markeev_book (522779), страница 71
Текст из файла (страница 71)
' 2 (2) (2) (15) означающее, что при ( = (о+ т1 проекция скорости точки Оь относительно точки 02 на общую нормаль к поверхностям тел равняется нулю. Пусть 1(з) и 1(2) — величины ударных импульсов, прилоэсенных к телам, за время первой и второй фаз удара соответственно. Тогда з(~) + 1(~) = 1 (16) и, кроме того, имеют место равенства (9), (10), в которых верхний индекс + надо зименить ни индекс (1), а вместо 1 написать з(2). Величина з(~) находится из соотношения (15). Проведя выкладки, совершенно аналогичные выкладкам, проведенным выше при получении формулы (14) из соотношения (3), найдем (0 ись 2 Р и тогда из (14) и (16) получаем, что 2 и" (2) ж )з 1(2) Таким образом, — = ж, т. е.
при соударении двух абсолютно гладких ' 1(з) тел отношение величин импульсов ударных сил, возникающих мезкду телами во второй и первой фазах удара, равняется величине коэффициента восппановления. 430 Слава Х11 Пгимкг 1 (Удяг о кгкнкз (о нкподвижнзю пгкггядз)). Пуапь неподвижной прегридой будет тело Вз. Полагая и = О, ш = 0 и устремляя величины тз, Аз, Вз, Сз к бесконечности, из (12) находим (индекс (1) у величин, относящихся к телу Вз, опускаем) и = —,+ ' + + ' . (17) Ь7 — (!)г ( — 7)' ( П вЂ” М' Величина и„„будет проекуией скорости точки контакта Оз тела Вз со стеной на вкешнюю нормаль к телу в точке 0ш Величина импульса вычисляется по формулам (14), (17). Соотношения (9), (10) можно переписать в виде (д 7 — г(З) ч.
(гсг — зеу) р~=р +1, йь=й +1 (х — УМ ч..1 хь =х +! ', и~ =о + —,пз. Пгимкг 2. Однородное колесо радиуса Л катится без скольжения по горизонтальной плоскости, оставаясь в вертикальной плоскости. Оно ударяется некоторой точкой своего обода о неподвижное препятствие высоты й < Н. Удар происходит без тренин, коэффициент восстановгения равен ю. Покажем, что если и > 1 — . Л, то колесо 'и 1+ юз не преодолеет препятствие, как бы ни была велики до удара скорость центра колеса. Пусть сз — угол мезкду вертикалью и радиусом колеса, соединяющим центр колеса 0 с наивысшей точкой препятствия 0 (рис. 156), о — величина скорости центра колеса перед ударом, а и~, о~~ — проекции его скорости, после удара.
Приложенный к колесу ударный импульс 1, ввиду отсутствия трения, направлен по радиусу 00. Поэтому за время удара угловая скорость колеса не изменяется. Рис. 166 Так как скольжение отсутствует, то непосредственно перед ударом скорость точки контакта колеса с препятствием задается компонентами и ( — исова„— ив1псз).
Из теоремы об изменении количества движения при ударе и гипотезы Ньютона (2) имеем систему трех уривнений (т — касса колеса): пь(и,~ — и) = — ! вша, зпозь =!совсз, пфв1псз — в+савел = — ггзов1по, Соударвнив твердых твя решив которую, получи к = о]1 — (1+щ) а1» чз], о„= (1+щ)оа1посоао. 1 = т(1+т) ваш о, Отсюда и следует доказываемое неравенство.
203. Изменение кинетической энергии нри соударении абсолютно гладких тел. Для каждого из тел Вл по формуле (6) у3 имеем 2 1ньь Аь Вь Сь з] Используя обозначения п. 202, это выражение можно переписать в виде ЬТь = — — + — '+ — + — + 1(о + ш х СлОл) ° нь. ~ ( 2 ~ чпь Аь Вь Сл/ Замечая, что о + аз х СьОь = о „, производя суммирование и учитывая обозначение (12), находим изменение кинетической энергии системы двух тел ь+ з = 2 р + (оо1 нч+ оо, нз). Принимая во внимание равенства (13) и (14), последнее выражение можно записать в следующем окончательном виде: (1 — ') , 2р ЬТ = —, иты (18) Суммарная нинетическая энергия тела не изменяется только в случае абсолютно упругого удара (щ = 1).
В остальных случаях происходит потеря кинетической энергии (чзТ ( 0). Колесо кв преодолеет препятствие и отскочит кизид, если о+ < 0 (если о+ = О, то колесо взлетит вверх вдоль оси Су), т. е. если 2 (1 + щ) зш о ) 1. Но так как з1п о = Вз , то это озкачает, что должно выполняться условие 432 ! "лааа Х11 2 ГИ11Н2 11 ГН1 + 1112' (19) Подставлял это значение рз в выражение (14) и замечая, что в рассмат- риваемом случае (20) Ига: В1 Оз получаем величину ударного импульса при прямом центральном ударе: (21) 204.
Прямой центральный удар двух абсолютно гладких тел. Назовем линией удара прямую. проходяШую через точку соприкосновения тел при ударе перпендинулярно их общей касательной плоскости (на рис. 154 нормали ял к поверхпосятм тел ВВл лежат на линии удара). Удар называется прямым, если скорости эл центров масс до удара направлены параллельно линии удара. Из упомянутой выше неизменности касательной составляющей скоростей еь следует. что при прямом ударе скорости эь центров масс тел после удара будут параллельны линии удара. Удар называется центральныл, если центры масс тел перед уларом лежат на линии удара.
