markeev_book (522779), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Пусть гд и вд - - действительная и мнимая части собственного вектора, соответствующего собственному числу Лд. Тогда, учитывал комплексную сопряженность соответствующих компонент векторов ед и е„ед, получим длн элементов матрицы С выражения дц,. = — 21(гд Лад) (й = 1, 2,..., о). (42) Из равенств (37), (39) и (41) следует такое условие, обеспечивающее симплектичность матрицы А: 4(гд Лад) = 1. (43) Это равенство лвллетсн, с одной стороны, условием нормировки собственного вектора ед, а с другой условием выбора знака од в функпии Гамильтона (32), который до сих пор был пс определен.
Действительно, приравняв в обеих частях уравнения ЛНед = итдед (ед = гд + 1вд) действительную и мнимую части, получим систему уравнений для тд и лд. ЛНгд = — пдад, ЛНлд = адгд. При одновременном изменении знаков пд и компонент вектора гд эта система уравнений не изменнетсн. Знак же скалнрного произведения (тд ° Лад) изменяется на противоположный. Поэтому равенству (43) можно всегда удовлетворить выбором знака лд в функции Гамильтона (32) и соответствующей нормировкой собственного вектора ед.
Произведл некоторые вычисления, получим, что й-м столбцом искомой матрицы А будет вектор — 2ад, а (н+ и)-м — вектор 2гд. 190. Преобразование Биркгофа. Приближенное интегрирование гамильтоновой системы уравнений вблизи положения равновесия. Пусть начало координат фазового пространства отвечает З 7. Канонинеение преобразования в теории воэо>уигениа 399 положению равновесия консервативной или обобщенно консервативной системы с п степенями свободы.
Предположим, что функция Гамильто- на является аналитической в некоторой окрестности начала координат и ее разложение в ряд начинается с квадратичных членов: (44) Н=Н +И +и -р.. где Н,„— однородный многочлеи (форма) степени ьч относительно координат и импульсов. Лддитивная постоянная (равная значению функции Гамильтона в положении равновесия) не влияет на уравнения движенин и в разложении (44) отброшена. Пусть характеристическое уравнение, соответствующее лннеарнзованной системе уравнений движения, задаваемой функцией Гамильтона Нг, имеет только простые чисто мнимые корни Ыан, (й = 1, 2,..., и). Тогда, как показано в предыдущем пункте, подходящим выбором канонически сопряженных переменных функцию Нг можно представить в виде правой части равенства (32).
Если еще сделать каноническую замену переменных' дв = Уу — >У„чн, Рн = Ун + >Р„.>н (и = 1, 2,..., п), (45) то квадратичная часть ряда (44) будет иметь вид Нг = > ~ген»ври ° н=> (49) ул — — де+ —,, Рь = ру+ —, (Й = 1., 2,..., п), (47) доз > дНз Орй' д»н где форму третьей степени Яз(»н, Р'„) попытаемся подобрать так, чтобы в новых переменных функция Гамильтона не содержала членов третьей степени относительно »'., Р~, (1е = 1, 2,..., и). >Сревнвте с примером 7 и.
170. Движение линеаризованной системы представлнет собой суперпозицин> колебаний п гармонических осцилляторов с частотами ~он~, (й = 1, 2,..., и). Если в разложении (44) формы Н при ьч > 3 не равны тождественно нулю, то уравнения движения нелинейны. Чтобы исследовать движение в атом случае, упростим функции> Гамильтона (41) при помощи канонической замены переменных, носящей название преобри>ования Бир>егофа. Сделаем каноническую замену переменных ды Рн — > 9~1., Р~в, задаваемую формулами 400 Глава ХГ Функция Нз(две рь) в (44) может быть записана в виде Нз — — ~~, 6,ч»пд,"' ...д„""р»'...р'„"*, (48) и!-~-...-~-» =3 и! „чо !» Нз = ~~' вп!,..., » д! . Чп Р! "Рп ! !-~-...-~-»„=З (49) где постоянные коэффициенты лео „„подлежат выбору из условия обращения в нуль членов третьей степени в новой функции Гамильтона.
Из (47) следует, что старые переменные двп рь являются аналитическими функциями в окрестности начала координат д' = О, р' = 0 и представлнютсн рядами д$з(дь., рк),, д$3(д, 'Рь) дь = д', —,, +..., 1>ь =р'„+, +..., (ОО) ~~рь дЧь где обозначенные многоточием члены имеют степени выше второй от- носительно д,',, р,',, (к = 1, 2,..., п), Подставив эти выражения в функ- цию (44), получим новую функцию Гамильтона в виде Н = гпаьдьрь+ !'~ !гь дь, — рь ', + На(дь, рь) + .. ! !! . Iд$3 !$$3 ! ! Ьп! дд', др,) где многоточием обозначены члены выше третьей степени относительно д', р'ь Таким образом, квадратичная часть функции Гамильтона сохранила свою форму, а члены третьей степени Н', приннли внд ! ! 1 ьд' ьд') Чь Рь) Положим Н': — О.
