markeev_book (522779), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Затем начинается 425 Свудерение твердых тел вторая фаза. Проекция на нормаль относительной скорости точек Ох и Оз при 1 = го + т1 изменяет знак и при г > го + г1 возрастает по модулю; тела, восстанавливая свою форму, удаляютсн друг от друга вдоль общей нормали. При 1 = 1в + г1 + гг их соприкосновение будет происходить в одной точке, тела отделяются друг от друга, чем и заканчивается вторал фаза удара, а вместе с ней и весь процесс соударения тел. Наблюдения показывают, что абсолютнан величина проекции на нормаль относительной скорости точек Ог и Оз, вообще говоря, не достигает своей исходной (доударной) величины. Полное исследование описанного процесса соударения тел требует подробного рассмотренип их физических свойств и весьма сложного математического анализа, что выходит за рамки теоретической механики. Упрощая сложный характер пилении, иринимакю следующее кинематическое предположение, высказанное еще Ньютоном: отношение абсолютной величины проекции на общую нормаль и поверхности.и тел относительной скороспш точек контакта тел после удари я ее значению до удара есть некоторая постоянная веггичина, не зависпщая ни от относительной скорости, ни от размеров тел, а лишь от их материала.
Это отношение называетсп коэффициентом восстановления. В дальнейшем оно будет обозначаться через ш. Пусть о,ь и иоь векторы скоростей точки Оь до и после соударения (и = 1, 2). Тогда ( О| Ое) '( О1 Ог) (2) "о, ' кц + "ое ' пз = ш (во, ' пг + ио, юг) Коэффициент восстановления характеризует, насколько восстанавливается нормальная составляющан относительной скорости после удара.
Как правило, полного восстановления не происходит. Поэтому О < ш < 1. Если гс = О, то удар называется абсолютно неупругим. В этом случае процесс соударения состоит только из первой фазы; когда тела достигнут максималыюго сближения, восстановления их формы не происходит и оба тела движутся как одно целое. При ш = 1 удар нвзь1вается абсолютно упругим. Здесь во второй фазе удара происходит полное восстановление формы тел, нормальная составляющая относительной скорости точек контакта достигает доударной абсолютной величины.
Промежуточные случаи 0 < ш < 1, характерные для реальных физических тел, назгяввют неупругим ударом. Учитывал соотношения (1), равенство (2) можно записать также в следую|пей форме: 426 г".гаво ХП При использовании гипотезы (2) следует иметь в виду, что оиа нвляется первым (иногда очень грубым ) приближением к действительным закономерностям, описывающим соударение реальных тел".
Примкр 1. В качестве примери использования ги- 1 потезы Пьютона 12) рассмотрим задачу о соударении материальной точки с неподвижной абсолютно гладкой поверхностью. ', а' О Пусть перед соударением точка илгеет скорость и, образующую с внешной нормалью к по°" О '' верхности угол падения а (см. рис. 155, где О точка, в которой происходит соударение, г единичный вектор касательной к кривой, являющейся пересечением поверхности и и госкости, Рнс.
155 проходящей через векторы нормали и и доударной скорости в ). Масса т точки и коэффициент восстановэгения щ заданы. Требуется найти модуль послеударной скорости точки н~ь, угол огпражения В и величину 1 ударного импульса. Теорема об изменении количества движения дает два уравнения: в" вшф — и вша=О, тг,ньсовД+и сова) = 1. 14) Из соотношения (2) получаем недостающее третье уравнениег ггж совф = им сова. (5) Лз (4), (5) находим гад = — гха 1 (6) Обсуждение этого вопроса мехгне найти е книге: Панеакеи.Г.
Введение е теорию механического удара. Мс Паука, 1977. Сеаременные математические модели теерии механического удара и их критический анализ седержатси е монографии: ИвановА. П. Динамика систем с механическими сеударениими. Мл Междунареднаи программа образования, 1997. Из (4) — (6) следует, чтог касательные составляющие скорости до и посзге удира равны между собой, нри абсолютно неупругом ударе материальная точка после удара имеет только кисательную составляющую; при абсолютно упругом ударе угол падении равен углу отражения, а модуль скорости не изменяется (гз = Д.
ож = в ); при неупругом ударе угозг падения меньше угла отражения ф > а); при абсолюгпно упругом ударе ударный импульс в два риза больше импульса при абсолютно неупругом ударе. З 2. Соударение теердых тел Пгимкг 2. Однородный стержень, который может вращиться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр тяжести, находится в равновесии. На один из концов стержня со скоростью о падает шар массы нп Длина стержня 2а. лсасса М. Коэффициент восстиновления равен нь Принимая шар за материальную точку, опредезшл послеударное кинелатическое состояние стержня и шара.
