markeev_book (522779), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Порндок этой системы равен 2п. Заметим, что зто наименьший возможный порядок дифференциальных уравнений движении рассматриваемой системы, так как начальные значения величин ом а, (г = 1, 2, ..., н) могут быть произвольными. ьуравнения (1ц Ляя краткости мы часта будем называть престо уравнениями Лагранжа. 270 Глава Х Для получения уравнений Лагранжа надо ныразить кинетическую энергию Т системы через обобщенные координаты и скорости, найти обобщенные силы и произвести указанные в (11) дифференцирования функции Т (узч фзь 1) по обобщенным координатам, обобщенным скоростям и времени.
Заметим., что форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат уы йз, ..., да. При другом их выборе изменились бы только функции Т и (го а сама форма уравнений (11) осталась бы той жс. В свнзи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством ковариантности. В уравнениях Лагранжа не содержатся реакции идеальных связей. Если же нужно найти реакции связей., то надо после интегрирования уравнений Лагранжа подставить функции ря(1) в выражения (2), и тогда равнодействующан В реакций связей, приложенных к точке Р, найдется из соотношений В, = т,т''„— я' (я, г, 1). Пгимкг 1 (Вглщкник твкгдого тклл вокгьт нкподвижной оси и).
Здесь и = 1. За обобщенную координату примем угол уз поворота тезьа вокруг оси и. Обобщенная сила Цч равняется главному моменту ЛХ„ (а) внешних сил относительно оси и (см. пример 2 и. 54). Кинетическая энергия тела равна Т=-,Т„ф, 1 ° 2 2' где д„— момент инерции тела относительно оси и, Вмеем — = авар, ОТ дф — ' —. =,Г„р', д дТ ас дф Уравнение Лагранлса д дТ дТ ждф др = имеет вид Пгимкг 2 (Увлвнкния движкния сэкгичкского маятника). Сферический маятник представляет собой материальную точку. ноторпя движется в однородном поле тяжести, оставаясь на сфере постоянного радиуса. Будем считать, что точка имеет массу т и закреплена на одном из концов невесомого стрежня длиной 1; другой конец стержня при помощи шарнира прикреплен к неподвизкной точке О тан, что стержень мозает иметь произвольное направление в прострпнстве (рис.
134). Трением пренебрегаем. 271 2 1. Уравнения Лпгранжп (втппрпго рпдп) Сферический маятник имеет две степени свободы. За обобщенные координате! примем су!ерические координаты !р, В точки т. Так как расстояние точки т до начала координат постоянно и равно 1, то, согласно формуле (30) и. 9, для кинетической энергии ил!еем выраже- ние Т = — т12(02+ яп Вфг). (12) Для нахолгдения обобщенной силы О„, дадим х точке виртуальное перемещение по параллели. Тогда дА, = О и, следовательно, О„= О. ЧтоРнс.
134 бь! найти обобщенную силу ф>, дадим точке виртуальное перемещение по меридиану. Тогда бАв = тдяпВ 160 = ьгвдВ. Отсюда Яп = ту1еьнВ. Лля координат В и ьо (после деления обеих частей уравнений Лагранжа на постоянные множшпели) получаем такие уравнения: — (япг В!р) = О. (13) а!  — ыпусоедр — — япВ =О, Г 139. Анализ выражения для кинетической энергии. Рассмотрим структуру выражения длн кинетической энергии системы, записанной через обоб!ценные координаты и скорости.
Используя формулу (3), кинетическую энергию можно представить в виде 2 1 2 1 дг дь» (14) а,ьугь)ь + ~ а 1)1 + ао, 1=! где введены обозначения Х Ю агь=~т»д О,аг= г т, °,ао= — г т»~ »=1 Чд Уь »=1 »=! (13) Величины а:ь, а, ав — фУнкпии от 01, 92, ..., Ут, й Формула (14) показывает, что кинетическая энергия является многочленом второй степени относительно обобщенных скоростей и представима в виде (111) т = Т2 + Т1 + тс, 272 !лава Х где 1 % Тз — — — ~ а Ы)дды Тг — — ~~> пуд., То — — ао. 2 .Е В случае склерономной системы дг 7В1 = О (и = 1, 2, ..., Х) и из (15) следует, что а; = О, ао = О (»' = 1, 2,, т). Поэтому 1 ч Т=Тз= — р аьдды 2 зла=1 (17) т.
е. кинетическая энергия склерономной системы нвляется квадратичной формой обобщенных скоростей, причем коэффициенты аеа в (17) не зависят явно от времени. Покажем, что квадратичная форма Т, является невырожденной. Это означает, что определитель, составленный из ее коэффициентов, отличен от нуля при любых ды дз, ..., дко г: ЙМ !)а ь!).„, ~ О. (18) В самом деле, из того, что квадратичная форма Тз может быть записана в виде г Тз= 2 ~~ Иь ~~ . д1 «=~ у=~ ддд (19) д.*;=О (и=1, 2, ..., Х). 1=1 В скалярной форме эти векторные равенства запишутсл в виде П4 С д,'.
