markeev_book (522779), страница 72
Текст из файла (страница 72)
При соудареняя двух шаров удар является цеятральнымг но он яе обязательно будет прямым, так как скорости центров масс шаров могут нс быть направлены по общей линии центров. В общем случае это будет косой удар двух таргзв. Показать, что при косом соударонии двух однородных абсолютно гладких шаров ях угловые скорости и проекции скоростей центров масс яа общую касательную плоскость не изменяются, а проекции на линию удара изменяются как при прямом центральном ударе.
3 5. Дифференциальные вариационные принципы механики в теории импульсивных движений 205. Общее уравнение динамики. Рассмотрим систему Х материальных точек Р„(ц = 1, 2,..., Х). Состояние системы в некоторой неподвижной прямоугольной декартовой системе координат задается радиусами-векторами ги и скоростями е ее точек.
Система предполагается свободной илн несвободной со связями вида (1), (2) из ~3 главы 1. Импульсивное движение возникает из-за того, что к точкам системы прикладываются ударные импульсы 1, либо накладываются новые связи, либо снимаются некоторые (или все) из старых связей, либо из-за того, что и то, и другое, и третье осуществляется одновременно.
Ограничения на скорости точек системы задаютсн (см. равенства (2), (3) из 33 главы 1) равенствами вида В ьи+Ьч=О(у=1, 2,..., 1). и= 1 Векторы В, и скадары Ь заданные непрерывно дифференцируемые функции гы гз,..., г„и Ь Через 1 в (1) обозначено общее количество связей системы, голономных и неголономных. Если удар вызван заданными ударными импульсами и при ударе структура системы не изменяется, то г равно числу г+ в голоцомных и неголономных связей системы.
Если же при ударе изменяется структура системы (изменяется количество связей), то число 1 отличаетсн от величины г + в. Если связи стационарные, то величины Ь в (1) тождественно равны нулю, а вектор-функции В явно не зависят от й В дальнейшем также будут рассматриваться связи, для которых величина Ьз в (1) тождественно равна нулю, но вектор-функции В зависят явно от Ь Эти связи линейны и однородны по компонентам 436 Слава Х11 векторов скоростей точек системы. Наряду с движениями с, возможными скоростями а' онн допускают движения, для которых скорости всех точек системы имеют противоположные направления — а„*.
По этой причине такие связи назывшот обратилсьики!. Пгимкг 1. Связь, расаиотренная в примере п. 64, является обратимой нестациоиарной связью. Виртуальные перемещения бг„точек системы опроделяются следукипими уравнениями !см. уравнения (12), (13) из 33 главы 1): !2) В бг =0(у=1, 2,..., 1). и=! Ввиду кратковременности процесса удара вектор-функции В в уравненинх (2) можно считать постоянными. Отсюда следует, что векторы виртуальных перемещений бг„могут считаться независящими от времени на промежутке времени удара от ! = йо до ! = 4о + т.
Пусть В, — равнодействуннцая реакций связей, приложенных к точке Р . Все связи системы будем предполагать идеальными во все время удара, т. е считаем, что равенство (10) и. 55 справедливо для любого момента времени из промежутка от !о до !о + т. Обозначим через 1 и ударный импульс реакций связей, приложенных к точке Р„ сс Тогда интегрирование по ! от !о до !а+ т обеих частей равенства (1О) п. 55, при учете постоянства величин бг„, приводит к соотношению (3) 1п Бг =О. я=! Пусть 1, — — ударный импульс активных сил, приложенных к точке Р„. Тогда равенства (3) и. 192 можно записать в виде (4) т Хьв = 1 + Х и (м = 1, 2,..., !у). Переписав равенства (4) в виде 1, — т с5а„= — Х„п, умножив каждое из ннх скалярно на дг и произведя суммирование по м, получим при Эти связи назынают таама катяасмамкческкмн.
