markeev_book (522779), страница 39
Текст из файла (страница 39)
(16) Рлава гт1 Левая часть равенства (15) неотрицательна. Поэтому угол 0 может принимать только такие значения, для которых 1(0) > О. Отсюда следует, что 0 > Яа, так ьак при Я < Яа функция г'(0) представляет собой произведение двух сомножителей, имеющих противоположные знаки. Угол 0 колеблется между Яо и значением Яз, являющимся ближайшим к Яо корнем уравнения г"(О) = О. Отметим, что Яг < я, так как 1(я) = — (1+соя Яо)зСзгз < 6.
Таким образом, при движении волчка выполняются неравенства Яо < 0 < 0~ < я. Длина отрезка ОВ (рис. 116) все время удовлетворяет неравенствам 1япро < ОВ < 1япды Поэтому траектория точки В на опорной плоскости заключена между двумя концентрическими окружностями радиусов 1япЯа и 1л1п 0~ с центром в точке О. Из (14) следует, что когда Я принимает во времн движения свое начальное значение Яо, то ф = О. Отснзда вытекает, что траектория точки В имеет на внутренней окружности радиуса 1япро точки возврата (рис. 116). Если начальная угловая скорость го вращении волчка вокруг оси симметрии велика.
то угол 0 мало отличается от своего начального значения. Действительно, приравняв нулю квадратную скобку в выражении (16) для функции ~(0~)., получим, что с погрешностью порядка 1Я угол Яз будет вычисляться по формуле 2Лтф яи Яо Сз з о Отсюда видно, что Яы а следовательно, и 0 сколь угодно близки к Яо.
если величина га достаточно велика. 112. Влияние трения иа движение волчка. В действительности неподвижная плоскость, на которую опирается волчок, не является абсолютно гладкой, а волчок заканчиваетсн не острием, а поверхностью вращения, более или менее заостренной, так что точка касания В волчка и плоскости ие лежит па оси симметрии. По этим причинам движение волчка будет иным, нежели то движение, которое описано в и. 111.
Один из самых интересных эффектов влияния силы трения состоит в том, что эта сила может приблизить ось симметрии волчка к вертикали. Рассмотрим этот эффект с качественной стороны, опираясь на теорему об изменении кинетического момента. Пусть волчок быстро вращается вокруг оси симметрии и без начальной скорости центра масс поставлен на плоскость так, что его ось симметрии составляет с вертикалью некоторый ненулевой острый угол Яо. З) «г. движение тяжелого твердого тела 227 Кинетический момент А волчка отно- К сительно центра масс в начальный момент направлен как показано на рис. 117. Пусть Р— точка ножки волчка, которой он касает- М си опорной плоскости. Ножка теперь уже не принимается за острие.
Сила тренин Г на- ,'С правлена в сторону, противоположную скорости точки Р. Момент М силы трения относительно центра масс направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр масс С и вектор л . Вектор М мож- У но представить в ниде суммы Мг + Мз, где вектор Мг перпендикулярен 7?, а век- Р тор Мз коллииеарен вектору 7?, но (в ситуации, представленной на рис. 1!7) направлен противоположно 7?. По теореме об измене- Рис.
117 нии кинетического момента скорость конца вектора 2? равна М. Отан>да следует, что вектор 7?, уменьшаясь по величине (из-за наличия составляющей Мз момента силы трения), стремится занять вертикальное пологкение (из-за наличия составляюгцей Мг момента силы трения). Таким образом, вектор 2?, а вместе с ним и ось симметрии волчка под влиянием трения стремятся к вертикали. Если действие трения будет достаточно продолжительным, то ось волчка может в конце концов занять строго вертикальное положение и останется в этом положении неподвижной. В этом случае говорят, что волчок «спит«а 113. Движение однородного шара по плоскости при наличии тре- В ния. Пусть однородный шар массой гн и радиусом а движется по пеподвигкной шероховатой горизонтальной плос- У кости.
Введем две системы координат: неподвижную ОХУВ с вертикаль- О з' )тд ной осью ОЯ и началом О, совпада- И гошим с произвольной точкой опорной плоскости, и поступательно движущуюся СХУВ с началом в центре масс ша- Рнс. П8 ра С и осями. параллельными соответствующим осям неподвижной системы координат (рис. 118). Реакпию плоскости В представим в виде суммы двух сил: ле = Ж + л', где Ж вЂ” нормальная реакция плоскости, а г — сила трения. Если «о — угловая скорость шара, а еа — скорость центра масс, 228 Глаза У71 то скорость ар точки Р шара, которой он касаетсн плоскости, вычис- ляется но формуле ер = ер+ы х СР. Сила трения скольжения определяется соотношением (18) где Й вЂ” коэффициент трения, и — единичный вектор, направленный вдоль скорости точки Р: ер = ори.
Из теоремы о движении центра инерции имеем И.ер гй = гпд' + гх. Ж (10) Пусть Хр —. кинетический момент шара относительно центра масс. Тогда, учитывая, что момент инерции однородного шара радиусом а и массой т относительно любого диаметра равен — таг, имеем о Хр = — та аг. 2 5 (20) Теорема об изменении кинетического момента для движения относи- тельно центра масс дает уравнение ЙО 5 С 77 72 77 2таг (21) Пусть Хр.