"=О, ~ ~ одд (20) т 1=1 (и = 1. 2, ..., Х). ° ~ Вкг Вдх сразу следует, что она неотрицательна: Тз ) О. Докажем теперь, что она может обратиться в нуль только тогда, когда все дд (1' = 1, 2, ..., т) равны нулю. Допустим, что это не так, т. е. что Тз может равняться нулю прн некоторых значениях обобщенных скоростей д*, дз, ..., д*, среди которых есть отличные от нуля. Тогда каждое выражение, заключенное в скобки в формуле (19), должно обратиться в нуль, т. е. 273 Уравнения Лагранжа (второго рода) Комментлгнй 1. В качестве примера рассмотрим движение твердого тела вокруг пеподвизкггой точки О. Пусть А, В, С вЂ” главные моментьг инерции, а р, д, г — проекции угловой скорости тела на его главные оси инерции для точки О. Кинелгическая энергия тела вычисляется по формуле Т вЂ” — (Ар + Вд +Сг ). (21) П качестве обобщетгьгх координат примем углы Эйлера пц й, гр, вводи- мые обычн м образом (п.
19). Найдем величину Т при значении угла д, равном 0 или к. Использовав кинематические уравнения Эйлера (и. 36), получим иэ (21) Т = 1 ~(А сове гр + Д згпз гр)дг + С(гр ~ ьгг)з~ ., (22) где знаки тгюс и минус отвечают значениям д, равным 0 и к соответственно. Опредезгитезгь коадратичной формьг (22) равен нулю. Следовательно, при значениях В, близких 0 или и, вводимые обычным образом углы Эйлера неудобньг для описания дв женин тела. Этот факт улсе отмечался в и. 19. 140. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно обобщеных ускорений. Используя структуру (16) выражения кинетической энергии, уравнения Лагранже (11) можно представить в виде е аыдь = йт (г = 1, 2...., и), (23) ь=г Равеггства (20) показывают, что столбцы матрицы (22) и. 14 линейно зависимы, т.
е. ранг этой матрицы меныпе т. Согласно п. 14, это невозможно, если величины дг, цз, ..., ут являются обобщенными координатами. Таким образом, квадратичная форма Тз определенно-положительна. Из критерия Сильвестра тогла следует, что определитель, составленный из ее коэффициентов, положителен. Следовательно, справедливо неравенство (18).
ЗАмЕчАниЕ 1, Если при дагигом выборе обобщенных координат цг, цз, ..., ц для некоторых положений систелгы неравенство (18) не выпозгняется. то это означает, что при исследовании движения системы вблизи этих положений величины дг, дг, ..., цы в качестве обобщенных координат малопригодны. В окрестности таких пололсений системы целесообразно вводить другие оообщепные координаты.
Глава Х где функции Л1 пе зависят от обобщенных ускорений. Из предыдущего пункта следует, что определитель линейной относительно у1 системы уравнений (23) отличен от нуля, поэтому она разрешима и имеет единственное решение (24) В=С(йь Чь 1) Как известно из теории дифференциальных уравнений, при некоторых ограничениях на С; (например, при существовании непрерывных частных производных у функций С„которое в механике всегда предполагается) система уравнений (24) имеет единственное решение при произвольных начальных данных: рд = ус, 1)1 = овсы при 1 = 1о (1 = 1, 3, ..., и). Таким образом. уравнения Лагранжа удовлетворнют условию детерминированности движения (см.
и. 45). 141. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Функция Лагранжа. Пусть обобщенные силы ф вычисляются по формулам ь)1 = — —, (1 = 1, 2, ..., п), г) у1 где потенциал (потенпиальнан знергия) П есть функция у1, дг,..., ув, й Уравнения Лагранжа (11) в случае потенциальных сил имеют вид — — — — — — (1=1,2,...,п). д дТ ОТ дП дГ ду1 дд, = дул Положим л.
= Т вЂ” П, тогда зги уравнения примут вид — — — — = 0 (1 = 1, 2, ..., и). д дТ дТ (25) дул Функция Т называется функцией Лагранжа (лагра1 жианомв кинетическим потенциалом). Используя выражение (16), функцию Лагранжа можно представить в виде многочлена второй степени относительно обобщенных скоростей (26) л' — .~'1 + ~2 + л.с: где Хз = Тг. Х1 = Т1, Ьо = То — П.
(27) ЗАмечАние 2. Для получения дифференциальных уравнений движения (25) голономной системы в потенциа21ьном поле сил надо знать только одну функцию — функцию Лагранжа 7,. Уравнения Лагранжа не З 1. Уравнения Лпгрпнжп (етпрпгп родо) изменятся, если к функции П добавить пешую производную по времени от произвольной дважды непрерывно дифференцируемой функции 1" от обобценных координат и времени: гч" ч дз .
дз" д1 ~ ° дЧ; ' д1' В самом деле, из последнего равенство имеем следующие два соотноше- нияг д ~4'~ " дзХ дз~ дуч [, ~й/ ~-~ дцьдугЧь дбдцг Правые части этих равенств одинаковы, так как )' дважды непрерывно дифференцируема, и поэтому возможно изменение порядка ее дифференцирования по (Ч;, Чь, Ф). Поэтому если в (25) вместо П подстадф д/ПЮ д ИУ') вить П + —, то величины — —.— и — — взаимно уничто- гМ' а 1,ПЧга) ПЧг ~,а( жатся, и уравнения Лагранжа останутся неизменными. 142. Теорема об изменении полной механической энергии голономной системы.
Пусть помимо потенциальных сил к системе приложены также некоторые ненотенцивльные силы. Часть обобщенных сил, соответствующую непотенцивльным силам, обозначим через ц),'. Тогда Щ = — — + Цг (г = 1, 2, ..., и), дП ПЧг и уравнения Лагранжа (11) примут вид — — — — = — — +1),* (1=1, 2, ..., п). (28) Найдем производную по времени от кинетической энергии Т(Чю Чы ~). Имеем (29) д4 */ ~- ~йдг), дгй! * д,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
