markeev_book (522779), страница 62
Текст из файла (страница 62)
„2 ° 2 г' 2я) я1з / з' 2 илиг если воспользоваться четностью подынтегрального выражения и сделать замену гг = 2ж, 2 1 — йз з!и т. ггж,. 4 ~е 3 2 явз е т. е. 4ыоЕ(,Ез) я1гз (34) Принимая во внимание формулы (21) и. 95, из (34) находим д1 4 71Ю д1з кЦ Так как ф О, то равенство (34) разрешимо относительно 1з, причем д1 для производной функции 1з по Г имеем выражение джаз л1з д1 4ь еК(1з) ' (35) 2гаез Я=— г.г 3 (36) Новая функция Гамильтона определяется из (31) и (34). Отбросив несущественную постоянную — гв„г получим з 379 З й. Переменные действие-угол где 1з = йз(1) функция, обратная функции 1(И~) из (34). Учитывая (35), для частоты игз вращений получим такое же выражение: Д'И 074 дйз кыо джаз д7 5зК(1,)' (37) За промежуток времени, равный —, величина П получает прираще2я ыз пие 2я.
Для производящей функции (6) получаем выражение 'Г,(П~, йз). (38) Угловая переменная ш вводится при помощи равенства д$' дЪ' дйз 07 01е 07: которое, при учете формул (35) и выражения (20) и. 95, преобразуетсл к виду К(йз) и с о Отсюда и из (33) находим (К(яз)гв'~ 2ые (К(гсз)п~) 1Е(Чб ам ае ° ° ° ао — Ы й) о=1 (40) Отсюда и из формул (17) п. 178 получим Р;= —,=, =Р,(йе, аы аз.....аи ы Я) (г=1, 2,..., и). (41) д1г дУ, дое дое Здесь йз — — йз ( Г) из (34). Формулы (39) задают унивалентное каноническое преобразование о, Р— ~ щ, 1, приводящее функцию Гамильтона (13) к виду (36).
183. О переменных действие — угол для системы с и степенями свободы. Ограничимся лишь случаем, когда уравнение (13) п. 177, определяющее характеристическую функцию Гамильтона е', является уравнением с разделяющимися переменными. Тогда 380 Глава Х1 Эти уравнения задают проекции траектории в 2и-мерном фазовом пространстве ды оз,..., а„.ры рз,, р„на плоскости дь р; (1 = 1, 2,..., и). Ьудем предполагать, что движение в каждой из плоскостей обладает свойством периодичности, т. е. в плоскости о;, р; кривая (41) замкнута или периоднчна по ри с некоторым периодом аль Так как в случае (40) происходит полное разделение переменных, то при фиксированных величинах аы жз,...оа ы и движения в плоскостях о;, р; (1 = 1, 2,..., и) независимы и каждое из них можно исследовать, как это было сделано в и.
181 в случае одной степени свободы. Имеем ~р~дч' = 2 ~ д '1% (~ =1~ А~..- и); (42) 1 1 1 )дУ 2 ~дд, где интеграл берется по полному циклу периодического движения (колебания или вращении, смотря по тому, какой случай имеет место). Равенства (42) определяют и функций 1, = 1,(оы аю...и„ы 6). Эти функции независимы в силу независимости пар щ, р; (1 = 1. 2,..., и). Величины 1„1з,..., 1в можно принять за новые импульсы (вместо аы жз,...а„ы Ь), Тогда о1 Л(1~ 12 .
° 1в) С~2 = 12(1ы 12,..., 1в),..., с~в 1 = Лв 1(1ы 12~...~ 1в) схв = лв(1ы 1Ю..., 1в). Если зтн величины подставить в (40), то получим =~(0 -.- Ь 1 .- 1)- Соотношения р;= —, ш;= — (1=1, 2,.... и) дУ дУ (43) неянно задают унивалентное каноническое преобразование от исходных переменных а;, р, к переменным действие-угол 10 ич. Новая функция Гамильтона имеет вид (44) и лв(1' ~ 12, ° ° - ~ 1в) ° Все новые координаты (углы яч) являются циклическими. В новых переменных уравнения движения будут такими: Ь, дН Ф ' аг д1; †' = О, ' = †.