Ур, Яр — координаты центра масс в системе ОХУХ, а гх, 7гу . — проекции силы трения на оси ОХ и 01". Уравнения (11) в скалярной форме запишутся в виде = — 7гх, = — 7гу, = — д — Л, (22) ~11г т х ' ,71г т у ' 11г а т — = — — 5"х, = О. й.~у 5 й.~н (23) с71 2 та ' й 4~х 5 — = — Ру, г71 2 та Так как Яр = а = сопзг, то последнее из этих уравнений даст Х = нгя, т. с.
нормальная реакция плоскости равна весу шара, причем этот вывод не зависит от того, скользит шар по плоскости (ер ф О) или нет (ер = О). Если ых, ыу, ыл - проекции вектора ы на оси СХ, СУ, СЯ, то векторное уравнение (21) дает следующие три скалярных уравнения: 229 'З'З. Движение таяжелого твердого тела "еп 7 й г1г 2т (24) Заменив здесь огг на ери, а Р -- на правую часть равенства (18), получим "ио Ии 7 г11 е11 2 и + итг — = — — йКи. (25) Так как и — единичный вектор, то вектор г1и/й перпендикулярен и.
Поэтому из (25) следует, что — =О и г1м ЙЪ 7 Ж Ж 2 = --йд. (26) Таким образом, вектор и имеет постоннное направление и, следова- тельно, сила трения постоянна: (27) Р = — анди. Величина скорости точки В, согласно (26), изменлетсл во времени по закону ир(1) = еп(0) — — йдй 7 2 (28) Если обозначить через ех постоянный угол, который составляет скорость точки В с осью ВХ, то из первых двух уравнений (22), получим Хш(1) = — — йдсозгх 1з+ Хо(0)1+Хо(0), 1 Ьгг(1) = — — йдз1по ° 1~ + Ьл(0)1+ Угг(0). 2 (29) Последнее из этих уравнений показывает, что при движении шара проекции его угловой скорости на вертикаль остается постоянной. Это заключение имеет место независимо от наличия или отсутствии скольжении шара. Пусть в начальный момент ео ф О, т.
е. имеетсн скольжение. Так как Дг = гпи, то из (18) получаем, что при наличии скольжения шара сила трения постоянна по величине: Р = ягода Покажем, что она постоянна и по направлению. Длн этого продифференцируем обе части равенства (17) по времени и воспользуемсн уравнениями (19), (21) и равенствами ле = — тй + лг, СВ = йи. Получим 8 230 У'лава ИУ Первые два уравнении из (23) дают лх (1) — ых (О) бед з1п о ыг(1) = ыг(0) + С (30) Из (29) следует, что если в начальный момент скорость центра масс и скорость точки касания не коллинеарны, то на стадии движения со скольжением центр шара движется по параболе. Согласно (28), такое движение происходит до момента 1 = 1, где 2ер(0) 71сд (31) При 1 = 1, имеем ор = 0; скольжение прекращается и начинается стадия качения шара (с верчением).
Таь как ео = О, то из (24) следует, что на стадии качения сила тренин равна нулю. Из (22) тогда получаем, что центр масс движется по прямой. Согласно (23), угловая скорость ы шара при качении постоянна по величине и направлению. Точка В на плоскости двилсется по прямой, а на поверхности шара —.— по неизменной окружности, плоскость которой перпендикулярна вектору ы. При переходе в режим качения пентр шара движется по касательной к параболе (29). Если эта касательная составляет тупой угол с начальной скоростью центра шара, то шар может повернуть назад: явление, хорошо известное игрокам на бильярде. 114. Об уравнениях дви- И женин тяжелого тела произв вольной выпуклой формы. Пусть тело движется по неподвижной горизонтальной плоскости, опираясь на нее одной точкой своей выпуклой поверхности, не имен~щей заострений и ребер, Двиу жение происходит в поле тяжести. Движение тела будем изучать Х р(т 9 л) по отношению к неподвижной сис- теме координат ОХУУ с началом Рис.
119 в некоторой точке опорной гори- зонтальной плоскости и осью ОУ, направленной вертикально вверх (рис. 119). Единичный вектор этой оси обозначим н. С движущимся телом жестко свяжем систему координат Скрз с началом в центре масс тела и осями, направленными вдоль главных центральных осей инерции. Радиус-вектор р точки Р, которой тело касается плоскости, относительно центра масс имеет в 14. Движение тяжелого твердого тела (32) ((т., у, з) = О, выбрав знак функции 1 так, чтобы совпадающий с п единичный век- тор внутренней нормали к поверхности (32) в точке Р вычислялся по формуле йгаг( 1 !ОтаОЛ (33) Пусть кч — масса тела, д — ускорение свободного падения, ив скорость центра масс, ы угловая скорость тела, Х его кинетический момент относительно центра масс, а Л ..
реакции плоскости. Уравнения движения тела можно записать в виде двух векторных ураннений: е+игхе= — ни+ — В 1 т (34) Х+гохХ=рхМ, (35) выражающих теоремы об изменении количества движения и кинетического момента. В (34), (35) точкой обозначается дифференцирование по времени в подвижной системе координат С,сух. Вектор н постоянен относительно неподвижной системы координат СХУл, поэтому он удовлетворяет уравнению Пуассона (см. п. 105) й+игх я=О. (36) Уравнения (34) — (36) справедливы и для движения без скольжения, и для случая движения со скольжением при наличии трения, и для абсолютно гладкой плоскости. Дополнительные к (34) — (36) уравнения, отражающие характер взаимодействия тела и плоскости, для каждого из этих случаев различны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
