markeev_book (522779), страница 54
Текст из файла (страница 54)
114) 7з = с7г — Ч'уз 'уг = Р7з — с ~з 7з = Ч7з — Р уг (30) образуют замкнутую систему уравнений, описивающую движение шара относительно его центра масс. Если она проинтегрирована, то траектория центра масс находится из уравнений (26) при помощи квадратур. Покажем, что интегрировиние системм уравнений (29), (30) сводится к квадратуралс Уравнения (29), (30) имеют интеграл эпергии — (А,р + Агц + Азс ) — — та ш„= й = сопз$. 1 г г, г 1 г г (3Ц Интегралами будут также величина вектора кинетического момента шара относительно точки В касания его с плоскостью (ЛгР— ти 71ы„) + (Агу — ти 7гьз ) ~ (Лзс — та 7зьзе) = сопзФ (32) и проекции этого вектора на вертикаль Азр7з + Агц'уг + Азс7з — та"ыо = сопз$,.
(33) Здесь ш„= Р уз + Ч уз + с уз -" проекция вектора ьз на вертикаль. Принимая величинм Р, Ч, т за псевдоскорости к~., кг, Уз и замечая, что обобщенние сали Пм Пг, Пз равняются нулю, из уравнений Аппеля получаем З С Множитель Якоби Кроле того, существует очевидный геол«етрический интеграл 7« + 7г + 7з = 1. 2 3 з (34) льп — — (Аьр — таз7ььоо, Азу — таз7зшоь Аз« вЂ” таз узш ) Отсюда и следуют интегралы (32) и (33). В существовании упо янутых интегралов можно убедиться и непосредственно, вычислив полные производные по времени от правых частей равенств (31) — (33) в силу уравнений движения (29), (30) и убедившись, что эти производньье тождественно равньь нулю.
Указанных четырех интегралов достапьочно, чтобы интегрировиние систел«ы (29), (30) можно было свести к квадратурам. Чтобы в этом убедиться, достаточно найти множитель Якоби М. Разрешив уравнения (29) относительно производных, получи Р = — [(Аз — Аз)Ч«+ 7«~Р], 1 Аз Ч = — [(Аз — Аь)гР У- УзУ], 1 Аз т = — [(Аь — Аз)РЧ + 'Узд], 1 Аз (35) где 1 У'Аз — Аз Аз — Аь Аь — Аз ьо = — ( Чьйг + Узгу+ УзРЧ Аз Аз Аз (36) (37) Интеграл (31) следует из теоремьь об изменении кинетической энергии (см. п. 88: аевая часть (31) есть ьтнетическая энергия шара: она постоянна, так как работа внешних сил„приложенных к шару, равна нулю). Существование инпьегралов (32) и (33) следует из теоремы об изменении кинетического момента в ее общей форме (см.
формулу (7) п. 87). Действительно, момент внешних сил (силы тяжести и реакции плоскости) относительно точки касания шара и плоскости равен нулю. А так как скорость «геометрической тонкие, которая «вычерчивает сньедз шари на плоскости, очевидно, равна скорости центра масс шари, то из теоремьь об изменении кинетического момента следует, что кинетический момент И«э шара относительно точки касания остается во все время движения неизменным. Но, воспользовавшись формулой (4) п.
81, легко получить, что 324 Глава АХ Множитель М удовлетворяет уравнению — (ЛХф) + —,(Мо) + —,(Мт) -~-, (ЛХ7~) -~-, (Муз) -~- (М7з) = О, д д . д д д д др дд дт д7з д7з д7з гдер, д, т, уы 7з, 7з -- правые части уравнений (35) и(30). Учитывая (30), уравнение для множите т можно преобразовать к такой форме: М-ьМ( —,+ — + — ~ =О.
ХП11 дй' дт'~ (ч др гЭд дт) (38) Подставив в выражение, стоящее в скобках, правые части уравне- ний (35) и произведя необход мые дифферениирования, получим урав- нение (38) в виде т7з У7з Р7з з" й 97з Р 1з М+М л 7з+,л 7 + й 7з) =О. 1 3 3 Учитывал (30) и (37), имеем окончательно 2ХМ вЂ” МХ = О. УНРЛЖНЕННЕ 1.
Показать, что для построении общего интеграла урав- нений (32), (35) и. 105 помимо трех интегралов (36), (37) и (38) доста- точно найти еще только один первый интеграл. 163. Приложение теории множителя к каноническим уравнениям. Пусть движение материальной системы описывается каноническими уравнениями Гамильтона: ййз дн й1 др,' — — — (з = 1, 2, ..., п). ПР~ дН йз дйк (39) В симметричной форме зта система уравнений запишется в виде йуъ ййь йРз йР йХ дН ПН дН дН дра дз1„ Интегрирование этого уравнения дает такое выраятение для множите- ля: М = счг7 (с †. произвольная постоянная). Из теории последнего множителя Якоби следует теперь, что интегрирование систем диф- ференциальных уравнений (29), (30) сводится к квадратурам. 32 "г 'З 1. Множитель Якоби Так как д дН + + д дН + д дН вЂ” -~- .
= Ог то для канонической системы уравнений существует множитель М = 1 (см. замечание в конце и. 161). '1'ак как длн системы (39) мноягнтель известен, то для построения ее общего интеграла достаточно знать не 2п, а 2п — 1 первых интегралов. Построение 2п-го интеграла сводится к квадратуре. Отметим еще одну возможность упрощения задачи интегрирования канонической системы уравнений. Пусть функция Гамильтона Н не зависит нано от времени. Тогда, отбрасывая в уравнеяиях (40) последшою дробь, содержащую д1, получим систему из 2п — 1 уравнений, которан по-прежнему имеет множитель М = 1. Поэтому для построения ее общего интеграла достаточно знать 2тг — 2 первых интеграла.
