markeev_book (522779), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Положим о = о~ + бо„и рассмотрим разность С(а ) — С(о~). 1 5. дифференци льпые вариацпопные принципы механики 441 Имеем С(оп) С(ои ) = Р (тьц гтоп А ) ' М + 2 ~~~ ™п(бот ) ~ (17) где 11оп = о,+ — о„ . Так как оп и о,ь кинематически возможны после удара, то вариации скоростей бо удовлетворяют уравнениям (13) и справедливо соотношение (12). Следовательно, первая сумма в правой части равенства (17) равна нулю. А так как не все величины бо равны нулю, то из (17) следует, что С(е ) > С(о~ ). Это и требовалось доказать.
УпРАжненик 6 (ЭкстркмАлы1ОЕ сВОЙГХВО Удлрных импУльсОВ РкАкций Снзкй). Пусть Тпн — ударные импульсы реакций связей. Показать, что для действительного послеудариого состояния системы величина имеет минимальное значение по сравнению с ее значениями для всех кинематическн возможных яослеударных состояний системы.
Рассмотрим частный случай, когда активные ударные импульсы отсутствуют. Положив в (16) 7 = О. получим, что тогда функция (18) имеет минимум при действительных значениях послеударных скороетей о,.ь из совокупности скоростей о, кинематически возможных для системы с наложенными связями. Пример 1. Два одинаковых тонких однородных стержня АВ и ВС массы т и длины 1 1 оь каждый соединены шарниром В и находят- А В С ся в покое, составляя одну прямую, Опреде- Г лить послеударное кинематическое состоя- оз, азз 1 ние стержней вследствие ударного импульса Х, сообщенного точке С под прямым углом Рнс.
158 к стержням (рис. !58). йинематическое состояние стержней АВ и ВС вполне определяется скоросгпями ог и ог их центров масс и угловыми скоростями ьз1 и шг. Учитывая, что до удара стержни покоились (о = 0) и пренебрегая в (16) не зависли!ими от об шг (1 = 1, 2) слигаемыми, выражение 1лава ХП для фуннции С можно записать в виде Х к 2 ~Х- (19) Пусть Т вЂ” суммирная кинетическая энергия стержней, а и — ско- рость то ти С после удара. Тогда из (19) получаем С =Т вЂ” 1и = — т(ог +из~) + — т12 ( ~~~+ы~) — 1и. (20) Так как точка В принадлежит как стержню ЛВ, так и стержню ВС, то имеет место кинематическое равенство: и1 + а'1 = 132 Ю~г 2 2' (21) Броме того, и = ог+юг —. 2' (22) Сучетем равенств (21), (22) выражение (20) для функции С принимает вид чг С = — т ~сг (юг+ю2) + ти + 1 2 + —, гп1 (ьз + ы ) — 1 ( иг + ьог — ~ .
1 г г г Г, 24 г г ( - 2/' (23) Усзьовия экстремума функции С дают три уравнения: ВС дог ВС вЂ” 0 зС вЂ” 0 дюг ' дюг (24) Из системы четырех уравнений (21), (24) находим: 1 Ы, 51 91 ог= — —, щг= — ., ог= —, 4т' 2т1' 4т' 2т1' Отрицательные знаки у ог и ыг показывают, что действительные на- правления скорости центра масс стержня ЛВ и направление его вра- щения противоположны направлениям, указанным на рис. 158. Прггикг 2. Материальная точка массы т покоится на абсолютно глад- кой поверхности, задаваемой уравнением )'(х, у, г) = О. Б точке при- кладывается ударный импульс 1 = (1,, 1а, 1,).
Найдем скорость точки посзье удара. 'з б. Дифференциальные вариациопные принципы механики 443 Для функции (16) имеем вырихтение С= 2т х — — "' + у — —" -ь г — — ", (25) Уривнение связи 1(хт гу, г) = О даетп соотношение дфг дф. д1. —:с+ —,у+ —,г = О. дх' ду дг (26) ~тд~. дф. д~ Л Е = С вЂ” Л [ —,х + —.у -в — д~ [,дх ду дг где Л вЂ” неопределенный множителв. Условин экстпремеума — — — = О дают три соотношения ПГ ОЕ ПГ Пх ду дг тх = 1ь + Л вЂ”, тпу = 1э + Л вЂ”,, тг = 1, + Л вЂ”. (27) д,/' . дф . дХ ах' ' = " Пут = ' Пг Вместе с соотношением (26) они образуют систему четырех уравнений относительно четырех неизвестных х = хв, у = ув, д = дв и Л.
дф д1 дф Отметил, что величины Л вЂ”,, Л вЂ”,, Л вЂ” являются проекциями дх' ду' дг ударного импульса реакции связи на соответствующие координатные оси. Поимка 3. Тонкий однородный стержень длины 1, занимающий горизонталвное положение, падает поступательно вниз. Он встречает точечное препятствие, отстоящее от концов стержня на расстояниях — 1 и 3 О (рис. 159). Скороств стержня перед ударом равна о. Предполагая удар абсолютно неупРнс. 159 ругим, найдем послеударное кинематическое состояние стержня.
