markeev_book (522779), страница 69
Текст из файла (страница 69)
В скалярной форме зти соотношении запишутся в виде следующих шес- ти уравнений: 1! + 1 зз 1„+ 1„' ь 1,",, 1 Хз + Хв 1 — г„1г — Ы„ — х,1,+И,", х„1з. (13) (14) (1") (16) (17) (18) — гаусссьг зпх<,йсг Я„1ьг закреллениелс точки Ос равен Ар о+ Вес В+ Сг 7, а после закрепле>сия имеет (см. п.
77, 82) величину (Аоз + ВВз + Суз) ые. Но ударные импульсы реакций в точках О и Ос яе создают момента относительно оси и. Следовательно, кинетический момент тела относительно этой вси ие изменяется во время удара. Поэтому 420 1зааа ХП Из последнего уравнения определяется изменение угловой скорости 7хг. Если ударный импульс 1 и ось вращения тела не лежат в одной плоскости, то величина Ьг отлична от нуля. Остальные пять уравнений (13) — (17) служат для нахождения шести проекций ударных импульсов реакций в точках О и Оы Эта задача является неопределенной: нельзя найти отдельно величины ~У и ~1', а можно определить только их сумму. Полаган, что Ьг ф О, рассмотрим задачу об определении условий, при выполнении которых ударные импульсы реакций в точках О и Оз не возникают, При 1' = 1а = 0 из (15) следует, что 1, = О, т. е.
направление ударного импульса параллельно оси Оу. А из (13) получаем, что уо = О. Следовательно, центр масс лежит в плоскости, проходящей через ось вращения и перпендикулярную направлению импульса. Если жо = О. т. е. центр масс лежит на оси вращения., то (см. (14)) поставленная задача не имеет решения: при 1 ф 0 всегда будут возникать ударные реакции. Пусть жо ф О. Из (14) и (16) имеем,Уз, — тшоз„= О, нли Ж ~ т,ш, (з„— з,) = О. (19) (20) Равенства (19) и (20) означают (см. п. 78), что ось вращении является главной осью инерции тела для своей точки с координатами О, О, л„. Таким образом, произвольный по величине ударный импульс не вызывает ударных импульсов реакций в точках О и Оз только тогда, когда ось вращения явлнется главной осью инерции тела.
Если зто условие выполнено, то импульс доюкеп быть перпендикулярен плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс тела, причем он должен лежать в плоскости, перпендикулярной оси и проходящей через ту ее точку, для которой оиа нвлнется главной осью инерции. Наконец из (14) и (18) находим (21) что окончательно определяет линию действия ударного импульса. Ее называют осью удара, а точку, в которой она пересекает плоскость, проходящую через ось вращении и центр масс -- центром удара. А из (17) следует равенство 7„, = О, что в сочетании с условием уо = 0 дает соотношение 421 ч 3.
Импульсивное движение твердого тела ПРИМЕР 1 (СЛУЧАЙ ИЛАЕРИИКИ). Рассмотрим плоскую фигуру., которая может вращаться вокруг некогпорой оси Ог, лежащей О 3 в ее плоскости (рис. 151). Для любой оси Ог О' ложно найти центр удара. Это следует из того, что ось Ог всегда является главной осью инерции для одной из своих точек. С. у *чтобы показать справедливость сказанного, перейдел к системе координат 0'х'у'г, О смещенной относительно исходной системы Охуг на вектор 00, имеющий в сис! у теме Охуг компоненты О, О, г„. Ось Ох Рис.
151 (и ось 0'х') лежит в плоскости пластинки. Тогда Хв в — — О, тпак как для каждой часгпицы Р„тела имев г у' = О. Вели шна лсе,У, будет равна нулю, если г, выбрать в соответствии гпх гпхсз ' Теперь, если импульс 1 перпендикулярен плоскости пластинки и точка 1г' его приложения лежит на оси 0'х', причем абсцисса х' точки с) определяется (в соответствии с формулой (21)) равенством х =,, то Я центр удара. д, пьхсг ' и Например, для однородной двери тираны а центр удара находится на середине высоты на расстоянии -а огп оси. 2 3 1 2 стог. = диво, (22) где т — масса, щ — послеударная угловая скорость параллелепипеда, ПРИМЕР 2. Тяжелый однородный параллелепипед с Рис.
152 ребрами и, 6, с скользит по гладкой горизонтальной плоскости так, что ребро длины с вертикально (рис. 152). Направление скоольжения перпендикулярно ребру длины Ь. Внезапно это ребро задерживается препятствием и становится неподвижным. Найдем, при какой скорости движения о произойдет опрокидывание парах.|елепипеда. Послеударное движение параллелепипеда является враигением вокруг оси и, содержащей остановленное ребро.
Так как кинетический момент относительно этой оси за врели удара не изменяется, то 11ьаеа Х1! Х вЂ” его момент инерции относительно оси и. Согласно п. 75, 76 Е = —,т(а +с ). (23) Для опрокидывания параАгАзелепипеда необходимо и достаточно, чтобы его центр тяжести при своем движении по окружности радиуса — чВоз -'ь сз пересек вертикальную плоскость, проходящую через ось и.
