markeev_book (522779), страница 49
Текст из файла (страница 49)
е. она склерономна и силы имеют потенциал, не зависящий от времени, то То = О, Тз = О, Т = Тз и интеграл Якоби запишется в ниде (21) Е=Т+П=1ь Таким образом, консервативная система явлнется частным случаем обобщенно консервативной и в рассматриваемом частном случае обобщенный интеграл энергии переходит в обычный.
О Пгимиг 1. Гладкая трубка вращается Рис. 13б в горизонтальной плоскости с заданной постоянной угловой скоростью иг. Внутри трубки движется ширин массой т. Будем считать, что шарик можно принять за материальную точку. Угол ~р, который составляет ось трубки с некоторым неизменным направлением в горизонтальной плоскости, известен (у = ш1). Положение шарика будем задавать координатой т — расстоянием до оси вращения трубки (рис. !35).
Потенциальная энергия шарики постоянна; примем, что П = О. Для кинетической энергии шарика ил~еем выражение Т = — гп(т' и-~Рлг ), 2 т. е. 1 .2 То=-тш г. 1 г г 2 Тз=О, Н = — 7пг — — 7пзо г = Ь = соплы 1 2 1 3 2 2 2 Имеет место интеграл Якоби (20), который в рассматриваемом при- мере запишется в виде 289 г в. Канонические уравнения Хамильтона Н(ЧХ1 ° . ~ Чп; РЫ ° ° .
~ Рп) = и (22) где й произвольная постоянная, определяеман начальными условиями, 6 = Н(д~, ..., у~, Рс, ..., Рс). В 2п-мерном пространстве Хы ..., у„, Рм ..., Рп ' уравнение (22) задает гиперповерхность. Будем рассматривать только такие движения, которые соответствуют этой гиперповерхности. Иначе говоря, рассмотрим движение системы на фиксированном изознергетическом уров- неН(ды ...,утры...,Р„) =Ь. Покажем, что движение изучаемой системы на изознергетическом уровне описывается системой дифференциальных уравнений, порядок которой равен 2п — 2, причем зта система уравнений может быть записана в виде канонических уравнений. Предположим. что в некоторой области фазового пространства выполняется неравенство дН/дрт ~ О.
Тогда в втой области равенство (22) разреп~иыо относительно Рт, Рт = — К(йт Чг, ° Уп Рг ° Рп, 6). (23) Перепишем систему уравнений (12), отделив два уравнения, соответ- ствующих значению г, равному единице. от остальных (2п — 2)-х урав- нений ХХУХ дН оХХ дуг ' сьут дП ХХХ дрь ' (24) ХХР: дН дух' хХлХХ дН йХ др,' (1=2, 3..., п). (25) Разделив почленно уравнения (25) на первое из уравнений (24), полу- чим с1Н йуу дрт йуг дН дрг дН арх дуй йХХХ дН дрг (г = 2, 3, ..., и,). (26) Это ироотрвиство иввыввют Вгвоовым пространством.
Было бы ошибкой принять за интеграл полную льеханическую энергию Е = Т + П, так как рассматриваелтя система (шарик во вращающейся трубке) не является консервитивной. 152. Уравнения Уиттекера и Якоби. Пусть движение системы описывается каноническими уравнениями (12). Если функция Рамиль- тона не зависит явно от времени, то существует обобщенный интеграл знергии 290 Глава Х Подставив величину Р1, задаваемую равенством (23), в левую часть интеграла (22) и продифферепцировав полученное тождество по переменной щ, получим дН ОНдН = 0 (лв = 2, 3, ..., и). (27) др1 д9, Аналогично получим, что дН д11 д1~ 0 О 2 3 и) (28) др, др1 дР1 Преобразуя правые части уравнений (26) с использованием равенств (27) и (28),находим окончательно — — — — (у = 2, 3, ..., н).
(29) а11 дЛ "Рл дЬ д91 др, ' д91 дч, ' Уравнения (29) описывают движение системы при Н = Ь = сопа1 и называются уравнениями Уиттекера. Онн имеют форму канонических уравнений; роль функции Гамильтона играет функция К из (23), а роль времени координата 91.
Интегрирование уравнений Уиттекера (29) дает ч1 = ч1(ч1~ Ь~ с1~ ..., с2в 2)~ (30) Рв = Р1'(йы Ь, С1,, Сза — 2) (у = 2, 3,, 11), где с1....., с2„2 произвольные постоянные. Если эти выражении для щ, Ру подставить в равенство (23), то получим Р1 =11(71 Ь С1 -. С2 -2) (31) Равенства (30), (31) задают геометрический характер движения: они определяк1т уравнения траекторий в фазовом пространстве (точнее, на гиперповерхности фазового пространства Н = Ь).
Чтобы найти зависимость движения от времени, воспользуемся первым из двух уравнений (24). Если в его правую часть подставить величины р1, йм Р из (30) и (31), то получим дв11 — = 81(ч1~ Ь., С1~ ...., Сзв 2)~ откуда (32) 291 "2 е. Канонические, уравнения Гамильтона Разрешив уравнение (32) относительно Ч1, получим Ч1 — — Ч1(», Ь, с1, ..., сз — 1). (33) Уравнения Уиттекера (29) имеют структуру уравнений Гамильтона.
Их можно записать в виде уравнений типа Лагранжа. Пусть гессиан функции К по переменным р отличен от нуля: 2 п с$еС ф О. др,дрс ... (34) Пусть Р— преобразование Лежандра функции К по переменным ру Ц = 2, 3, ..., и). Тогда Р = Р(Ч2»» Чп» Чз, Ч»»» Ч1» Ь) = ~~' Ч»Р» К: (35) 1=2 где Ч.' = »1ЧЧ/»1Ч1. Величины р в (35) выражаются через Чз» ..., Ч„' из уравнений Ч'. = О = 2, 3, ..., в), д»оу т. е.
