markeev_book (522779), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Пусть единичный вектор н вертикальной оси ОЯ имеет в связанной с телом системе координат Овуг компоненты чн уз, уз. Величи- 204 раааа у!! 'у! = ып да!ну, 'уз = з1пдсоз!р, (30) уз = созд. Вектор н постоянен в неподвижной системе координат, поэтому его абсолютная производная равна нулю: !1гз/оГ = О. Учитывая связь абсо- лютной и локальной производных вектора (п. 30), последнее уравнение можно записать в виде — + о! х тз = О, йн ог (31) где !о угловая скорость тела. Уравнение (31) называется уравнением Пуассона Обозначая, как обычно, р, о, т проекции и! на оси Ов, Ор, Оз, векторное уравнение Пуассона можно записать в виде следующих трех скалярных уравнений: !Ьу! !! уз д уз !1! = т уз — д уз, ' — — руз — т'у!, ' = !Гу! — руз. (32) од ' Ф Внешними силами, действующими на тело, являются сила тяжести и реакция точки О. Последняя не создает момента относительно точки О, а момент Мс! силы тяжести Р относительно точки О равен ОС х Р.
Учитывая, что Р = — Рн, можно написать (33) Мо = Руз х ОС. Если М., Мю М, — проекции Мсу на оси Озд Оу, Оз, то из (33) полу- чим Ма = Р(узс — узЬ), Мл — — Р(узо — у!с), М, = Р( ~!Ь вЂ” уза). (34) Таким образом, динамические уравнения (4) имеют вид А — ' + (С вЂ” В)от = Р("уз с — узЬ), ор о'! г14  — + (А — С)тр = 1 ('узй — у!с), Ж С вЂ” + ( — А)у!о = Р(-у,Ь вЂ” уза). Й дг (35) Уравнения (32), (35) образуют замкнутую систему шести дифференциальных уравнений.
описывающу!о движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. ны у!, уз и уз равны множителям при ф в выражениях для р, о. и т в кинематических уравнениях Зйлера (5): 5 2. Движение твердого тела. вокрдг неподвижной точки 205 Если из системы УРавнений (32), (35) величины Р, д, г, Уы Узг Уз найдены как функции времени, то функции Я(1), у(1) находятся из (30), а для нахождения функции чд(1) нужно воспользоватьсн любым из ьинематнческих уравнений Эйлера (5). Таким образом, основная задача состоит в интегрировании системы уравнений (32). (35). Анализ этой системы и составлнет главнук> сложность задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки.
Укажем три первых интеграла системы (32), (35). Один из них следует из того, что модуль вектора чг постоянен и равен единице: 'Уг +'Уз + Уз = 1. 2 2 2 (36) Егде один интеграл следует из теоремы об измеяении кинетического момента. В самом деле, так как внешние силы — сила тяжести н реакция точки Π— не создают момента относительно вертикальной оси, то (см. п. 87) проекция кинетического момента Хгг тела на вертикаль постоянна, т. е. Хсч ° гг = соней В подвижной системе координат вектор Хсг имеет компоненты Ар, Ва, Сг, поэтому последнее равенство может быть записано в виде (37) АР.Уч + Вй Уз -~- Сг Уз = сопвс.
Замечая далее, что работа реакции точки О равна нулю. сила тяжести является потенциальной и потенциал П не зависит от времени, получим, что во время движения тела его полная механическая энергия Е = Т -ь П постоннна (см. и. 88). Принимая. что потенциальная энергии равна нулю, когда центр тяжести тела находится в горизонтальной плоскости ОХ1 г получим, что П = РЬ, где 5 — взятое со знаком расстояние от центра тяжести тела до плоскости ОХУ; 6 = ОС п = ауч ф буз + суз. И так как Т = — (Арз -~- Вд~ + Сгг), то интеграл энергии запишется в виде 1 2 — (Арз + Вгу~ + Сгг) + Р(апц + 5 уз + с уз) = сопэй (38) Если воспользоваться теорией множителя Якоби, то можно показать', что для того, чтобы интегрирование системы (32), (35) можно было свести к квадратурам при любых начальных условиях, достаточно помимо выписанных трех первых интегралов (36) (38) найти еще один независимый от ннх интеграл.
чсм. и. 162. 206 Глава И1 К настоящему времени показано, что четвертый алгебраический пеРвый интегРал относительно Рг 55 т, Ум Ут, Уз сУществУет только в следующих трех случаях, а именно: в случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. В случае Эйлера тело произвольно, но его центр тяжести находится в неподвижной точке О, т. е.
