markeev_book (522779), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Например, для е= — '[е.'+р'~ее~а(,тг„'~у) [ещ имеем г 'Н = — р„+ + — ) + П(т). 1 2 Рт Рв 2т ~ с тгч;пгд (87) рс = 81(Р1, Рг, ..., Р„, С) (1 = 1, 2, ..., и), деС вЂ”, ф О. (88) дф дР Формулы (88) задают связь старых и новых импульсов (но не координат). Полоясим с = 1, а (89) Ь=1 Тогда из формул (62) находим соотношения д01 с)д'ь 1,1= д — — ~~цадР (1 =1, 2,", и).
Ь=1 (90) Пгимпг 8. Пусть видана некоторая дифференцируемая обратимая за- мена обобщеннь х импульсов: улова Х1 91 = 1ь;Ю,, Ъ,..., 11ь, Рм Рз,..., Рв, 1) (г = 1, 2, ..., и). (91) Формулы (88) и 191) задают унивалентное каноническое преобразова- ние. 9 5. Метод Якоби интегрирования уравнений движения 175. Уравнение Гамильтоне — Якоби. Теория канонических преобразований приводит нас к методу Якоби интегрирования канонической системы уравнений движения '"а ОН сзР ' ОЯ д1 др сЫ до, Если эту систему подвергнуть свободному унивалентному каноничес- кому преобразованию, определяемому уравнениями = — Р; (1=1, 2,..., п), до Юь 1зг ~ д8 дгя 12) где производпщая функция 8 имеет в качестве аргументов величины ою...,о„, Г1м...,ьд„, 1, то.
согласно и. 173, система уравнений (1) примет вид (8) где новая функция Гамильтона Я определнется равенством дб'(д;, Г1ь 1) Н = Н(д„, ро 1) + дб в правой части которого величины до р; (после вычисления частной производной до/д1) должны быть выражены через 1тзч Рд на основании уравнений (2).
Если функция 8' выбрана так, что 71 = О, то уравнения (3) сразу интегрируются: Эти соотношения представляют собой линейную неоднородную систему уравнений относительно ум дз,..., д„. Определитель системы — это транспонированный якобиан из (88). Так как он отличен от нуля, то система уравнений (90) однозначно определяет величины ум дз,..., у„ как функции О, Р и 1с г б. Метод Якоби ннтегрировання уравнений двьзеения 359 где оп /1, — произвольные постоянные. Если функция Я удовлетворяет условию (49) п. 173, то из (2) находится зависимость исходных переменных от времени 1 и 2п произвольных постоянных ое, //е: (6) Функция Я, согласно (2) и (4), должна при этом удовлетворять уравпс нию — +Н е/е, —, (7) Это уравнение в частных производных называется уравнением Гамильтона — Якоби. В нем Я есть функция д„дг,..., дв и Н величины Г/м С/г,..., ь/„рассматриваются как параметры.
Общее решение уравнения в частных производных зависит от произвольных функций. '1 акое решение называется общим интегралом этого уравнения. Однако в приложениях к решению задач механики главную роль играет не общий, а полный интеграл уравнения (7). //олнььм интегралом уравнении (7) называется его решение Я(уп ам 1), зависящее от и произвольных постоннных им вез,..., он и удовлетворяющее условию о" р дЯ 1ч 11= 1 2 и) г/аь " до, (9) где Д произвольные постоянные.
Теорема Якоби позволяет свести интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) к нахождению полного интеграла уравнении (7) в частных производных. Вторая задача, конечно, не проще первой, а даже более сложна. Но оказывается, что метод Якоби является весьма эффективным среди существующих методов нахождения точных решений системы (1).
Он также пвляется одним из наиболее мощных методов приближенного интегрирования канонических уравнений. Таким образом, мы получаем следующий способ интегрирования урав- нений движения (1), основанный на рассмотрении уравнения (7).
Теорема (Якоби). Если Я(дь, егп /) - полный интеграл уравне- ния Гамюьътона — Якоби (7)е содерлсащий и произвольных постоянных ом ьхз,..., п„, то рещение (6) уравнений (1) находится иэ соотноше- ний 360 Глава Х1 Общего метода нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби (7) при произвольной функции Н не существует.
Остановимся только на некоторых частных способах нахождения полного интеграла. 176. Уравнение Гамильтона — Якоби длн систем с циклическими координатами. Пусть координаты дьв.х,..., д„— циклические. Тогда Н = Н(д,,..., дь, р„..., р, р„,с..., р„, 1). Полный интеграл уравнения (7) ищем в виде Н = схмьхдь,х+... + овд„+ Н*(дх,..., дь, схх,..., сх„, 1). (10) Подставив (10) в (7), получим уравнение для о* до* до' до* + Н(дх,..., дь,,..., „, схь.~х,..., схсе 1) = О.
