markeev_book (522779), страница 55
Текст из файла (страница 55)
(8) Поэтому часть системы уравнений Рауса — — — — =0 (в'=1, 2,..., й) с7 дЛ дЛ с)т де); д% (9) описывает изменение иециклических координат со временем и может интегрироваться независимо от другой ее части — = 0 (о = 5+1,..., я), с)1 дс„' с)1 (10) соответствующей циклическим координатам. Проинтегрировав систему уравнений (9), имеющую порядок 2)5 получим д; = де(К с, сы с',..., сво с', ) (з = 1, 2, ..., Й), (11) д,„= в( — с(1 -Ь с'„(гл = й + 1,..., и), 1 дгг дса (12) знри выполнении условии (6) уравнении (о) разрешимы относительно д' .
где со с'; (1 = 1, 2,..., )с) -- произвольные постоянные. Затем из первых и — й уравнений системы (10) находим зависимости циклических координат от времени 329 2 с. Системы с циклическими координатами Т = — т! (У -~ еьп Уф ), П = зпу(сову. 2 Так как функция Лагранжа Е = Т вЂ” П = 1 т!2(уз + зьпг уфз) — ту1 сову 2 ке содержит 1р, то эта обобщекнан координата циклическил.
Ей соот- ветствует первый интеграл Р = —. = гп! в!п дф = т! 1оось, д1 2 . 2 ° 2 дф (13) где сь — произвольная безразмерная постоянная; обозначение 1оо = ~/у!'1' введено для удобспьва. Так как из (13) следует, что а1о ф= .2 О~ вшг у (14) то для функции Рауса получаем выражение 1 2 '2 1 пь! ьзоо 2 2 2  — — — т1 У + — -> гну!солд. 2 2 гй'у (15) где в функции д!1,1дск величины 41 заменены на их выражении (11). Описанная в и. 164, 165 процедура понижения порядка системы дифференциальных уравнений движения явлнется одним из наиболее эффективных и практически важных способов, применяемых при интегрировании уравнений движения.
Всякая симметрии задачи, допускающая такой выбор обобщенных координат, чтобы некоторые из них у были циклическими, приводит к существованию первых интегралов р = сопев и, как мы видели, позволяет свести исследование движения к рассмотрению системы с меньшим числом обобщенных координат. Для обобщенно консервативных систем с двумя степеннми свободы наличие одной циклической координаты позволяет свести интегрирование уравнений движения к квадратурам (см. и.
164). Примну 1 (Движннин сфнуичнского маятника). Сферический маятник (см. пример 2 п. 138) имеет две степени свободы. Если за обобщенные координиты принять углы У и 1р (рис. 134), то длн кинетичесной и потенциальной энергии будем иметь выражения Глава Х1 Уравнения отве ьают системе с одной степенью свободы, которой соответствуют кинетическая и потенциальная энергия, опреде щемые равенствами 12 2 2 П* = тя1совд -~— 2 гьиз д Т" = 1тп1здг 2 Эта система называется приведенной системой, а функция П* — приведенным потенциалолц изьи потенциалом Рауса.
Приведенная система имеет интеграл энергии заз -т1'д'+ льд1 сов д+ — .," = -ль1зшоА 2 2 зпзд 2 (16) где  — безразмерная постоянния. Введем обозначение и = согд. Тогда и = — в1пдд и из (16) следует, что — й = С(и), 1, 3 ~о (17) где С(и) — многочлеи третвей степени, С(и) (1 иг)( — 2и) ьхг который можно льакзке записать в форме С(и) = 2(и — из)(и — из)(и — из), (19) где иы иг, из корни уравнения С(и) = О.
Заметим, что С(+оо) = +со, С(х1) = — сзз < О (если сь ф О), С( — со) = — эо. Так как С(и) — непрерывная функция, то хотя бы один из корней, например из, должен быть не меньше едитщы. Но на отрезке — 1 < и < +1 должны быть значения и, при которых функция С(и) полоксительна или хотя бы обращается в нуль, так как в противном случае равенство (17) иевозмознно для действительных значений и. Величина лсе и обязятелвно должна бььть дейсльвителвной, так как движение маятника. безусловно, физически существует. Отсюда следует, что функция С(и) имеет ровно два вещественных кор я иы из на отрезне — 1 < и < +1 и один корень из > 1.
График функции С(и) должен бытв таким, как показано на рис. 139. З е. Системы с циклическими координатами Рис. 139 Рис. 140 Так как для реального движения гг(гг) > О, то интересующий нас интервал изменения и определяется неравенством и, < и < из. Ему соответствует обегасть изменения угла 0: уз < 0 < угг отвечающая реильному движению маятники.
Рассмотрим движение, отвечающее различным значениям постоянных ы и Д. Сразу отметим, что из условий г (и) ? О и — 1 < и < +1 следует, что величина г0 не молсет быть совсем произвольной, а должна удовлетворять неравенству(з ) — 2. Если,'3 = — 2, то постоянная гх мозсет быть толыго равной нуло, что соответствует по гожеггию равновесия маятника, когда он занимает вертикальное положение (и = — 1, т. е. 0 = к.).
Функция С(гг) имеет максимум в точке (20) и = и, — 6(рг — чг(де + 12) причем г '(и„) = 1((г) — гз, где 1(Я = — [((з~ + 12)~г + 36гЗ вЂ” рг~]. (21) Для реального движения необходимо, чтобьг вьтогнялось неравенство С(и,) ) О, т. е. чтобы О < гг~ < 1'()г). (22) На рис. 140 значения пириметров сг, Д, удовлетворяющие неравенству (22)г соответствуют точкам, лежащим в незашгприхованной области плоскослщ или на ее границе. Верхняя гранииа области задается уравнением сгз = 1(Д); она касается оси ОД в точке ( — 2.