Пм., например: !!арс Л.А. Лнааитичаская динамика. Мс Наука, !971. 'з' б. Дифференциальные вариациалиие принцицы механики 437 учете равенства (3) следующее соотношение: (5) (Š— та Ьо ) бг =О. »=1 Это соотношение является общим уравнением динамики в теории импульсивных движений. Величины — т,,т5о„= — т,(от — э ) можно назвать ударными импульсали сил инерции. И уравнение (5) может быть прочитано следующим образом: истинное послеударное состояние системы выделяется из всех кинематичесни возможных тем, что для него и только для него сулла работ антиеных ударных импульсов и ударных илпульсоа сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю. Остановимся подробнее на смысле величин бг„, входящих в соотноше- У ние (5). Если при ударе структура системы не меняется., то величины бт; А сохраняют свой обычный смысл: они удовлетворяют уравнепиям (12), (13) ЗЗ главы 1 (или эквивалентым им уравнениям (2) данного пункта).
Если же при С улаРе структура системы изменяется, Рис. 157 то ситуация несколько сложнее. Поясним это. Пусть бг совокупность виртуальных перемещений непосредственно перед ударом и пусть в момент времени 1 = Фе на систему наложена новая идеальная связь, сохраняьошаяся и после удара. В системе с изменившейся структурой будет новая совокупность виртуальных перемещений бге. Из-за наложения новой связи совокупность виртуальных перемеп1ений бг будет, очевидно, шире совокупности бге. И для того чтобы в соотношении (5) иметь виртуальные перемещения, пригодные во время всего ударного процесса от 1 = 1а до 1 = 1а + т, надо в (5) положить бг = бге. Иное дело, когда идеальнан связь во время удара снимается. В этом случае совокупность виртульпых перемешений бг„системы с доударной структурой уже совокупности бг„ь, и в (5) сдадут тгринять бгк = бг» .
Пвимвг 2. Дан ромб ОАВС, образованный четырьмя шарнирно соединенными невесомыми стержняли (см. Рис. 157). Шарнир О неподвижно закреплен. В шарнирих А и С помещены точечные массы вели шны та,. ЕЕо налраалению диагонали ВО к ромбу прикладыааетсл ударный импульс Е. Считая угол ьт заданныл, найдем послеударные скорости шарниров А и С. Глава Х11 Общее уравнение динамики (5) записывается в виде 1 - бгв — гавел . бз'л — ~оЬас .
бгс = О. Пусть 1 — длина каждого из стержней. Из рис. 157 имеем: (О) гл —— 1(сов а, в1п а), гп — — 2((сов а, 0), гс — — 1(сов а., - вш а), П = ( — 1, 0). (7) Поэтому бгл —— 1ба( — в1п а, сов а), бзп — — — 21ба(вша., 0), бгс, = — 1ба(вша, сова). Пусть ал —— (ол з ол„), ос — — (осе, осв). Тогда ЗПЬОА —— т(ОЛе, ОЛЗ), тЬОС вЂ” — ЗП(ОСе; ОСа). (О) Переписанное с учетом равенств (7) — (9) соотношение (б) после сокра- щения на (ба приводит к уравнению 2! в1па+ т(ол, + ос,) в1па — т,(плз — осв) соьа = О.
(10) ОАе = Осе~ ОАз = Ька ОСЮ ОАЗ = ОСВ. (11) Пз системы (10), (11) получим искомвяе проекции векторов послеудар- нык скоростей шарниров Л и С: 1вш а з ОАе = ОСч = гп 1вш2а ела = -оси = 2т 206. Принцип Журдена. Так как при ударе координаты точек системы неизменны, а меня1отся лишь их скорости, то длл решения задач теории импульсивных движений более приемлем принцип Журдена (см. ~2 главы 3), а не общее уравнение динамики в форме (5). Прннлв такую точку зрения, соотношение (5) следует заменить равенством и (1 — т Ьо) бо =О, (12) Но из (7) следует, что ол. = — 1в1паЬ, ола = 1соваа, ос, = — 1в1пасц осз —— — 1соваа.