= ай(1ы 1з,..., 1„) (1 = 1, 2,..., и), где ы„. частота периодического движении (в плоскости щ, р;), 381 г 6. Переменные действие-угол Как видим, метод Делона позволяет получить все частоты движения путем изучении функций Н и 1', при этом не требуется полное исследование движения системы. Покажем, что 1-н угловая переменная ш; за полный цикл изменения уий координаты д получает приращение Ьюг': 2кдц где ди — символ Кронекера. Действительно, использун формулы 142) и (43), находим Злмкчлник 4. Гсгш координата ри циклическая, то соответствующий ей мпульс р, постоянен, и траектория в плоскости до р; будет прямой лютей.
Тогда движение в плоскости уе, р; можно считать периодическим (вращательного типа) с любым периодом уго. Удобно принять йуо = 2н. Тогда гн ге «г ре йуе = —, г р, д1де = — р,. ~ дуе — р 2ку 2к/ 2 '/ о о т. е. переменная действие 1; в случае циклической координаты рд совпадает с импульсом ро 184. Переменные действие — угол в задаче двух тел.
Задача двух тел изучалась в г1 гл. 8. Здесь будут рассмотрены переменные действие — угол в этой задаче. Будем использовать обозначения из й1 гл. 8. Орбиту считаем эллиптической 1или, в частности, круговой). Расстояние г точки Е' от притягиваюп1его пентра О удовлетворяет неравенствам гг ( г ( гг, где гг = а(1 — е), гг = а(1+ с) (а — большая полуось орбиты, е ее эксцснтриситет). Отсюда и из формул й1 гл.
8 следует, что гг -ьгг =2а, гг гг — а (1 е. ) — ар (45) где р — параметр орбиты, с — константа интеграла плошадей, величина й определена в п. 115. Уравнению (1) и. П5 задачи двух тел соответствуют уравнения г1агранжа второго рода с функцией '!агранжа 5 = Т вЂ” П, где Т = — ег, 1,г 2 982 Глава ХХ Ь= — 1т +г зш д~р -~-тд)-ь — „, обобщенные импульсом вычисляются по формулам р,=т, рк=т зш дЧг, рв=тд.
г, г ., г ' а функция Гамильтона Н = Т+ П имеет вид (46) г гз) 1 г Рт Рв й Н=- р-т+, + —, 2 ~, ' т' з1пгд тг) (47) Координата Зг циклическая. Поэтому р = а = сопзз, а характеристическая функция Гамильтона имеет вид з' = а,р+ ) рв дд+ / р„йт, (48) причем г рв+ = ав — — сонат, г ~т г гбп д г р„+ — — — = 2аз = соплы (49) г в 2й тг Постоянная 2аз равна константе Ь интеграла энергии (7) из п. 117 и для эллиптической орбиты отрицательна. Из (49) получаем выражение для величины рг: 2й ав 2аз(г тз)(тг т) р = 2аз+ — — — =—— г— т т г (50) Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях г в обеих частнх последнего тождества даст соотношении между постоянны- ми ав, аз и величинами гы тг,.
й, ав г,+тг= — —, т,гг=— аз' 2аз (51) Сравнивая первые формулы из (45) и (51). получаем соотношение а=— й 2аз (52) П = — —. Длн квадрата ог скорости точки Р имеем в сфсричоских й координатах (см. рис. 9) выражение (90) п. 9. Поэтому 383 З д. Переменные действие-угол Сравнеяие же вторых формул из (45) и (51) при учете соотношения (52) приводит к равенству (53) ав = с, т. е.