Принимая во внимание формулы (48), (49) и приравнивая в этом тождестве нулю коэффициент при д,' ' ...д„' " х х р'»' ...р'„»", получим уравнения для нахождения впо (йг1(»1 п1) + + оп(»п рп))вид,..., »„= ъйи,, »и. (81) Справедливо соотношение )иь — р1! -Ь... -Ь (!лп — рп ( < »1 -~- и! -~-... -~- !лп -~- пп = 3. где коэффициенты !!„и» постоянньь Величины»м, ..
! рп — целые неотрицательные числа. Функцию $з ищем в виде, аналогичном (48): 5 7. Канонические преобразования в теории возлзуисеиий 4О1 Отсюда и из (Ы) следует, что если величины аы..., ао таковы, что для целых чисел 13,..., й„, удовлетворязощих условию О < ~й~ ~ +... + + ~1ч,~ < 3, выполняется неравенствоз Лтаз -~-... -~- 1.воя ~ О, (52) то выбрав величины ви, и„согласно формулам вйю,..., я„ од(ид — 122) +... + ая(2зо — ало) получим новую функцию Гамильтона Н' такой, что в ней будут отсутствовать члены тРетьей степени по г1,'о 1зь, Можно было бы попытаться аналогичным образом при помощи еще оДного канонического пРеобРазованиа г1л', Р„' — ~ а", Р'„' Уничтожить члены четвертой степени Ни в функции Гамильтона Н".
Это, однако, не удастся сделать, и в новой функции Гамильтона останутся некоторые члены четвертой степени, имеющие вполне определенную структуру. Если в системе пет резонанса до четиертого порядка включительно, т. е. неРавенство 152) УдовлетвоРЯетсЯ пРи О < ~1Л~ +... -Ь ~Йя~ < 4, то в функции Гамильтона Ни можно уничтожить все члены четвертой степени, кроме тех, которые содержат 4„", и р'„' в одинаковых степенлх. Действительно, уравнение (51) неразрешимо, если иь = 1зь при всех й = 1, 2,..., и.
Тогда в НЯ останется совокупность одночлепов вида ег-~-о .~-...ео„=з И, вообще, методом математической индукции нетрудно показать, что если в системе нет резонансов до порндка 1 включительно, т. е. Яза +...+)с„ая~о, О<~5 ~+...+~1с„~<1, то существует каноническое преобразование г1л = г1" 4-..., рь = р„*+..., задаваемое сходящимися в окрестности начала координат степенными рядами, такое, что функцил Гамильтона 144), выраженная через а*., р*,, имеет вид (53) Н Н+ Н1чь; Рл) где Н вЂ” многочлен степени не большей 1/2 от и произведений д,*й,*,..., г1,',Р*„, а Й вЂ” сходащийсл Рад по степенам г1,*о Р"„., начинающийся с членов, степень которых не меньше 1+ 1. В этом случае говорит, гн таких случеях говорят, что в системе кет рееокексов до третьего порядке включительно. Глава Х1 что функции Гамильтона приведена к нормальной форме Биркгофа с точностью до членов степени 1 включительно.
Представление функции Гамильтона в виде (53) можно эффективно использовать длн приближенного интегрирования канонических дифференциальных уравнений движения. Для этого пренебрежем в (53) членами Н, которые имеют более высокую степень относительно о„", Р~, нежели функция Н. Тогда Н' = Н. Замечательно, что система канонических уравнений с функцией Гамильтона Н* = Н(п,*р*,,...,д„*р„*,) сразу интегрируется.
Действительно, положим ть = о„'р„'. Тогда уравнения с функцией Гамильтона Н запишутсн в виде — = — о~, — — — Рь, (/с = 1, 2,..., в). (54) 44, "ПП . ДР; ПН Д1 дть й дть Отсюда следует, что г1ть(В = О, т. е. т,„. = сь = сопэ1 (Л = 1, 2,..., п). Подставив эти значения ть в уравнения (54), получим (55) где Ль есть значение производной ПН)дть при ть = сь. Из (55) следует, что о" (1) = д*,(0)ел"', Р'(1) =Р'(0)е ~'"~, (и„"(0)р„',(О) = сь й = 1, 2,....
п). (56) Приближенное решение исходных уравнений получится из равенств (56) при помощи формул указанного выше канонического преобразования Биркгофа, выражающих старые переменные через новые. Несложно проверить, что в рассматриваемом случае чисто мнимых корней характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений движения величины Лл (й = 1, 2,..., я) также будут чисто мнимыми, Ль = 1Пь (Л = 1, 2,..., и), и, следовательно, старые переменные будут рядами синусов и косинусов аргументов, кратных йьй Если в системе вообще нет резонансов, то преобразование Биркгофа можно применить для нормализации функции Гамильтона до сколь угодно высокой степени (1 — > оо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