О)г а при рц — г сс имеет асимптоту ыг = д. 332 Глава Х1 Лзт классификации движен я маятника рассмотрим последовательно три возможггых случая. 1) ы = О. Из 114) следует, что в этом случае гр = грп = сопгг, и мы приходим к задаче о движении математического маятника в плоскости 1э = грп. Эта задачи подробно изучена в п. 93-96. 2) О < ог < /'113). В эпгом случае угол В изменяется в промежутке Вг < В < В,. На сфере радиусом 1 с центром в точке подвеси маятника значения В = Вг и В = Вг выделяют два круга, лежащих в параллельных плоскостях г = г, = 1сов Вг и г = гз = 1сов Вг.
Материальная точка, закрепленная на конце стержня, движется по сфере между плоскпсптми г = г, и г = гг, попеременно кисаясь этих плоскостей (рис. 141). г Рпс. 141 Рис. 142 Лри этом среднее полпжение тички всегда находится ниже горизонтальной плоскости, проходтцей через точку О подвеси лгаятника (рис. 134), т. е. иг + ггг < О. Чтобы убедиться в этом, приравннем коэффициентьг при первой степени и в тождестве 119). Лолучим 21игиз -1- игиз + игиз) = — 2, откуда 1+ игиз из =— иг+ ив ' Но так как из > О, и ~игиг~ < 1, то отсюда сразу следует, что из+из <О. Из уравнения 114) видно, чтп угол 1п в риссматриваемом случае либо монотонно возрастает (если о > О), либо монотонно убывает (если о < О).
Иа рис. 142 показана проекция траектории материальной точки на плоскость Оху для движен я, соответствующего рис. 141, когда обе плоскости г = гг и г = гг лежат низке точки подвеси маятника (прглнятог что о > О). Зта проекция попчередно касается пкружностей ридиуспв р, = 1вшуз и рз = 1г1пуг и напоминает собой движе- 'З с.
Сисгпемы с циклическими координатами пие по эллипсу, большая полуось которого враигается в горизонтальной плоскости в направлении движения. Для инлгегрирования уравнения (17) сдезгаем замену переменных гг — ггг г (из иг) зггг г (23) Отседа и из (17), (19) получаем диффереиииальное уравнение д я новой переменной о и = 2гзе(из — иг)(1 — й з1п и), з 1 г 2 . з (24) где йз пз и, (О < йя < 1) из — иг Если момент времени, когда и = иг, принять за начальный, то из (24) получаем т= =Р(п, й), е (23) где Е(п, й) — э, липтический интеграл первого роди (сы. а.
95), а /из — иг т =ые~( 2 Тогда из (23) следует, что и = 'иг + (пз — и,)тг т. (26) 2ггг2К(й) гоо гl'из — иг (27) Когда угол О найден как функция времени, зависимость уз(С) находится из уравнения (14) при помощи одной квадратуры. 3) гг~ = 1(Я. П этом случае корни иг и из мяогочлена С(и) совпадают, причем иг = из = — и„и мы приходим к задаче о коническом Так как эллиптпическая функиия зи т имеет период 4К(й), где К(й) полный эллиптический интеграл первого рода, то зпзт имеет период„ вдвое меньший.
Поэтому и = иг для т = 2пК(й) и и = из дгя т = = (2п+ 1)К(й) (п = 1, 2,...). Следовательно, угол й периодически ко- леблется между значениями дг и Вз. Период зс этих колебаний вычис- ляетсн по формуле Глава Х! маятнике. Угол В при движении постоянен, В = В, = вгссози, > 2' Материальная точка движется по окружности радиусом 1гйпВ, в горизонтальной плоскости г = г, = 1созВ, < 0; время ее обращения по окружности равно 2я1! — —.
Стержень, на катарам закреплена точка, 1 д аписььеает поверхность конуса с осью симметрии Ог. В 3. Скобки Пуассона и первые интегралы 166. Скобка Пуассона. Пусть и и и — дважды непрерывно дифференцируемые фупкпии от у,,..., да, ры..., р„, а Выражение ( ) - / ч !дида дида) ~ ' ~, дрл др; др, дрл / ь=1 называют скобкой Пуассона функций и и и. Отметим основные свойства скобки Пуассона. Пусть и, и, и! --. дважды непрерывно дифференцируемые функции переменных Вы В,Ры ° ° °, Рао 1. Тогда 1) (и, е) = — (и, и), 2) (си, и) = с(и, и) (с = сопз1), 3) (и + и, и) = (и.
и) + (о, и~), 4) д (,,) ди и +, де 5) ((ив с), и) + Ии, и~), и) + ((и, и), и) = О. Первые четыре свойства непосредственно вытекают из определенин (1) скобки Пуассона. Пятое свойство, называемое тождеством Пуассона, более громоздко для доказательства, хотя также несложно. Для сокращения выкладок можно использовать то обстоятельство, что каждое слагаемое в левой части тождества 5 есть произведение частной производной второго порядка на две частные производные первого порядка. Поэтому, чтобы показать, что левая часть тождественно равна нулю, достаточно убедиться в том, что она не содержит ни одной производной второго порядка, например, от функции и (так как и, и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