Пусть ое -. скорость шара, а аг" -- угловая скорость стержня после удара. Пз теорелы об изменении кинетического момента (относительно центпра тяжести стержня) следует равенство тоа = тома+ — Ма ю ь, 1 2 е 3 (7) а из того, что удар абсолютно упругий, имеем оь — ьз' а = — сесь Нз уравнений (7). (8) находим: е Зт — щМ ь 3(1+ щ)ти Зт+ М (Зги+ М)и АйьРь = ЕЕь ВьЕХсЕь = Едь Сьй гь = Кь тсЬох. = Еоь, тсЕ1ез, = ЕПщ гсьсЕ«е„= Е'уь (к' = 1 2).
202. Общая задача о соударении двух абсолютно гладких тел. С центром масс тела Вь (к = 1, 2) свяжем систему координат Сяхьдь«ьо направив ее оси по главным центральным осям инерции тела (рис. 154). Через Ато Вь Сь обозначим соответствующие главные моменты инерции тела, а через тя . - его массу. В системе координат Сьхядь«ь точка Оь имеет координаты хь, дьо «ь, а вектоР ноРмали Яь задаетсЯ напРавлнющими косинУсами ого Пя, 7ь. Пусть шя — вектор угловой скорости тела ЕЕя, а ея — скорость его центра масс Сь.
Задача состоит в определении послеударных значений этих векторов, если известны их доударцые значения. Приращении Ьшь = азь+ — ы„и Ьоь = е„— о зададим в системе координат Сяхьдь«я соответственно коьипонентами Ьрь, Ьуь, Ьгь и сьо,„, сьоя„сьо„. Момент Мь = СяОь х Ея удерного импульса Еь относительно центра масс Сь имеет в системе координат Сьхьдь«ь компоненты Мх, = Е~„Мэь — — Ець: М.ь = Кь: где сь = дь'% — «яды Ць = «ьоь — хь7ье Ьь = хсДь — Уьоь Из теоремы об изменении кинетического момента и количества движении имеем двенадцать уравнений Глава Х1! Отсюда находим послеударпые значения кинематических величин те- ла Вь: Рь — — Рь +1 —, т1 =д„+1 —.
т = г +1 —, (9) — т.ь ч. — Вь е ьь Ал Вл' Сь — оь е з+1ти Из (10), в частности, следует, что касательные составляющие скоростей центров масс тел при ударе не изменяются. В равенствах (9), (10) содержится неизвестная величина 1 ударного импульса. Если найти ее через известные величины, а затем подставить в (9), (10), то тем семым общая задача о соударепии двух абсолютно гладких тел будет решена. Величину 1 найдем при помощи соотношения 13), Для этого. заметив, что аот = а„'~ + от'~, х СьОхо а,— = а + ьт, х СьСь и воспользовавшись свойствами смешанного произведения векторов, находим ра- венство (ео ео„) ' пь — т3еь ' пь + Миоь х пл) ' Лотто которое при помощи соотношений (9), (10) можно записать в виде (ат е.~.)'па=1 + + + (к=1: 2).
— Я 4 4~ о» тз. ~птл Аь В С ) Отсюда после суммирования по и получаем равенство (ео, ео,) 'пт+ (ео. ео ) 'по Р 1: где введено обозначение 9 2 / 2 3 2~1 р =~~~ — + — + — + — ). ~™ь Ал Вт,. Сл) ' а=1 (12) Из уравнений (11) и (3) находим (ео ' пт + ео ' ттз) 1+ш „3 3 (13) Заметим, что величина — (ео ° пт+ е, пз) представляет собой до! 2 ударную проекцию скорости точки От контакта тела Вт относительно точки контакта тела Вз на внутреннюю нормаль п тела Вз. Обозначим 24. Соудерение твердых тел ее через и„„. Так как перед соударением оба тела стремились сблизить- ся., то эта величина положительна.
Таким образом, 1+ж 'иеь, 2 (14) причем все величины, входящие в правую часть этого равенства, известны. Подставив 1 нз (14) в (9) и (10), получим полное решение рассматриваемой задачи о соударении двух абсолютно гладких тел. ЗАмечАние 2 (ДинАмическое истОлкОВАние коэФФициентА ВосстАНОВЛЕНИН). Пусть еь, ьзя и е, (й = 1. 2) .- соответственно 00 60 (з) векторы скоростей центпров масс тел Пьо их угловых скоростей и скоРостей точек контакта Оь тел е момент У = уо+ т, окончанил пеРвой фазы удара. В эгпот момент вьтолняется равенство О,'~!+ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
