markeev_book (522779), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Совершенно аналогично п. 130 можно показать, что '2 Л. Деилсекие материальной точки переменного состава 2б7 где ЛХл — — ЛХ1 + Млз — дополнительный момент, возникающий за )р) би) би) счет того, что система С является системой переменного состава: <р) . ДКл1 = — 1цп Лг О М1р) 1 ттлз л' лс-. о Д1 Здесь ДКл1 — сумма моментов количеств движения при 1 = 1о тех материальных точек, которые за время Д1 вышли из объема, ограни- ченного поверхностью Я, а Дала — аналогичная величина для точек, вошедших внутрь поверхности Я. З 2.
Движение материальной точки переменного состава Д ьс1 — ДМ1 и1 Д ьсз — ДЛХ2 и и, следовательно, согласно формулам (6) п. 130, е 1 — 111 л' 2 — н2 ° с)М1 ИМ2 с)1 ь)1 (1) Здесь, как и в и. 129, М1(А) н М2(1) представляют собой суммарную массу всех частиц, отделившихся от точки Р и, соответственно, присоединившихся к ней за время 1, прошедшее от момента 1 = О, когда масса точки Р была равна Ме. Пусть а -- абсолютная скорость точки Р. Тогда ее количество движения вычисляется по формуле (2) 132. Дифференциальное уравнение движения.
Пусть материальная точка Р переменного состава движется относительно инерциальиой системы отсчета Ожрл. Масса точки Р изменяется со временем вследствие одновременного отделения и присоединения к ней малых частиц материи, размерами которых можно пренебречь. Пусть 221 . абсолютная скорость (скорость относительно Ождз) частицы, которая отделяется от точки Р в момент времени 1', а из абсолютная скорость частицы, которая присоединяется к Р в этот момент. Пусть ДМ1 и ДМ2 — соответственно массы отделяющейся и присоединяюьцейся частиц.
Тогда, применяя обозначения предыдущего пункта, имеем следующие равенства, справедливые с точностью до членов первого порядка малости включительно относительно Д1 и ДМь (1 = 1, 2): 258 Глава 1Х Подставив (1) и (2) в уравнение (5) и. 130. получим дМ де дМ1 дм е+ М вЂ” „=  — и1+ газ, где лс — равнодействующая сил, приложенных к точке Р. Используя соотношение М = Мв — М1 + Мз, это равенство моя1но переписать в ниде дМ, дМ2 де ПМ, дМ2 — е+ и+М вЂ” = л — и1+ и2. й й й ™ й й Перенеся первые два слагаемых левой части в правую часть равенства, окончательно получим (и1 Е) т (и2 Е). дМ1 11М2 й й й (3) Мде — и+ дМи й й (4) Уравнение (4) называется уравпеннем Мещерского.
Из него видно, что эффект отделения частиц эквивалентен действию на точку Р добавочной силы Х1 — — ' и,„(называемой реактивной силой). Аналогично ПМ й можно рассмотреть и эффект присоединения частиц к точке Р. Реактивная сила численно равна произведению величины ЫМ11й (называемой секундные расходол1 л1ассы) на относительную скорость отделения (или присоединения) частиц к точке переменного состава Р. В случае отделения частиц реактивная сила направлена противоположно вектору и1„ относительной скорости отделяющихся частиц, а в случае присоединения частиц реактивнан сила и относительная скорость иг, имеют одинаковые направления.
Пусть имеет место только отделение частиц от точки Р переменного состава. Если абсолютная скорость и1 отделяющихся частиц равна нулю, то уравнение Мещерского (4) примет вид Уравнение (3) является дифференциальным уравнением движения точки переменного состава и называется обобщенн лг уравнением Мещерского. Отметим, что и1 — е = и1, — скорость отделяющихся частиц относительно точки Р. Аналогично из — е = иг, — скорость присоединнюшихся частиц относительно точки Р. Пусть имеет место только отделение частиц.
Тогда М2 = О, М(1) = Мо — М1(1) и ИМ(д41 = — дМ1)йг. В этом случае уравнение (3) принимает вид 1 е. движение материальной тонни переменного состава 259 или с1(Ма) сЫ т. е. если абсолютная скорость отделяющихся частиц равна нулю, то производнан по времени от количества движении точки Р переменного состава ранна равнодействующей приложенных к ней сил.
Если же относительная скорость ць„отделщощихся частиц равна пулю, то из (4) получаем (5) где и„ вЂ” относительная скорость отделения продуктов сгорания топлива. Будем считать, что скорость ы„ постоянна и имеет направление, противоположное скорости е ракеты. Тогда ракета будет двигаться по прямой линии, имеющей направление вектора а. Примем эту прямую за ось От (рис.
132). Проектируя обе части равенства (5) на ось От, получаем с1М аьс Ю (6) где и, — величина относительной скорости и„. Полагая, что при 1 = О масса ракеты равна Мо, а ее скорость равна ео, и интегрируя (6), по- лучаем е(1) = оо + и,, 1п Мо М(ь) т. е. если относительная скорость отделяющихся частиц равна нулю, то уравнение движения точки Р переменного состава записывается формально в том же виде, что и уравнения движения точки постоннного состава. 133.