Отсюда выгпекают еще три уравнения 'З' 5. Ди4ференциальные еариационные принципы механики 439 где по-прежнему Ье = а+ — е , а конечные вариации скоростей ба (в силу равенств (2) и. 205 н (19) из х3 главы 1) удовлетворнют уравнениям (13) В бе, = 0 (у = 1, 2,..., 1). о=1 Соотношение (12) выражает принцип Журдена в теории импульсивных движений: послеударное состояние системы выделяется среди кинематически возможных тем, что для него и только для него вьтолняется соотношение (12).
Для дальнейшего использования принципа Журдена рассмотрим подробнее вариации ди,, входящие в равенство (12). Ограничимсл случаем, когда все связи системы нвляются обратимыми. Тогда величины бт в (1) тождественно равны нулю, а нинематически возможные скорости точек системы определяются из уравнений: (14) В ° а =0(у=1, 2,..., 1). Если при ударе структура системы не изменяется, то уравнения (13), определяющие вариации скоростей де, с точностью до обозначения неизвестных совпадают с уравнениями (14), которым удовлетворяют сами скорости а точек системы.
Поэтому в соотношении (12) вместо беп можно написать в, считая вектор е любой кинематически возможной скоростью. Соответственно принцип Журдена может быть записан в виде соотношения ~> (1 — т Ье„) а =О, (15) где ста, = еч — е,, а е„— скорость точки Р„системы в любом состоянии движения, совместимом со связями. Пусть во время удара ца систему наложены новые идеальные обратимые связи. Тогда в (15) а - — любой вектор скорости, допустимый для системы с наложенными связями.
Если же во время удара происходит снятие идеальной обратимой связи, то в (15) а — любой вектор скорости, допустимый для системы до снятия связи. Упглжнкннк о. Рассмотрим покоящуюся систему с ндеальнымн обрвтимымн связями. Пусть а„н е — скорости точек системы после (Ц (2) 440 Глава ХП приложения ударных импульсов 1 и 1 соответственно. Показать, (1) (2) что после приложения суммарного импульса 1 = 1 + 1 точки (Ц (2) системы приобретают скорости а = о, + е, т. е. суперпозиция им- (1) (2) пульсов влечет за собой суперпозицию скоростей.
Пгимнг 1. 11ри помощи принципа Журдена найдем послеударную угловую скорость и1 стержня из примера 3 п. 196 (рис. 147). Положив в, = а'" и учтя, что а = О, а послеударная скорость конца стержня, к которому приложен импульс, равна 1а1, получим соотношение (1о) в форме равенства Еы1 — 2 т от = О. Это равенство е=1 лолсио переписать в виде Еиг1 = 2Т, где Т = — — п112игз -- послеудариая 1 1 2 2 2 3 кинетическия энергия шпержнн. Отсюда получиел иг = — ' 31 т1 207. Принцип Гаусса, Рассмотрим систему с идеальными связями. Возмолчиые скорости ее точек определя1отся системой уравнений (1). Пусть к точкам Р системы в момент 1 = (о прилагаются заданные активные ударные импульсы Е„, или на систему накладываются новые идеальные свнзи вида (1), или же осуществляется и то и другое одновременно, Пусть, как обычно, о и о" — векторы скоростей точек системы непосредственно до и после удара, а о вектор любой кинематически возможной скорости точки Р, в момент 1 = 1о + т окончания удара.
Пусть (16) Величина С = С(е ) является функцией от кинематичеки возможных скоростей в„ точек системы в ее послеударном состоянии. Справедливо следующее утверждение. Теорема (Робена). Состояние системы после удара будет таким, для которого функция С(е ) имеет наи.яеньшее значение по сравнению с ее значениями, отвечающими всем кияематически возможным послеудариыл скоростям системы. Это утверждение анвлогично принципу наименьшего принуждения Гаусса в случае конечных сил (см. 23 главы 3), функция (16) лвляетсл аналогом принуждения Я. 1(оказательстео.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
