markeev_book (522779), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Квадратичная часть функции Ь совпадает с квадратичной частью кинетической энергии, и уравнении Лагранжа, как и в случае существовании обычного потенциала П, разрешимы относительно обобщенных ускорений. Упгкжнвнив 1. Показать, что сумма переносных и кориолисовых сил инерции всех точек системы всегда имеет обобщенный потенциал. 146. О составлении уравнений Лагранжа для описания движения в неинерцнальной системе отсчета. При получении уравнений движении системы относительно неинерциальной системы координат можно применять различные способы.
Укажем два из них. Первый способ не связан с теорией относительного движении. Здесь задача формулируется без введении сил инерции. Кинетическая энергии абсолютного движения системы выражается через относительные обобщенные координаты и относительные скорости точек системы. Обобщенные силы вычисляются обычным способом (длп заданных активных сил). В этом способе силы инерции учитываютсп автоматически самой процедурой выписывании уравнений Лагранжа. Второй способ основан на теории относительного движении.
Задачу формулируют, вводя переносные и кориолисовы силы инерции. Кинетическую энергию здесь надо вычислять длл относительного движении, а при подсчете обобщенных сил, помимо заданных активных сил, учитываются и силы инерции. Если в первом и втором из указанных способов за обобщенные координаты приняты одни и те же величины, то мы придем к одним и тем же уравненинм двилзенил.
В конкретной задаче бывает ясно, какой из способов предпочтительнее. Конечно, возможны и другие способы получении уравнений Лаграюка, описывающих движение системы относительно неинерциальной системы координат. 147. Натуральные и ненатуральные системы. Системы, в которых силы имеют обычный П(г1ь 1) нли обобщенный $'(щ, г)ь 1) потенциал, называются натуральными.
В таких системах функции Лагранжа 1 вводится каь разность Т вЂ” П или Т вЂ” 1' и квллетсл много- членом второй степени относительно обобщенных скоростей, причем 283 'ч' 2. йапопичеспие уравнения Галчхлыпопа гессиан функции Лагранзка и ч г(еФ ... = г(е$ .. = г(еФ ~~и,ь~~, „ф О (45) дьдг)ь ць, дч;дъ и уравнения Лагранжа разрешимы относительно обобщенных ускорений. В дальнейшем, если не будет оговорено особо, мы будем рассматривать более общие системы. в которых функция Лагранжа А не обязательно определяется как разность кинетической энергии и потенциала и в этом смысле является произвольной функцией 1(Ш, оь г). Будем лишь требовать, чтобы гессиан этой функции относительно обобщенных скоростей не был равен нулю: бед,.,'.
~О. д21 дйдчл (46) Такие системы будем называть ненатуральными. Требование (46) ана- логично неравенству (45) и нужно для обеспечения разрешимости урав- нений Лагранжа относительно обобщенных ускорений. В 2. Канонические уравнения Гамильтона 148. Преобразование Лежандра. Функция Гамильтона. В уравнениях Лагранжа второго рода — — — — =О (1=1. 2, ..., п), Лдпя дА (1) идО, д~, = р; = —.' (1 = 1, 2, ..., п). дА де, (2) Переменные Ш, рь 1 называют переменными Гамильтона.
описывающих движение голономной системы в потенциальном поле сил, функция Л зависит от переменных щ, ш, 1 (1 = 1, 2, ..., и). Эти переменные задают момент времени и кинематическое состояние системы, т. е. положения и скорости ее точек. Переменные Ш, де 1 (1 = 1. 2, ..., и) называют переменныли Лагранжа. Но состояние системы можно задавать и при помощи других параметров. За такие параметры можно принять величины ог, р„1 (1 = 1, 2, ..., и), где р; — обобщенные илпульси, определнемые ра- венствами 284 Глава Х Гессиан функции Л относительно переменных г)е (г = 1, 2, ..., и) отличен от нули (см. неравенства (45), (46) п. 147). Замечая, что он равен якобиану правых частей равенств (2), на основании теоремы о неявной функции получаем, что зги равенства разрешимы относительно переменных 66 Ч1 = ~Р1(62 ф,.
рм °, ре, 1) (2 = 1 2 гь) (3) Следовательно, переменные Лагранжа могут быть выражены через переменные Гамильтона и наоборот. !"амильтон предложил записывать уравнения движения в переменных уб р„, Г. В этих переменных уравнения Лагранжа (1) переходят в разрешенную относительно производных систему 2п уравнений первого порядка, имеющую замечательно симметричную форму записи. Эти уравнения называют уравкекиялги Гамильтона (или каноническилги уравнениями). Переменные ая и р; (г'. = 1, 2, ..., а) называютсн канонически сопряженными. Прежде чем получать уравнения Гамильтона, введем некоторые вспомогательные определения. Пусть дана функция Х(шы 2:2,..., Ф„), гессиан которой отличен от нуля: П2Х <1еф,, ~ О. длчдшь, „ (4) дХ (и) Преобразовакиелг Лежандра функции Х(шм шз, ..., т„) называется функция новых переменных 1'(уг, уз, ..., у„), определяеман равен- ством У = ~уешг — Х, (6) в правой части которого переменные л:, выражены через новые переменные у„при помощи уравнений (о)~.