Движение ракеты вне поля сил. Пусть точка Р переменного состава движется в безвоздушном пространстве вне полн сил. Движение точки моделирует, например, движение ракеты в космическом пространстве, если ракету принять за точку и пренебречь силами сопротивления космической среды, гравитационным притяжением, силами светового давления и т. и. Тогда В = О и из равенства (4) получаем векторное уравнение движения ракеты 260 Глава 1Х Отсюда видно, что скорость ракеты х и в данный момент времени зависит от от- Р ношения начальной массы к текущему ее значению. Пусть Мт — начальная масса топлива, в Мк — конечнан масса ракеты после того, как израсходовано все топливо (т. е, масса корпуса ракеты, полезных грузов и оборудования).
Тогда Мо = Мк -ь Мт, и для скорости ракеты, Рис. 132 которую она приобретет в конце процес- са сгорания топлива, получаем из (7) следующее выражение, называемое у1орлулой Ццолковскоги ок = оо + ив 1н 1 + Мт 1 Иэ этой формулы следует, что предельная скорость ракеты як зависит только от относительного запаса топлива и относительной скорости истечения продуктов его сгорания. От закона изменения массы ракеты (режима работы двигателя) предельная скорость ракеты пе зависит; если задано отношение Мт/Мк = У (называемое числом Циолковского), то предельная скорость буцет вполне определенной независимо от того, быстро или медленно происходило сгорание топлива.
Путь, пройденный ракетой на активном участке траектории, зависит от закона сгорания топлива. Полагая, что х = 0 при 1 = О, из (7) получаем х = оо1 -~- нв / 1н вИ. Мо М (1) о 134. Вертикальное движение ракеты в однородном поле тяжести. Пусть ракета движется вертикально вверх в однородном поле тяжести при отсутствии сопротивления среды, Ракету принимаем за материальную точку. Начальная скорость ракеты равна нулю, начальная масса Мо. Относительная скорость и„отделения продуктов сгорания топлива постоянна и направлена вертикально вниз.
Требуется найти скорость ракеты и высоту ее подъема как функции времени, считая, что закон изменения массы ракеты со временем задан. На ракету действует внешняя сила — сила тяжести, направленная вертикально вниз. Примем прямую, по которой движется ракета, за ось Ог (рис. 133). Проектируя обе части уравнения (4) на ось Ог, получаем М вЂ” = — Ма — и,. й1 дМ в11 Ф 'г 2. Двигкение материальной точки переменного состава 261 Интегрируя это уравнение, находим зависимость скорости ракеты от времени Мо М(1) (10) (и) Пусть масса ракеты изменлется по экспонепциальному закону: з М М вЂ” аь (12) где а — постоянный положительный коэффициент, характеризующий быстроту сгорания топлива. Масса Мг отброшенных продуктов сгорания возрастает по закону Мг = Мо(1 — е ).
Длн величины Ег реактивной силы, согласно первой из фор- и, мул (1) п. 132, получаем выражение Рь = аМое 'гь„= ан„М, т. е. величина аи„есть ускорение, сообщаемое ракете за р 1ч3 счет реактивной силы. Для закона изменения массы (12) из (10) и (11) получаем и = (аи, — д)1ь г = — (аие — д)1 . (13) Отсюдаь в частности, следует, что вертикальный подъем ракеты возможен только при аие > д; Это означает, что ускорение ракеты за счет реактивной силы должно быть больше ускорения свободного падения. Пусть запас топлива Мт задан.
Из (12) найдем вромн 1к сгорания топлива. Так как в конце процесса сгоранил М = Мк, то из (12) получаем Мк = Мое Если положить, что при 1 = 0 г = О, то, проинтегрировав (10), найдем, что зависимость высоты подъема ракеты от времени задается форму- Лой 262 Гавел 1Х Учитывая„что Ме — — Ми+Мт и вводя обозначение /4 = 1п(1+Ми/Мл), получаем отсюда (14) Из (13) следует, что скорость еи ракеты в конце процесса сгорания топ- лива и длина «н активного участка траектории ракеты определяются формулами а) 2аз (15) После сгорания топлива, т. е. при 1 > 1и, масса ракеты остается по- стоянной, и, имея при 1 = 1н скорость ин, она пройдет до наибольшей высоты под ьема расстояние в — — — — (и„— —,„) (16) Ри;(и 1) Отсюда следует, что при возрастании а растет и наибольшая высота подъема ракеты, Наибольшая высота 6,„в соответствует случаю а = оо, т.
е. случаю мгновенного сгорания топлива. При этом /4« ~п~вх 2л (18) Найдем, при каком значении а длина «н активного участка будет наи- большей. Из (15) имеем д«л- з 2л — аи, д «и з аи„— Зд. 3 (19) Да 2аз ' Даз а4 Отсюда следует, что при а = 2л/и„, т. е когда ускорение, сообщаемое ракете реактивной силой, вдвое больше ускорения свободного падения, величина «и будет максимальной. Из (15) находим. что у«из «К 1юзх 8л ' Для полной высоты подъема й = «и + в из (15) и (16) получаем выра- жение Г) Я. Уравнения дои агния тела ччграагяяага состава.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