2 'з При этол он поднимется над своим первоначальным положением на высоту (24) Опрокидывание произойдет, если (2 5) ХЕз (22)-(25) находим 4д (аз+ с') (~!а'+ с' — с) е > Зсз Приьскр 3. Стержень Л В шарнирно закреплен концом А, а вторы и концом шарнирно соединен со стержнем ВС (рис. 153). Стержни покоятся и составляют прямую линию. Определить характер послеударного движении и ударные импульсы реакций в шарнирах А и В вследствие импульси Е, приложенного к стержню ВС под прямым углом на расстоянии а от шарнира В.
Стержни считать тонкими и однородными, масса каждого стержня равна т, длина 1. И, ИВ Е„>~ Е м А~ -) — ~В В ЕВВ Рис. 153 Мысленно уберем шарнир В и рассмотрим импульсивное движение каждого из стержней в отдельности под действием заданного импульса Е и ударных импульсов Ел и Ев реакций в шарнирах. Обозначим через вь и из послеударные скорости центров масс Сс и Сз стержней АВ и ВС соответственно, а через шь и шз их угловые скорости. Так как послеударное движение стержня АВ будет вращением вокруг точки А, Соударение твердых тел 1лх — 1вр = О, 2пио!1 = 1лр — 1вр, 1 тзп1га!! = — 1вр1 1 3 Р тьи>гр — 1 + 1в 1 — тп( шг = — 1 — — а. — 1в (26) пьаг, = 1в Еще доа ураопения получим, прираоняо векторы послеударной скорости шарнира, рассматривая его как точку.
принадлежащую с одной стороны стержню АВ, а с другой - стержню ВС! О = рг ., шз1 = огр — -а!гП 2 (27) Но так как 1в = 1в:, 1вр = 1вр, (28) то имеем систему десяти уравнений (26) — (28) для нахождения десяти неизвестных. Решив эту систему, полу*шм 61 (21 — За) 61 (8а — 31) 31 (2и + 1) 1 озг= ог. О охр 7зпВ 7тВ ' ' 7пь( (21 — За)1,, 2(21 — За)1 1л, = О 1лр = д 1 р ~ р ч д 1в = 1в,, = О 1вр = 1в Отсюда, в частности, видно, что: 1) если а = — о1, то и!! = ьг и в 11 послеударном движении стержни составляют прнмую линию; 2) стержень АВ остается в покое, ее!!и а = —., т. е. если импульс 1 приложен 21 в центре удара стержнн ВС, соответствующем оси вращения, проходящей через шарнир В.
34. Соударение твердых тел 201. Коэффициент восстановления. Пусть два движущихся тела В! и Вг в момент времени 1 = 1о соприкасаются точками О! и Ог а!! ! то вектор е! перпендику. ярен стержню, причем о! = —. Упомянутые 2 векторные величины показаны на рас. 153 их компонентами в системе координат Аху, ось Ах которой направлена вдоль стержней. 11з теорем об изменении количества движения и кинетического момента, примененных к каждому из стержней, получаем следующие шесть уравнений! 1лава ЛУ своих поверхностей (рис. 154) и в этот момент относительная скорость точек О~ н Г)з не лежит в общей касательной плоскости. Тогда происходит соударение тел. В точке контакта возникают ударные силы, приложенные к каждому из тел, они имеют одинаковые модули и противоположное направление.
П з! О, О, пг Х,~- рз Рис. 154 Будем считать, что тела абсолютно гладкие. Тогда ударные силы и нх импульсы 4 и 1з перпендикулярны общей касательной плоскости к поверхностям соударяющихся тел В~ и Вз. Пусть гз — единичный вектор общей нормали к поверхностям тел в точке нх контакта, направленный внутрь второго тела, а пь — единичная нормаль к телу Вь в его точке Оь, направленная внутрь тела. Тогда очевидно., что п=пз=-пз, 1ь=1пь (6=1,2), где 1 — модуль ударного импульса.
Величина 1 заранее неизвестна. Это отличает рассматриваемую задачу о соударении двух тел от рассмотренной в предыдущем параграфе задачи об импульсивном движении твердого тела под действием заданных ударных импульсов. Задача о соударенин тел состоит в нахождении послеударного кинематического состояния тел и величины ударного импульса при известном доударном кннематическом состоянии тел.
Но, оказывается, что даже в простейших случаях соударении тел число неизвестных превосходит число уравнений, выражающих общие теоремы динамики. Поэтому необходимы дополнительные физические предположения. Гипотеза об абсолютной твердости тел здесь оказывается недостаточной. Надо предположитгм что тела претерпевают малые изменения своей формы вблизи их точки соприкосновения. Сам процесс удара подразделлетсл на две фазы. В течение первой фазы от г = Го до 1 = 1о+ т, происходит сближение тел вдоль их общей нормали, причем модуль проекции на нормаль относительной скорости точек Оз и Оз уменьшается до нуля, чем и определяется окончание первой фазы удара. В конце первой фазы деформация тел максимальна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