Но так как в рассматриваемом случае материальная система является обобщенно консервативной, то один интеграл нам известен заранее. Это обобщенный интеграл энергии Н = 1г = сопз1 (см. п. 161). Поэтому для построения общего интеграла достаточно знать еще 2п — 3 первых интеграла. Если, например, и. = 2, то кроме интеграла энергии Н = й достаточно найти еще только один первый интеграл. ПРИМЕР 1 (ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ тЕЛ (СМ. И.
124)). Пусть точка Р малой массы движется под дей- Р ствиелг притнхсения двух точек Б и У г, конечных масс, не оказывая влияния на Гг движение пос гедпих. Будем считать, что точка,У двихсется относительно О точки Б по круговой орбите, а точ-,и У-г х ка Р движется в плоскости этой орбиты (т. е. рассматривается так но- рис. 138 зываемая плоская круговия ограниченная задача трех тел). Пыберем единицы измерения такг чтобы сумма масс точек 5 и,У, неизменное расстояние между ними и период их обращения по орбитам равнялись единице. Пусть т - масса точки Р, а 1 — 1г и р массы точек Б и,У соответственно.
Движение точки Р будем рассматривать во врагцаюгцейся системе координат Оху с началом в центре масс точек Б и,У и осью От, направленной на то игу,У (рис. 138). Обозначая х, у координаты точ- 326 1лава Х! ки Р и применяя теорелзу о сложении скоростей (п. 31), получаем д и проекций абсолютной скорости точки Р с.гедующие выражения: Аинепзичесзсая энергия точки Р вычисляется по формуле Т = 1 ~зз, + о„) = Т + Т + Т, 141) где Тг = — т(х + у ), Т, = т(ху — ху), То = -т1х + у ).
(42) Яотендиалвноя,энергия точки Р определяется выражением П = — т — т ,—„, г =(х+р) +у, г = (х — 1+у) +у . г г г г (43) Уравнения движения точки Р могут быть записаны в 1дорме канони- ческих уравнений Гамильтона. Функция Гамильтона явно от времени не,зависит, поэтому существует обобщенный интеграл энергии — ин- теграл Якоби: (44) Тг — То + П = 1ь = сснж1. Так как число степеней свободы и = 2, то для посгпроен я общего ин- теграла недостает одного первого интеграэга.
3 2. Системы с циклическими координатами зивк следует ив и. 148, 158, ;-- = — -- — = — — †, поэтому если координата дд„ дд дд цикличвскак, то ока ив входит также и в функции Гамильтона и рауса; варка и обратила. 164. Циклические координаты. Крайне важным источником упрощении интегрирования дифференциальных уравнении движения янляется наличие циклических координат.
Рассмотрим этот вопрос для голономных систем, движущихся в потенциальном поле сил. Пусть система имеет п степеней свободы, а дз, дг,..., д„— ее обобщенные координаты. Координата д называется циклической, если она не входит в функцию Лагранжа, т. е. если ЯЬ /дд„= 0 '. 327 З М.
Сипкемы с циклическими координатами Теорема. Пусть у — циклическая координата. Тогда соответствующий ей импульс — первььй интеграл: р = с = соплФ, при этом изменение осталаных координат со временем такое лсе, как в системе с и — 1 степенью свободы, в которой с играет роль параметра. ЕЕоназательство. Доказательство проще всего провести, используя гамильтопову форму уравнений движения — — — — — (ч=1,2,...,п), сЕуч дН др' дХХ (1) дрч сЕг дрд где Н = 11(уы...,у итачи... ПЕк,ЕО,...,Р„ыРа,р ч.ы...,ра,т). Если в (1) 1 = сн то дН/дуа = О и др„/дг = О. Поэтому р = с = сопль.
Положив в (1) р,„= г;,„, придем к систеие уравнений (2п,— 2)-го порядка — — — — — (1=1, 2,..., и; Ефн), дф ПН <Ерч дН (2) чХЕ др, ' сЕХ дад он = ф(Е~ са; сз ... 1 сза з)~ 1зч — Рч(Е1 са1 сы... 1 сгк 2) ° (3) где сы..., сз„з — произвольные постоннные. Зависимость циклической координаты у от времени определяется одним из уравнений системы (1) ау дн й др (4) в котором правая часть выражена через 1 н 2п — 1 постоянных с, сы .,., сз„з при помощи подстановки в нее функций (3).
Интегрирование уравнения (4) дает у =~ д1+с, 1 ПН дра где с — 2п-я произвольная постоянная. Аналогично, если не одна, а1 обобщенных координат являются циклическими, то первыми интегралами будут 1 обобщенных импульсов и порядок системы дифференциальных уравнений (1) может быть понижен на 21 единиц. 165. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения при помощи уравнений Рауса. Пусть уа в которой Н = Н(чЕы..., уа и гЕа.ь и,..., да., ры, ра и са, р„, и.... р„, 1) . Интегрирование уравнений (2) дает Глина Х! (о = 5+ 1,....и) циклические координаты.
Тогда имеем и — 1: первых интегралов р =, .' =с =сопле (ел=)с~-1,..., в). дй (5) дда Пусть гессиан функции Лагранжа по переменным д отличен от нуля: дЧадед (6) Составим функцию Рауса (и. 153) сара (7) -и-~-з где да выражены через ед, е)о с и 6 (з = 1, 2, ..., й; о = й -)-1, ..., и) из уравнений (5)~. Функция Рауса не содержит обобщенных скоростей, отвечающих циклическим координатам: Л = П(д;, до с, 1) (1 = 1, 2,...., )с;, се = й+ 1,..., и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
