markeev_book (522779), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Постояьшые ом оз,..., ов з не имеют, вообще говоря, определенного физического смысла, а просто представляют собой набор постоянных, появляющихся в процессе нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона Якоби. Применим к импульсам оы..., оп произвольное дифференцируемое обратимое преобразование оы..., сз„— ь сз*,..., о,',з 3 б. Метод Якоби интегрирования уравнений двиэяения 363 179. Разделение переменных. Известны замечательные случаи, когда полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби (7) может быть найден при помощи разделения переменных.
Метод разделения переменных состоит в том, что решение уравнения (7) ищется в виде суммы функций, каждая из которых зависит только от одной из переменных 91,..., дн и времени (и, конечно, произвольных постоянных): Я =ЯоЯ+Ы111 1)+Яз(йг 1)+" +Ян(9 1) (23) К сожалению, не существует простого критерия, позволяющего в общем случае по структуре функции Гамильтона судить о возможности разделения переменных в уравнении (7) 1. Мы укажем только два простейших случая разделении переменных для консервативной или обобщенно консервативной системы. 1 .
Пусть (24) т. е. функция Гамильтона зависит от и функций Ре, каждан из кото- рых зависит только от одной пары «своих» канонически сопряженных переменных д;, р,. Будем предполагать, что — ' р': 0 (1 = 1, 2,..., и). дР1 орг (25) Уравнение Гамильтона — Якоби (13) имеет вид (26) Положим 7'1(91, —,) = ое (1 = 1, 2,..., и). дИх " дд;) (27) д1' дрй =а(9. о) (28) Тогда / Яг(Ф '11) ойг; 1=1 1исследоваиие этого вопроса содержится в работе: Ярон-Яровой М. С. Об интегрировании уравнения Гамильтона-Якоби методом раэделения переменнмл О ПММ, 1963, т. 27, вмп. 6, С. 973-987.
При условии (25) равенства (27) можно разрешить относительно д)г)дц: 365 З б. Метод Якоби интегрирования уравнений движения При условии (33) зти равенства можно разрешить относительно произ- водных д)г/дЧ1 (1 = 1, 2,, п). Получим = Е1(Ч1; се1)~ д = дз(Чз~ о1 оз)~ ° ° ° д = Кя(уя~ оя — 1; оя). д1', дЪ' . д1' дЧ1 ' дуг " ' ' дЧе Функция я о яр + ~~ Ег(ЧО 11е — 1'.
он) йуг 1=1 (34) Е1 = — Р— гпУЧ., 3 2т где р импульс, соответствующий обобщенной координате Ч, ускорение свободного пидения, Если — Р— гпнЧ = Ь = о, 1 2т е = „'2 2(: — ее) (35) и полный ингпеграл уравнения Ганильтона — Якоби — + — 1 —,( — тД'Ч = 0 дд 1 /дд'1' ду 2т ),дЧ( будет решением уравнения (7). Легко проверить, что неравенство (8) при условии (33) выполнено, поэтому функция (34) будет полным интегралом уравнения (7). Мы рассмотрели весьма частные случаи, когда специальная структура функции Гамильтона позволяет дать общий конструктивный способ построения общего интеграла уравнения Гамильтона Якоби. Следует. однако, отметить, что указанные способы разделения переменных применимы к таким важным задачам механики, как задача о гармоническом осцилляторе, задача о движении физического маятника, задача двух тел, задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа и др.
Рассмотрим некоторые примеры. Пгимкг 1 (Своводнок вкгтиклльнок плдкник млткгихльной точки у поВеРхности Земли). дусте ось ОЧ направлена вертикально вниз. Если т . - ласса точни, то 366 Глава Х1 ,запшаетпся в виде П соответствии с формулами (9) имеем =р~ дН ду Первое из этих соотношений дает равенство (36), а из второго полу- чаем — й+ 7п 712 = — П, 2,/,чГа+ тП71 или 2 ь7а+ тка — 1+ т д' = — П.