При центральном ударе моменты Мь = СьОь х 11. УдаРного импУльса относительно цеитРов масс Сь тел равны нулю (величины (1, пь, 1,"1, в (9) обраща1отся в пуль). Поэтому, согласно (9), при центральном ударе угловые скорости ых. обоих тел остаются неизменными. Рассмотрим задачу о соударенни двух абсолютно гладких тел, предполагая, что удар является прямым и центральным.
В этом случае пентры масс тел лежат на линии удара, а их скорости направлены вдоль этой линии как до, так и после удара. Так как еще и угловые скорости тел при ударе не изменяются, то задача о прямом центральном ударе сводится к нахождению изменений проекций скоростей центров масс тел па лици1о удара.
Простейшим примером задачи о прямом центральном ударе двух тел может служить задача о соударении двух одинаковых шаров, центры масс которых движутся вдоль одной прямой. За положительное направление па лилии удара примем направление н = нз внутренней нормали к поверхности тела Вз.
Пусть ах и 11~~ (й = 1, 2) — проекции на линию удара скоростей центров масс тел В1 до и после удара. Для того, чтобы удар произошел, необходимо, чтобы до удара относительная скорость центра масс одного из тел, например, В1, была направлена к центру масс второго тела (11 > о.
). Так как сь = йь = 1,"1 = О, то формула (12) принимает вид Соударение 7иеердих 7пел 7П1(О1 О1 ) = 17 7П2(О2 О2 ) = 1 Отсюда, принимая во внимание формулу (21)7 находим проекции пос- леударных скоростей центров масс тел на линию удара: (770 ют2)О1 + 7112(1 + а.'.)772 О1 + (22) ш1(1+ щ)О1 + (тз — ют1)О2 Оз 7П1 + 7712 Изменение кинетической энергии за время удара вычисляется по формуле (18) при учете равенств (19) и (20)1 Ш17П2 2 т1+ тз (23) Рассмотрим частные случаи.
а) Абсолютно упругий удар (щ = 1). Из (23) следует, что в этом случае нет потери кинетической энергии (ЬТ = О), а формулы (22), (21) дают следующие выражения длн послеударных скоростей центров масс тел и ударного импульса: (ш1 ™2)171 + 2771202 .г (ш2 — ш1)О2 + 21п!О1 О, 172 (24) Ш1+тз т1 + гпз Ш,1 7П2 п11 + те (23) Если, кроме того, массы тел равны, то О = Оз, О2 —— О, т. е. центр масс каждого нз тел будет иметь послеударную скорость, каку1о имел центр масс другого тела до удара. Таким путем происходит перенос количеств движения прн столкновении молекул идеального газа. б) Абсолютно неупругий удар (гв = О). Из (22) получаем 7П1'О1 + 7П1172 О1 О2 7П1 + 7П2 (26) т.
е. скорости центров масс тел после удара становятся одинаковыми. При этом происходит потеря кинетической энергии; по формуле (23) находим гп1 тз 2(7п1 + тз) (27) Применяя теорему об изменении количества движения к каждому из тел, получаем два равенства 434 Глава ХП Согласно (21), ударный импульс определяется выражением тзтз т о1 12 т. е. он в два раза меньше, чем при абсолютно упругом ударе. ПРимеР 1 (ПРЯМОЙ ПентРАльный УДАР О непОДВижнУю ОтенкУ), Пусть стенка есть тело Вз. Полагая о = О и устремляя тз к бесконечности, находим из (21) — (23), что в этом случаеь дьТ = — — (1 — ш )тзо 1 2 2 2 —, =О, 1=(1+ ) 2 оп 2 Т ( ' )т1+тг При заданных вели шних а.
и тг величина ц будет у1ункцией от п11. Ьсли мы хотим придать телу Вз наибольшую возможную скорость, то надо уменьшать потери ~ сьТ ~, т. е. уве шчивать возможную лассу т1 тела В1. Выгоднее, например, забивая гвоздь, пользоваться тяжелыл молотком, сообщая елу малую скоростьч чел более легким при ббльшей скорости. Совсем другая ситуация возникнет, когда надо будет разрушить тело Вз.
Здесь надо увеличивать ве.шчину ~ ЬТ ~, т. е. увели швать ц. Это означает, что надо уменьшать т1. Наприиер, ковать лучше более легким молотком, сообщая ему (при заданной величине Т) большую скорость. ПРимеР 3. Найдем необходимое и достаточное условие гпого, что при прялол центральном ударе двух поступательно движущихся тел В1 и Вз тлело В1 после удара остановилось.
Нз первой формулы (22) следует, что такил условием будет выполнение равенства (т, — а.тз)оь + зпз(1+он)о = О. 1П1 Отсюда, в частности, следует: а) если о = О, то ш = —; б) если 1П2 ' до удара скорости тел были равны по модулю и противот1о»ожны по 1П1 напривлению (оз = — о, ), то — = 1+ 'Ьв.
ПРимеР 2 (О нккотовых ИРАктических ИРиложенинх еОРмулы (23)). Пусть тело Вз неподвижно (оэ = О) и надо привести его в движение, удаГшя по нему телом В1. Кинетическая энергия тела В1 перед ударом приобретаепщя за счет мускульных усилий человека и будет рав- 1 2 на — тзо . Пусть это количество кинетической энергии Т задано. По- ложим 'З б. Дифференциальные вариацивнные принципы механики 435 Упрлжнкпик 4 (Косой хдлр двух шаров).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