В курсах математического анализа показывается-, что преобразование Лежандра имеет обратное, причем если Х при преобразовании ~Эти уравненил в силу условия (4) разрешимы относительно ж (1=1, 2, ..., ид лпм., нецример, гл. 6 книги; Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интогрального исчислении. Т. 1. Мл Науке, 1966. Перейдем от переменных шм шз, ..., т„к новым переменным уы уз, .... у„по формулам 289 'З й. Канонические ураекекил Гамильтона Лежандра переходит в 1', то преобразование Лежандра от 1" будет снова Х. Преобразование Лежандра функции Г (ун до 1) по переменным дс (1 = 1, 2, ..., и) есть функция Н(ун Га 1) =,~ реус — 1(уу, уу 1).
в которой величины д; выражены через уу, р, 1 при помощи уравнений (2); при атом при проведении преобразования величины ун 1 играют роль параметров. Функция Н называется Функцией Гамильгпока. 149. Уравнения Гамильтона. Полный дифференциал функции Гамильтона вычисляется по формуле с1Н вЂ” ~~~ с1ус + ~ с1рс + с11 ° дН дН, дН ,,ду *, „дре * д1 (8) С другой стороны, полный дифференциал правой части равенства (7), вычисленный при условиях (2), будет таким: сШ = ~~ у, др; — ~~ —,Ис1с — — с11.
дА дА дан ' дг (9) = у; (1 = 1, 2, ..., и), дН д1 дН (10) дан а также (11) Но согласно (1) и (2), р; = — (1 = 1, 2, ..., и). Поэтому из (10) дЬ дал получаем уравнения движения аал дН с11 др; Ай дН сй = ду,' (1 = 1, 2, ..., и). (12) Эти уравнения называются уравнениями Гамильтона (или каноничес- кими уравнениями). Так как при переходе к новым переменным значение полного дифферен- циала не меняется, то правые части равенств (8) и (9) равны. Отсюда следует, что 286 Глава Х Т= — гп1 ф, 2 П = — ту1 сову. Иоэтому Ь = Т вЂ” П = — т1гфг + гпу1 сов д. 2 Иэ равенства ре = . — 7П1 ~О ь)1 г. дф находиль 1 грг.
гп1г Используя формулу (7), находим функцию Гамильтона Н = рнер — Ь = — р — т81 соэ ~р. 1 г 2пдг Канонические уравнения (12) имеют вид др дн др — = — гпл1 а1псо. Ф дН 1 й др гп1г1"" 150. Физический смысл функции Гамильтона. Пусть система натуральна. Тогда 1 = 1г + 1г -~- Ао и, согласно формулам (2) и (7), д(1г+ ьг — 1о), ддг но по теореме Эйлера об однородных функциях ддг . и дТн. 11г=21г, ~ .. уг=1ы д% дуг Отметим, что попутно мы получили равенство (11), означающее, что если функция Лагранжа не зависит явно от времени, то и функции Гамильтона также не зависит от времени, н наоборот.
Аналогично, из равенств (10) следует, что если функция д ае зависит от какой-либо из обобщенных координат, то и функция Н от этой координаты не зависит, и наоборот. Пгнмкг 1. Получим гамильтонову форму уравнений движения мателштического маятника, рассмотренного в примере 2 п. 57. Для кинетической и потенциалной энергии имеем вырагжения (см. рис. 55) 287 'О 2.
йаненичеение уравнении ранилынана поэтому Н = (2тз + 11) — (Ьз+ Лч -ь Ео) = Тз — 1о (13) Пусть Т = Тз + Тч + То. Если силы имеют обычный потенциал П, то 1о = 1)~ — П и, согласно (13), (14) н=т — т +и. Если же силы имеют обобщенный потенциал И =1'ч + Рщ то Ао = = то — 'г'о и (13) Н = тз — то + Ео. Пусть система натуральна и склерономна; тогда Тт = О., То = О и Т = Тз. В том случае., когда силы имеют обычный потенциал, (18) Н=Т+П, (17) Н=т+ ио. 151. Интеграл Якоби. Найдем полную производную функции Гамильтона по времени.
Используя уравнения (12), получим тождество (ОНОН ОНОН)+ ОН дН ~-- ~дйч дрч дрч д~,~+ О1 — О1. т. е. полная производная функции Гамильтона по времени тождественно равна ее частной производной: ч1Н ОК г11 О1 ' (18) Система называется ойобценно консервативной, если ее функция Гамильтона не зависит явно от времени. В этом случае ОН/д1 = О и в силу тождества (18) г1Н/Ф = О. т. е. прн движении системы Н(ои р;) =Ь, (19) т. е. для натуральной склерономной системы с обычным потенциалом сил функция Гамильтона Н представлнет собой полную механическую энергию. В этом и состоит физический смысл функции Гамильтона.
Отметим также, что в случае склерономной натуральной системы с обобщенным потенциалом сил 288 Глава Х где Ь вЂ” произвольная постоянная. Функцию Н называют обобщенной полной энергией, а равенство (19) — обобщенным интегралом энергии. В случае натуральной системы с обычным потенциалом сил функция Гамильтона вычисляется по формуле (14) и, если она не зависит от времени, (20) Хз — То + П = Ь. Соотношение (20), где Ь - . произвольная постоянная, называют интегралом Якоби. Если система консервативна, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