из первых п — 1 уравнений системы (29). При помощи функции Р уравнения (29) могут быть записаны в следующей зквивалентной форме: — — — — =О (у=2, 3, ..., в). дР дР (35) »1Ч1 дЧ,' дЧ1 Зто уравнения типа Лагранжа. Они называются уравнениями Якоби. Роль функции Лагранжа в уравнениях Якоби играет функция Р, а роль времени, как и в уравнениях Уиттекера (29)» — координата Ч1. Преобразуем выражение (35) для функции Р, учитывая равенства (7), (23) и соотношение Ч', = 1: и и и Р = ~~~ руЧ,',. +Р1 = ~~ р»Ч» = ~р»Ч» = (Ь+ Н) (37) »)1 Ч1 1=2 »=1 »=1 Р= —, 2Т »)1 (38) Пусть система консервативна.
Тогда А = Т вЂ” П, Н = Т+ П и из (37) следует, что 292 глава Х Но в консервативной системе — а1ь~йуй ч1О(йы '' ча~ чг~ ''' ' Чп)' Р9) где 1 ч 2 Рл ',я=г Из интеграла энергии Т+ П = й и равенства (39) находим, что )'ь- а И из (38), (39) получаем окончательное выражение для функции Р в случае консервативной системы: Р = 2 ДК вЂ” П)а. (40) Т= — т(х +у +г), 2 П = гпуг, Я= — т(х +у +г ) — гпяг, 1 ° г г г 2 р.
=тх, рь — — гп,у, р,=тг, Н = — 1р'.+р'„+ра)+та . Очитая величину т, пологкительной, иэ уравнения Н = 6 получаем р. = — К, где Уравнения Уиттекера (29) будут такими: Пгнмкг 1. Найдем уравнения Уиттекеро и Якоби, описывающие движе- ние точки массой т в однородном поле тяжести. Нуспгь ось Ог непо- движной систелпа координат Охуг направлена вертикально вверх. Тог- да 293 'З 3. Уравнения Рауса Так как рассматриваемая система консервативна, то функцин Р может быть вычислена по узормуле (40), Получаем 2 Тогда и уравнения Якоби (36) запишутся в виде 3 3.
Уравнения Рауса 153. Функция Рауса. Для описания состоннин голономной системы в данный момент времени 1 Раус предложил комбинацию переменных Лагранжа и Гамильтона. Леременны и Рауса являются величины уз фб д„, реб 1 (1 = 1, 2, ..., й: в = к+ 1, .... и), где к произвольное фиксированное число, меньшее и. Предположим, что гессиаи функции Лагранжа по переменным д (а = Й + 1, ..., п) отличен от нуля: дз1 д 1 Для натуральной системы и П2Т дд' Пдр „, Од„()туз Последний определитель в равенстве (2) отличен от нуля (положителен), так как Тз — определенно-положительная квадратичная форма от обобщенных скоростей и к ней применим критерий Сильвестра.
Следовательно, длн натуральной системы неравенство (1) всегда вьшолнено. В случае ненатуральной системы зто неравенство является дополнительным к условию (46) и. 147 ограничением на функцию А. 294 Глава Х Обобщенные импульсы р определяются обычным образом прн помощи равенств ра =,' (о = й Ч- 1, ..., п,). (3) дЧа В = ~~~ РаЧа 1 (ЧГ Ча; ЧО Ча 1)~ (4) где Чо (о = й + 1, ..., и) выражены через Ч„., Ч„, Чо ра, 1 из уравнений (3). 154. Уравнения Рауса.
Полный дифференциал функции Рауса вычисляется по формуле ('ЙВ,1 + дВ,1 ) + т, (дВ,1 + дВ,1 ) + ЙВЙ (о) С другой стороны, вычислив полный дифференциал правой части ра- венства (4) при условии (3), получим е в ЙВ=-Š— ЙЧъ+ —.. ЙЧЬ + ~~,' ЧпЙРΠ— —,ЙЧа — — а. дА дА дА ~ дЬ 1,дЧ; ' дЧ; ') 1, дЧа,) дг а=1 (6) Сравнение правых частей равенств (5) и (6) приводит к равенствам дВ дл, дЧе Й% дВ дь дун дЧ; (1=1, 2, ..., к), дВ др. дВ дл. дг дг дВ дл. дЧ дЧ„' (о = к + 1, ..., в), (8) (9) Но для нашей системы справедливы уравнения Лагранжа — — — — =О (,1=1,2, ..., и). Й дЕ дХ г11 дЧ1 дЧ1 (10) Функцией Реуса В(Чы ..., Ча, Чьлл, ...; Чв, Чы ° ° ° Чы рвем ° ~ рв 1) называется преобразование Лежандра функции А по переменным Чьеы ...
Ча, т. е. 295 Уравнения движения неголономнъсх систем Из 17) и (10) следует, что — — — '=0 (ю'=1,2, ..., Й), (11) а равенства (3)г (8) и (10) дают: — — (сг = Ь+ 1, ..., и). (12) сй др ' с1с дс1 Совокупность уравнений (11) и (12) образует систему уравнений Риуса. Она состоит из Ь уравнений (11) второго порядка, имеющих структуру уравнений Лагранжа второго рода, и 2(п — й) уравнений (12) первого порядка, обладающих структурой уравнений Гамильтона. Уравнения Рауса находят широкое применение при исследовании движения систем с циклическими координатами (см. далее и. 165).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