постоянная ав в (49) равна константе интеграла площадей. Введем переменные действие 1е, 1, 1в. Так как уо циклическая координата, то, согласно замечанию предыдущего пункта, имеем (54) 1„= рт — — а„. Величины 1в 1, определяются равенствами: 1, = —, ~~ р, юг 1е = — ~~. „ат. 2лд" ' ' 2гг) (55) Для вычисления первого из интегралов (55) заметимгг что в сферических координатах справелливо соотношение 2Т = р„т+ ртух + рвй. (56) Если же в плоскости орбиты ввести полярные координаты т, гг (гг — истиннаа аномалии), то 2Т = тз+тгйз, Ре = т, Р = тзй. Дли импУльсаР, при учете интеграла плошадей тзй = с и формулы (53), имеем равенства р, = с = ав.
Принимая это во внимание, выражение для удвоенной кинетической энергии 2Т = р„т+ р й можно записать в виде (57) 2Т = р„т+ авй. Из сравнения правых частей формул (56) и (57), при учете равенств (54), следует, что рвсЮ = авды — 1 11ук (58) За один оборот точки Р по орбите угол д совершает полный цикл его колебания., а углы гг и со изменяются на 2х.
Поэтому, принимая в рас- чет формулу (58), для первого из интегралов (55) получаем выражение 1в = ав — 1,, т. е. (59) ав =1т+1в. гсмл Голлстейн Г. Клессичеснаи механика. Мл Наука, 1975. Величина р„ во втором из интегралов (55) положительна, когда т увеличивается от тг до тз, и отрицательна при уменьшении т от тз до тг. Глана Х1 (60) Для вычисления интеграла в праной части этой формулы введем вмес- то г новую переменную х(г) по формуле Г1 + Г2Х г= , 2 Тогда (гз — гг ) хз гз — гг 2(гз — г,)х Г Г1= 2 ~ 2 Г= 1+ хз ' 1+ хз ' (1, хз)2 х(г1) = Ог х(гг) = +ос. Поэтому 21гг:2ггз(г'2 — г1) ~ тз / (гг + гзх )(1+ т ) о Подынтегральное выражение в (61) можно представить в виде (г1 + гзх )(1 + х )2 1 ~ гг 1 гггз 1 „1 1+ х' гз гг г1 + гзхз (1+ хз) Но Пх и 1 й: и 1' гЬ и 1-г хо 2 ' г' г1+ гзхз 2;/'1гз,г' (1+ т, )2 о о о поэтому после интегрирования и несложных преобразований форму- лу (61) можно записать в виде 1„= ' (11+ гз — 2~/гггз).
2 (62) Принимая это во внимание и учитывая соотношения (50), выражение для 1„можно записать в вице 385 З у. Переменные действие — угол 1, = — (1„ + 1,). )с и':2о зз (63) Но, согласно (47) и (49), Н = аз. Поэтому, учитывая унивалентность канонического преобразовании, вводящего переменные действие — угол, из (63) получаем следующее выражение для функции Гамильтона, за- писанной в переменных 1,, Еос Ев: гз Я=— 2(1,+1, +1в) (64) Угловые переменные, отвечающие переменным действие 1„, 1, 1в, обозначим через ю„, ю„, юв. Так как —, = —, = —,, то соответству- дЯ дЯ д'К 01„дЕг д1я' ющие им частоты ю„с иггс юв равны.
Этого и следовало ожидать, так как изучаемое движение материальной точки по эллиптической орбите является периодическим (см. п. 121). 185. Элементы Делона. Введем новые переменные 1;, ид (г = 1, 2, 3), имеющие более ясный геометрический и механический смысл, нежели переменные 1„, 1и, 1в, ю„, ю„, юв. Для этого сделаем замену переменных по формулам: (65) (66) юг = ю„— идм юз = юв — пг„, юз = юс: Еъ — — Ег, 1г =1~+Ей, Ез =1 +Ед+Ев. При помощи какого-либо из критериев п. 169 можно проверить, что равенства (65), (66) задают унивалентное квноническое преобразоввние. В новых переменных функция Гамильтона принимает вид: яз Я = — —. 212 ' (67) Вынсним смысл переменных 1,, ю, (г = 1, 2, 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