(36) Произвольные постоянные 77 и П находятся из начальных условий. Пусть при 2 = О имеем й = О, ц = О. Тогда из (36), (36) и равенст- вар=сну следует, чтоо=д=О и О2 —,э = хпья4. 2 ' ПРИМЕР 2 (ДВИЛ1ЕНИЕ СТЕРЖНЯ, ОПИРАЮЩЕГОСЯ НА ГОРИЗОНТАЛЪНУЮ плоскость и Веэтиклпьную ось). Пусть в однородном поле тязкести движется бесконечно тонкий однородный стержень длиной 21 и массой т. Нижний конец стержня перемещается по гладкой горизонтальной плоскости, а верхний его конец на рассматриваемой стадии движения опирается ни гладкую вертикальную ось ОХ (рис, 143).
Найдем полнзяй интеграл уравнения Гамильтона-Якоби в этой задаче. Пусть 97 — угол между проекцией стержня на плоскость ОХУ и осью ОХ, а 62 — угол, который образует стержень с вертикалью. Со стержнем жестко свяжем систему координат Схуг, оси которой направлены по его главным центральным осям инерции, причем ось Су лежит в плоскости, проходящей через стержень и вертпикаль Ох. Для кинетической и потенциальнои энергии имеем выражения 2 1( ~рз + дуг+ СГ2) 17по2 П = тя1соедз, где А, В. С --- моменты инерции стержня относительно осей Ст, Су, Сг, а р, д, Г -- проекции его угловой скорости на эти оси, 71сз -- ско- рость центра масс стержня, к — ускорение свободного падения. г б.
Метод Якоби интегрирования уравнений движения 367 Имеем А = В = -т«2, а С = 0 ввиду 1 3 того„сто стержень бесконечно тонкий. Далее, Р = с«гс с« = с«1 8п1 уг, вС вЂ” «(епс с«ге«1 + Ч2) г поэтому Т = —,т«(жп с«гс«1 + 72). 3 Рис. «43 При помощи функции Лагранжа В = Т вЂ” П находим обобщенные импульсьс Рс = ..
= — т«81п Чгбы Рг = . = гт«С«2. д«4 г ° г ° дВ 4 дус 3 ' ' дс«г Так как рассматриваемая система консервативна, то функция Гамильтони имеет вид Н = Т + П и для нее получаем следующее выражениес 2 Н =, +Р, +ту«согс«2. 8т« ~ есп ог ) Положим 3 ( г «11 = Ос, +рг + гссу«совуг = 112.
1 81п Чг Тогда полньсй интеграл уравнения Гамильтона Якоби будет иметь вид ссг«+ сгсс«1 + 180. Теорема Лиувилля об иитегрируемости гамильтоиовой системы в квадратурах. В п. 163 при помощи теории множителя показано, что для построения общего интеграла системы — — — — — (1=1, 2,...с и), с«бс дН ссрс дН (37) д« др,: где Н = Н(ус. Ро 1), достаточно найти 2п — 1 первых интегралов. Построение же 2п-го интеграла сводится к квадратурам. Изложенный в п.п. 175 †1 метод Якоби интегрирования системы (37) позволяет 308 Глава Хг 1;(д~....., о„, рз,..., р„, Р) = ои = сопзь (1= 1, 2,..., и), (38) находящихся в инволюции, т.
е. (7„, Я = 0 (г', в = 1, 2,..., и,), (39) причем д(7ы...., Г„) П(р,": р ) (40) Тогда интегрирование системы (37) сводится к квадратурам. Доказагпельство. Заметим сначала, что при условии (40) уравнения (38) можно разрешить относительно обобщенных импульсов. В результате получим р; = ьс;(оы..., део оы..., сгя, 1) (1 = 1, 2,..., и). (41) Покажем, что при выполнении условий теоремы имеют место равенства (1, 1=1, 2,..., и). дул дрй (42) Заменив в равенствах (38) величины р; на их значения аи из (41) и продифференцировав затем г-ое из получив|пихся тождеств по д;, получим ПГ„" д7', дюь дщ дрь дд; Умножив обе части этого тождества на производную д)'„/др; и произ- ведя затем суммирование по 1, придем к соотношению т";- '~ 'Л ~- ~'- 'У 'Л П~ь =, („л = 1, 2,, „) (43) дч1 др~ дрь Пр; дф получить существенно более сильный результат: во многих случаях для сведения интегрирования системы (37) к квадратурам достаточно знать только и ее первых интегралов.