(11) Пд,' Таким образом, нахождение полного интеграла уравнения (7) приводит к рассмотрению уравнении (11), в котором Н* зависит уже не от (и+ 1)-й переменной, а от (и — й+ 1)-й, т. е. число независимых переменных уменьшилось на число циклических координат. 177. Уравнение Гамильтона — Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем. Пусть функции Гамильтона не зависит явно от времени: Н = Н(дх,..., д„, рх,..., р„). Тогда существует обобщенный интеграл энергии Н = 6, где 6 — про- извольная постоянная. В уравнении (7) положим (12) где функция Ъ' не зависит от 6 Для нее получаем уравнение Н(ддд1д1) Это уравнение и будет уравнением Гамильтона — Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем.
Из (13) находим Р = Р(дх,..., дсе ох,..., о„х, 6), где схх,..., оя х — пРоизвольные постоннные, не зависящие от 6. Из (12) имеем выражение для Н: (14) о = — 61+ Р(дх,..., дсм сх„..., н„х, 6). 5 б. Метод Якоби интеериронанин урбанский движения 361 Если функпия д удовлетворяет услови|о (8) (нн = 6), то (14) — пол- ный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (7) и равенства (9) дают соотношения д1' — =р;(1=1, 2,..., и), д4ь = — дь(и=1, 2,..., и — 1), (15) — =1 — д, д1' д6 — н; (16) где ды..., д„произвольные постоннные. Последние и — 1 соотношений в (15) --- геометрические: они дают траектории в и-мерном координатном пространстве ц~,..., о,.
Вместе с равенством (16) зти соотношения дают и закон движения по траекториям. Первые и соотношений в (15) служат для определения импульсовр;(1 — 1, 2,..., п). 178. Характеристическая функция Гамильтона. Функцию ~', входящую в правую часть равенства (14), пазыва|от характеристической функцией Гамильтона. Она удовлетворяет уравнению (13) и была введена в п. 177 как не зависящая от времени часть производящей функции 8, задающей свободное каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона Н(ды..., д„, ры.... р„) консервативной илн обобщенно консервативной системы к функции Я = О. Но функцию 1 "(ды..., оо, аы..., а„ы 6) можно рассмотреть как производягцую функцию некоторого канонического преобразования, свойства которого отличны от свойств преобразования, осуществляемого функцией Н.
Рассмотрим унивалентное каноническое преобразование, при котором новые импульсы Р; будут постолнными сч (1 = 1, 2,..., и), причем ььо = 6. Пусть соответствующей производящей функцией будет Е(ды..., до, Ры..., Р„ы Р„). Согласно п. 174, старые и новые переменные связаны соотношенинми вида (62): дГ,~ д$ дЪ. дв' ' дР; дсь (17) Так как Н = 6 = сьо, то отсюда следует уравнение (18) которое совпадает с уравнением (13).
Но функции Г но зависит от й поэтому из равенства (63) и. 174 имеем такое выражение для новой функции Гамильтона Глава Х1 Таким образом, характеристическан функция Гамильтона задает каноническое преобразование, приводящее функцию Н(оы ..., дп, ры ..., р„) к такой форме, когда все новые обобщенные координаты Ц, (1 = 1, 2, ..., и) являются циклическими.
В новых переменных — — — О (з=1, 2,..., и), дГЛ В7( — ВР— зь~ (19) (20) где дзи символ Кронекера. Поэтому Рз = сз; = сопят, 1зз = — Вз = сопят (1 = 1, 2,, и — 1), Р„= Ь, = сопят, 1,)„— 1 = — В„= сопзФ, (21) Замене импульсов (21) можно поставить в соответствие унивалент- ное каноническое преобразование ф, оз — > сг,*, о,". всех канонически сопряженных переменных (1 = 1, 2,..., и). Для этого (см.
пример 8 п. 174) доститочно взять проиэводтцую функцию в виде Вз = ~~', Г2ьа,(сьз,..., о*„). ь=з В новых переменных функция Гамильтона будет иметь вид Я = йп(оз,..., ы*„). (22) Преимущество новых импульсов ог состоит в том, что они могут быть увязаны с физической сущностью задачи. Один частный случай выбора новых импульсов вместо величин оц риссмотрен далее в зб. что, в силу (17), находитсн в соответствии с формулами (15), (16). Злмкчлник 3. Выбор величин глз, входящих в хириктеристическую функцию Га.нилыпона, в качестве новых импульсов является в некоторой степени произвольным,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