и = Ь = с = О. Этот случай подробно изучен в и. 98 104. В случае Лагранжа эллипсоид инерции тела для неподвижной точки явлнетсн зллипсоидом вращения, а центр тяжести находится на оси вращения, т. е., например. выполняются равенства А = В, сс = Ь = О. Как следует из последнего уравнения системы (35), в этом случае четвертым алгебраическим первым интегралом будет проекция угловой скорости тела на ось динамической симметрии: г = сопачн В случае Ковалевской эллипсоид инерции для точки О нвляется эллипсоидом вращения, например вокруг осн Од, моменты инерции удовлетворяют соотношению А = В = 2С, а центр тяжести тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, т.
е. в наших обозначениях с = О. Для эллипсоида инерции, являющегося эллипсоидом вращения, любая ось, проходящая через точку О и лежащан в экваториальной плоскости, служит главной осью инерции. Поэтому будем для простоты вычислений считать, что ось О:г проходит через центр тяжести, т. е. Ь = О. Тогда динамические уравнения Эйлера (35) в случае Ковалевской принимают вид г1р, г1г1 г1г / Ра1 2 — — йг = О., 2 — + гр = ггуз, — = — сгуз (гт = — / (39) г11 ' г1т ' г11 (т С ( и четвертый алгебраический первый интеграл, как нетрудно убедиться непосредственным дифференцированием, опираясь на уравнения (32), (39), имеет вид (40) (р — г1 — гх /г) + (2рй — сг'уз) = сопз1,.
Найдено и подробно исследовано также много случаев, когда существуют частные алгебраические интегралы, позволяющие свести интегрирование системы (32), (35) к квадратурам. Но эти интегралы существугот не для всех, а только для некоторых специфически выбранных начальных условий'. 106. Основная формула гнроскопнн. Твердое тело, движущееся вокруг фиксированной в нем точки, для которой эллипсоид инерции г Смл Горр Г. В., Кудряшова Л. В., Степанова Л.
А. Классические аадачи динамики твердого тела, Киев: Наукова думка, 1878. 'ай. г7вижепие твердвгв тели вокруг непвдвижнви тички 207 тела лвляетсн эллипсоидом вращении, называ1от гироскопом. В п. 100 мы видели, что если момент внешних сил относительно неподвижной точки О равен пулю., то гироскоп совершает регулярную прецессию вокруг неизменного кинетического момента Аю. Но для того, чтобы гироскоп совершал регулярную прецессию, вовсе не обязательно, чтобы момент внешних сил относительно неподвижной точки был равен нулю.
Рассмотрим этот вопрос подробно. Пусть ОХ1'Я неподвижная система координат с началом в неподвижной точке О тела, а Охуг система координат, оси которой направлены по главным осям инерции тела длк точки О. Пусть А, В, С моменты инерции тела относительно осей Ох, Оу, Ог и А = В. Динамические уравнепил Эйлера (4) в этом случае будут такими: А —; (С вЂ” А)у = Ме, др г11 А — — (С вЂ” А)гр = М, е1ц Др — и' г1г С вЂ” = М,.
(41) р = ыз а1пдв яагер, у = ыз а1нйо соа;о, г = ыз сов до Ч-игы (42) Последнее из равенств (42) показывает, что г постоянная величина. Поэтому третье из уравнений (4Ц дает (43) Подставив величины р, Ч, г из формул (42) в первое из уравнений (41), можно найти Ме. Имеем е1р Ме = Аыг а|иди соз 1в — + (С вЂ” А)ыз сйп йв соз 1е(ыз соа до + ы1). гй Углы Эйлера гр, й, р вводим обычным образом; кинематические уравнения Эйлера имеют вид (5). Найдем условии, при выполнении которых гироскоп может совершать регулнрную прецессию вокруг оси Ол с заданными постоянными значениями угла нутации (й = до), угловой скорости собственного вращения (ф = иг1) и угловой скорости прецессии (1у) = ыг).
Иными словами, надо найти, каким должен быть момент внешних сил Мо относительно точки О, чтобы была возможна регулярная прецессии гироскопа с заданными величинами дв, ыг, игз. Для заданных величин й, Д гр кинематические уравнения Эйлера (5) принимают вид 208 Глава У11 Подставив сюда вместо производной Жр~гй ее значение шы получим ЛХг = шгшз вы до сов У [С+ (С вЂ” А) —, созда] . шг (44) Аналогично, из формул (42) и второго из уравнений (41) получим М„= — ыгьз„в|пд~ з1п|р [С + (С вЂ” А) — г сов д~] . (46) Мо = озг х шз [С -ь (С вЂ” А) — сов до] .
шг шч (46) Отсюда видно, что вектор Мсз постоянен по модулю и параллелен линии узлов ОХ. Формула (46) называется основной формулой гироскопии. Она позволяет по заданным моментам инерции А, С, углу нутации Уо и векторам угловых скоростей шз, ьог найти момент Мсы необходимый длл осуществления регулярной прецессии. Отметим, что, в отличие от случая Эйлера, рассмотренного в и. 100, здесь кинетический момент Ко не остается постоянным; он движетсп в соответствии с теоремой об изменении кинетического момента дКгз — = Мсз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