Говорят, что функции иы иг ° ., и~ от чы , чь р» . ° . ра~ 1 находятся в инволюпии друг к другу или что они образуют систему в инвол|оции, если все скобки Пуассона (иь ьл) (1, й = 1, 2,...,1) тождественно равны нулю. 'Теорема (Лиувилля). Пусть система уравнений (37) имеет и первых интегралов З б. Метод Якоби интегрирования уравнений деилиенив 369 д(; д~, и к д7; д~, д~ре ".
'+Е2,. '. '. '=0 дрь дяь 2 ~ дрь др; дои Если здесь в первой сумме изменить индекс суммирования Й на ин- декс 1 и поменлть порядок суммирования в двойной сумме., то придем к соотношению Е~У'~У'+ЕЕ ~У' М~ ' =О (г =1, 2, ", ) (44) др; дри дрь др; дйь Вычитан почленно равенства (43) и (~14) и учитывая условия (39), по- лучаем и и — — = 0 (г, « = 1, 2,..., п). (45) д1гв др; 1, ддь дд; / Возьмем н из этих соотношений, соответствующих какому-то фиксированному значению г, и запишем их в виде — 'х;=0 (в=1, 2,..., и), д~, др; (46) где дХ. (ое д~ ) и=1 Система уравнений (46) при условии (40) имеет только тривиальное решение, т. е.
дрь 1дпь да / Взяв теперь н из этих соотноепений, соответствующих фиксированному значению 1, совершенно аналогично покажем, что все выражения, заключенные в круглые скобки н (47), равны нулю, т. е. справедливы равенства (42). Теперь обозначим У* функцию!'амильтона П из (37), в которой величины р; заменены их значениями у; из (41). Покажем, что дуо, дН" дри — — (1=1, 2,..., п). (48) Аналогично, умпоекив на д~,/дре обе части тождества, получающегося в результате дифференцирования по дь в-го из равенств (38) (при р; = ин) и произведя затем суммирование по Й, получим 370 Глава Х1 Имеем из (37),(41) и (42) дн 19; дарг дсс1 ~ д рг дгб д рг ~ дну ддда, дг д1 дб ~ дбд г11 д1 ~. дд, др ' 1=1 1=1 Следовательно, др дН С- дНМ 0Н* 01 = дпе ~-др,,дг= д®' 1=1 (49) Из математического анализа известно, что нахождение такой функции д требует только квадратур, т.
е. вычисления интегралов от известных фупкпий. Равенства (49) показывают, что функции д удовлетворяет уравнению Гамильтона Якоби, соответствующему системе (37). Покажем, что д будет полным интегралом этого уравнения. Для этого надо проверить выполнимость неравенства (8), которое, в силу первых и равенств (49), приводится к виду в дгхь (50) Эти неравенства представляют собой необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений (41) относительно атг..., гс„.
Но уравнения (41) эквивалентны исходным интегралам (38), которые при получении уравнений (41) уже разрешены относительно ст1,..., ст . Следовательно, неравенство (50) выполнено и д — полный интеграл. При известном полном интеграле д интегрирование уравнений (37) завершается рассмотрением соотношений (9). Следует отметить. что далеко не каждая система (37) приводитсл ь квадратурам. Обычно нельзя найти необходимого количества первых интегралов. И пе потому, что их нахождение технически сложно, а потому, что существуют причины принципиального характера, препятствующие интогрируемости'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