Кинематическое состояние стержня после удара полностью определнется его угловой скороствю ит. Актпивнвтх ударных импульсов нети. Имеем задачу на условный экстремум: нужно найти точку экстремума функции (25), если пере ценные х, у, г связаны соотношением (26). Восполвзуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Пустпь Тлааа ХИ Импульсивное движение возникает только из-за наложения новой связи, внезапной остановки точки О стержня.
Так как для каждой точки стержня и„= и, то дгш функции С из (18) имеем тиков выражениег С = 1 ~ т,и,', — ~~ гп„и и+ 1 гь гп, ггз. (28) =1 ггпу =г / Пусть т — лгасса стпержнн, ис — пос геударная скорость его ценгпра масс, а По .. момент инерции стержня относигпельно точки О. Тогда 2 т = тч 2 ггг„и = тио, а — 2 т оз = гЛоагз — кинетическая энергия стержни после удара, и функцию (28) можно представить в виде 1 = —,Уоы — тис и+ — ти . 1 з 1 2' 2 Ло,Уа = '7пй~, иг = (О, и), игз = (О, ы ), Позгпому имеем такое окончательное выразкение для функции С С = пг (7аг~г~ — 24ыи1 -~- 48из). 96 ДС 12и Из условия — = О находим ы = ды 71 ' 86.
Теоремы Карно 208. Первая теорема Карно. Рассмотрим движение системы, свнзи которой идеальны и обратимы (в частности. стационарны). В некоторый момент 1 = 1о на систему накладываются новые связи, которые также являются идеальными и обратимыми. Активных ударных импульсов пет. Импульсивное движение возникает только за счет наложения новых связей.
Найдем изменение кинетической энергии системы за времн удара. Имеет место следуюгпая (первая) теорема Карно: Теорема. Если внезапно наложенные иде льные обратимые связи сохраняютсн после удара вместе с ранее сугцествовавгиими идеальными обратимыми связями, то погперянная в результате наложения новьгх связей кинетическая энерг я равна кинетической энергии потерянных скоростей. з б. Теоремы Карно Доказательство. Можно было бы применить результаты п. 197., где рассмотрена общая теорема об изменении кинетической энергии при импульсивном движении, но уцобнее воспользоваться принципом Журдена (см.
п. 206). Так как Т, = О, то соотношение (15) п. 206, справедливое для систем с идеальными обратимыми связями, можно записать в виде 1Ч ти(ои — о'ь) ° ои = О. «=1 Здесь о, — любой вектор скорости точки Р«, кинематически возможный для системы с наложенными связями. Следовательно, ои = о,+, и из соотношения (1) следует, что зз т«(о, — о') ° о„" = О.
(2) «=1 11о так как (ои — ои ) ои = — ~ои — ои — (ои — ои ) 1, то равенство (2) можно переписать в виде 1Ч и к — 1п,о — — ~пь о, — — хз т,(о, — о ) =0 г и «=1 и=1 или, при обозначениях (9), (13) п. 197, Т вЂ” Т+ — Т, = О, т. е. Т вЂ” Те = 2'„, (3) что и доказывает первую теорему Карно. Эту теорему можно трактовать как теорему об изменении кинетической энергии за время первой фазы удара. Как видно из (3), за первую фазу удара кинетическая энергия системы всегда уменьшается.
Примкр 1. Два одинаковых шара движутся поступательно вдоль одной прямой со скоростями о1 и оз. В некоторый момент времени шары соприкасаются и происходит абсолютно неупругий удар. После удара шары образуют одно тело, движущееся вдоль исходной прямой со скоросгпью о. Найдем величину о при помощи первой теоремы Кирно. Пусть т . - масса каждого из шаров. Тогда Т = -т(ох+ох), Т+ = то-, Т, = -т(о1 — о) + -гп(оз — о)'. Тлаеа ЛУ ХХз уравнения (3) находим е = — (ез + ег). 1 2 Последнее равенство, очевидно, выражает неизменность количества двизсения системы двух шаров при ударе.
Оно могло быть также получено из формул (22) и. 204 при зс = 0 и зпз = тг. 209. Вторая теорема Карно. Пусть у системы с идеальными обратимыми связями в некоторый момент 1 = 1о происходит внезапное снятие связей (одной, нескольких или даже всех). Активных ударных импульсов нет.
Если моменту 1 = 1о предшествовала фаза деформвции, то при снятии свлзей возникают ударные импульсы реакций связей и происходит увеличение кинетической энергии системы. Имеет место следующая (вторан) теорема Карно: Теорема. Кинетическая энергия, приобретенная при скатки связей, равна кинетической энергии приобретенных скоростей. здоказательство. Как и в и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
