markeev_book (522779), страница 43
Текст из файла (страница 43)
е. период вращения тела равен периоду движения центра масс. Отсюда следует, что тело все время обращено к притягивающему центру одной и той гке своей стороной. В природе примером такого движения является движение Луны (она «смотрит» на Землю одной стороной) и многих спутников планет, в технике — большое количество искусственных спутников Земли.
232 Глаза 9111 128. Плоские движения. Дифференциальные уравнения двиазения твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле допускают решения, которые отвечают плоским движениям тела. Для таких движений одна из главных центральных осей инерции тела все времн перпендикулярна плоскости орбиты центра масс. Получим дифференциальное уравнение плоских движений. Пусть для рассматриваемых движений главная ось инерции Оз тела перпендикулярна плоскости орбиты, т. е. во все время движения 0 Рис. 130 2' Тогда формулы (3) и.
19 переходят в следующие: азз = ашр азз =О, азз =О, агз =1, а~~ — — — соз р, агз =О, азз = з1пр (20) азз = соя ф~ азз = 0 о=0, г=р+и, (21) р= О, М,=О, (22) 2 М, = и (1+ ессеи)~( — А) яп рсоа:р. (1 сз)з Подставив (21) и (22) в систему (И), получим, что первые два ее урав- нения удовлетворяются тождественно, а третье запишется в виде С(~р'+ Р) = 3 и (1+есоза) ( — А) зшрсозр. (23) (1 — ез)з Это уравнение вместе с первым нз соотношений (17) и = ' (1+ ссозп) (1 г)з1з (24) Для движения (19) оси инерции тела Ои и Ор лежат в плоскости орбиты. Пх расположение относительно осой ОХ и 07 орбитальной системы координат показано на рис.
ИО. Из (12), (16) и (17) получаем, что при выполнении равенств (19) имеют место соотношения 253 3 9. Движение, твердого тела е грааптачпоннолс поле образует систему двух дифференциальных уравнений, описывающих плоские движения твердого тела. Удобнее, однако, вместо двух уравнений (23), (24) рассматривать одно дифференциальное уравнение, которое получается из уравнения (23), если в нем при помощи (24) ввести вместо времени 3 новую независимую переменную — истинную аномалию и. Имеем соотношения !о = — й = — (1 р е соя и), ейр и е!р (1 — ез)з/2 с1и йр ,!2 я' = ~ — — 2евщи(1-!-есови)й+ (1-!-есояи) и (! 2)2~2 ( е1р '' ' ' Дрз 2 ""~ — 4'~1 (1+есови) (1+есояи) — 2ев1пи— (! 2)2 г1р ар ) Дй 2гезе яви(! )з Цр ' (! е2)з Подставив 92 и й в уравнение (23), получим С (! -!-есояи) !(1+ есояи) — 2еяпи — — 2сяпи П2 3" Рр .
Д9 (! е2)з л2 др = 3 и (1+ сони) ( — А) в!прсовсо. (1 ез)з Отсюда следует дифференциальное уравнение плоских движений твер- дого тела в центральном ньютоновском силовом поле' е12;о . с!92, А — В (! + есови), — 2ев1пи — + 3 в1пугсов!о = 2еяпи. (25) <!рз е1р С Пусть орбита Пентра масс тела является круговой. Если ввести обозна- чение 2!о = о, то при е = О из (25) получим уравнение, описывающее плоские движении тела на круговой орбите в виде е12о А — В е1рз С + 3 в!псе = О (и = пй).
(26) 2Это уравнение епераые получено а статье: Белецкий Б. Б. О либрации спутника. Б сбл Искусственные спутники Земли, 1969, еып. 3, Мл Иап ио АН СССР, с. 13- 31. Если А > В, то уравнение (26) будет уравнением движения физического маятника. Его движение подробно исследовано в и.
93-96. Если же А < В, то мы снова можем получить уравнение маятника, если вместо замены переменной 2со = сг сделаем замену 232 = сг+ и. Если А = В, то 32 = О, т. е. тело равномерно вращается вокруг нормали к плоскости орбиты с произвольной угловой скоростью. Глдвл 1Х Динамика системы переменного состава В 1. Основные понятия и теоремы 129.
Понятие о системе переменного состава. до сих пор мы считали неизменными как массы т., точек Р„(р = 1, 2, ..., д'), составляющих систему, так и число Х точек системы. По в природе и технике часто бывает так, что в некоторые моменты времени какие- либо точки выходят из рассматриваемой материальной системы или входят в нее. В результате этого состав системы, т.
е. совокупность точек, образующих данную систему, а значит, вообще говоря, и ее масса будут со временем изменяться. Будем говорить, что данная механическая система является системой переменного состава, если либо масса системы, либо материальные точки, из которых она состоит, либо то и другое меняются со временем.
