сы Теорема (Лнувилля).
При движении гамилыпоновой системы фазовый обеем остается постоянным, т. е. К, = »о при любом Е Доказательство. Имеем равенства »о = / ... / 4йо... Пйпойр»о ° йроо но 'г« = / ... ~с(у~...«(й с(р ...ар„,. (44) я, 1г» = ~...Л~ ~бе«М~«(7»о. ДИойР»о ДР о, (43) где (в обозначениях предыдущего пункта) М = д~/дхо. Матрица М удовлетворяет равенству (41). Так как деСЛ = 1, то из него следует, что Ое«М = ~1. Но прн 1 = О, очевидно, М = Е „и Ое«М = Ое«Е»„= +1. Отсюда, ввиду непрерывности М, получаем, что и при любых с ОеФМ = +1. Поэтому из (44) и (45) следует, что»'» = Ът Теорема доказана.
173. Свободное каноническое нреобрезование и его производящая функция. Пусть преобразонание (4) каноническое н в некоторой области фазового пространства удовлетворяет условию йе», 7. -О. д«Л др (46) В интеграле, входящем во второе из этих равенств, перейдем от переменных Ом....,ап, Ры...,Р„к пеРеменгпам д»о Чоо, Р»о °,Рпо. Тогда, как известно из курса математического анализа, 849 Канонические преобразования Тогда преобразование (4) называется свободныл~ каноническилг преобразованиелс При выполнении условия (46) из первых п равенств (4) можно выразить р через д, Ц и С Тогда выражение (18) может быть записано в виде н п с~~~ рьбдл — ~~~ РьбГ1ь =бГ(д, р(д, О, 1), 1) =бд(д.
Ц,1), (47) ь — 1 ь=1 где Я вЂ” функция Р, в которой р заменено на р(д, 1~, 1). Из равенства (47) вытекв1от соотношения дЯ „ дд дд; " дсч — =ср;... = — Р; (1=1, 2,..., и). (48) дед Ое1,, ~0 (49) формулы (48) задают свободное каноническое преобразование с валентностью с. При условии (49) формулы (48) можно прецставить в виде (4). В самом деле, условие (49) означает, что первые и равенств из соотношений (48) можно разрешить относительно Щ. Сделав это, получим Гг'; = Гг;(д, р, 1). Подставив эти функции в левые части последних и равенств из (48), получим Р, = Р;(д, р, 1).
В и. 170 мы получили уравнение (24) и показали, что его можно записать в гамильтоновой форме. Осуществим эту запись, используя производнщую функцию 5, В (24) Н представляет собой старую функцию Гамильтона, выраженную через новые переменные, а < д~~' (дЮ'(д, р, 1) дР'(д, р: 1) д1! (, д1 ' д1 (50) В первых и равенствах соатпатепнй (48) величину Ц заменим на ее выражение чг = Я(д, р, 1). В результате эти равенства станут тож- дествами относительна старых переменных д, р, С Продиффоренциро- вав их по 1, получим дзс дЦь дзс +,, =0 (з=1, 2,..., и). Функция Я называется производнщей функцией свободного канонического преобразования (4). Очевидно, что верно и обратное утверждение: если заданы дважды непрерывно дифференцируемая функция Ь(д, Ц, г) и число с ф О, то при условии 350 Гинее ХУ Меняя здесь порндок дифференцировании и пользуясь последними и равенствами из (48), имеем дЯьдРь+ И~8 =0 ('=1, 2,..., ~) дг дд„д1дщ или Оц' ()з.е Пй П 1'П.С д1 дауду ОР дР ( д~/ ' (51) Далее, последние и равенств нз (48) дают ПР' ()г8 П (08 ) дг дЦд1 д(~ 1, д~/ (52) Из (50) и (51), (52) получаем Следовательно, уравнение (24) имеет вид й — — Л си+ й (53) и новая функция Гамильтона Я=сУ+ —, дЯ <91 ' (54) где Н и 8 должны быть выражены через Ц, Р, 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