Случаи движения системы переменного состава можно встретить во многих явлениях природы. Так, например, масса Земли возрастает вследствие падения па нее метеоритов. Масса падающего метеорита уменьшается, так как частицы метеорита отрываются от него, благодаря воздействию атмосферы, или сгорают. У плавающей льдины, вследствие ее таяния, масса убывает и возрастает при замерзании льда или из-за падения снежинок на ее поверхность. Примерами систем переменного состава в технике могут служить: движущийсн транспортер, на который в некоторые моменты кладут (или с которого снимают) грузы; ракеты различных систем, масса которых изменяется в процессе сгорания топлива; реактивный самолет, масса которого увеличивается за счет воздуха, засасываемого в его двигатель, и уменьшается при отбрасывании продуктов сгорающего топлива.
Почти все выводы, полученные в предглдущих главах., о движении механических систем опирались на второй закон Ньютона, устанавливающий зависимость между ускорением точки и действующей на нее силой. Однако второй закон Ньютона справедлив только для точки постоннного состава. Динамика систем переменного состава требует особого рассмотрения. Примем следующее предположение о математической модели системы переменного состава: малы и массы отделяющихся или присоединяющихся к системе точек.
и промежутки времени между двуми их по- 255 5 и Основные понятия и теоремы следовательными присоединениями или отделенинми. Это предположение дает возможность принять идеализацию, при которой масса ЛХ111) вышедших нз системы точек и масса Мг(1) вошедших в систему точек — непрерывные и дифференцируемые функции времени. Если масса М(1) системы прн 1 = 0 равнялась Мо, то с течением времени она меняется по закону МИ) МО М111) с ™211)~ где М1, М2 ..
неубывающие неотрицательные функции времени и М1с) непрерывна и дифференцируема. Материальной точкой переменного состава мы будем называть частицу переменного состава, настолько малую, что ее положение н движение можно определить как длл объекта, не именнцего размеров. 130. Теорема об изменении количества движения. Пусть некоторал совокупность материальных точек движетсл относительно инерциальной системы координат Свуг. Рассмотрим замкнутую поверхность о, которал перемещается относительно Охуг и деформируетсн.
Материальные точки при своем движении могут входить в область пространства, ограниченную поверхностью Я, и могут выходить из нее. Обозначим С систему переменного состава, образованную материальными точками, паходлщимисл внутри поверхности Я. Количество движения рассматриваемой системы обозначим Ц. Зафиксируем момент времени 1 = Р и обозначим С* систему постоннного состава, образованную теми и только теми материальными точками, которые в момент Р заполняли объем, ограниченный поверхностью Я.
Количество движения системы С' обозначим Ц*. Так как при 1 = Р системы С и С* совпадают, то в этот момент В момент времени 1с = Р+ Ь1 количества движения систем С и С* будут иметь соответственно значения 1;2-1-2лО и Я*+ ЬЯ'. На рис. 131 сплошной линией показано положение поверхности Я в момент 1", а штриховой — полол1ение поверхности, ограничнвакзщей объем, заполненный в тот же момент 1" теми материальными точками, которые образуют систему С'. Очевидно, что 9 + сл9 — ЧС + сльг сл91 + сльг2~ 12) где ЬЦ1 — сумма количеств движении в момент 1" тех материальных точек, которые за времн Сь| вышли нз объема, ограниченного поверхностью Я, а слЦ2 сумма количеств движения в момент Рч точек, 256 Глава ГХ вошедших за время Ы в объем, ограниченный втой поверхностью.
На рис. 131 зти точки заполнянгг соответственно обьемы Сз и Сз. Из (1) и (2) получаем (3ьг ~3ьг* '3(в)1 ) (392 (3) Пусть )ь(в) — главный вектор внешних сил, приложеннодх к системе С (а следовательно, и к системе С') в момент времени г'. Поскольку система С' явллетсл системой постоянного состава, то к ней применима теорема об изменении количества движения, т. е. П(в) Ж Рис. 1:)) (4) Разделив обе части равенства (3) на Ы и перейди к пределу при Ы вЂ” з О, получим с, учетом равенства (4) — )т(в) Ь Р Яв( г)1 (5) гдеГ=Х~+Рана Рз = — Ппз, Кз = 11ш ЬФ . 3Ф (6) ы- о ЬГ г1Х ( (в) (Р) щ А А (7) Векторные величины Рз и Рз имеют размерность силы. Условимся называть эти величины реакьзивныжи силами.
Реактивная сила Рз возникает за счет отделения материальных точек от рассматриваемой системы, а Рз — за счет присоединения точек. Таким образом. теорема об изменении количества движения системы переменного состава выглядит так же,как и в случае систем постоянного состава; надо только в число внешних сил системы включить еше добавочную (реактивную) силу Р = Рз + Рз. 131. Теорема об изменении кинетического момента. Пусть А ..- неподвижная точка в инерциальной системе координат Г)хрв, М ' — главный момент внешних сил и Хл — кинетический момент (в) А системы С относительно точки А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
