markeev_book (522779), страница 53
Текст из файла (страница 53)
д1 дУ . ду Х1 Х2 ХЬ (2) /'1=с1, рг — — с2, ..., р1=с1 (сг= сонат;1=1,2, ...,1), (3) Обозначение Х(1) введено для краткости записи. Очевидно, что если 11 12. ° 21 (1 < Й вЂ” 1) . первые интегралы, то и любая функция Г(~ы,6, ..., Я тоже будет первым интегралом системы (1). Если известны 1 независимых первых интегралов 616 11. Мнолеитпеле Якоби то их можно использовать длн пониженин порядка системы (1) на 1 единиц. В самом деле, если Л, 12, ....
)) незввисимы, то рвнг матрицы дЛ д11 дЛ дх1 дх2 дхь д.6 д.6 д (2 дх1 д:гг ' ' ' дхь (4) дЛ дЛ дА дх1 дхг ' ' ' дхь равен Е Не ограничивая общности, будем тогда считать, что отличен от нули определитель Его порядка, составленный из первых 1 столбцов матрицы (4), т. е. нкобиан функций у1, 12, ..., у1 по перемен- НЫМ Х1 Х2, . ~ Х1: ду1 д,~г д,гг дх1 дхг ' ' ' дх1 дуг дуг д)'2 дх1 дхг ' дх1 ~ О. (5) д(Л. Уг: " У1) д(х1, хг, ..., х1) дЛ д1"1 д,г1 дх1 дхг дх1 При выполнении этого неравенства соотношения (3) можно разрешить относительно величин х1, хг,..., х1, в результате чего эти величины выразятсн через переменные х1.11, ..., хь и константы с1, сг, ..., с1. Подствнив их в функции Х1т1, ..., Хь и обозначив получвгощиесн в результате этой подстановка функции Х,*„„ ..., Х*, где Хг (у = 1+ 1,....
Й) —. функции от х1т1, ..., х1, и с1, сг..... с1, мы сведем систему (1) к системе уравнений дтьь1 дхь Х1*., "' Х1 ' порндок которой на 1 единиц меньше порядка исходной системы (1), Система (1) может иметь только й — 1 независимых первых интегралов.
Если они изнестны, то соотношении (6) Л с1~ 12 = его ° ° ° 1 гь — 1 = сь — 1 дают общий интеграл системы дифференциальных уравнений (1). Всякий же другой интеграл у будет функцией независимых интегралов Л. 12, ..., 11 1. Для доказательства этого утверждения на- 316 Глава Х1 до проверить, что вкобиан функций 7", Г1, ..., Гь 1 по переменным:г1, аг, ..., кь равен нулю: ~1' ' ь 1) — О (7) д(кгс:аг, °, кь) Действительно, если 7", 71, ..., Гь 1 — первые интегралы, то Х(7") = Х1 +Хгд + ...+Хьд — — О, д7" д7" дГ" д,, д,, "' Ъь х(у1) =х, +Х,. +...+Хь =О, дЛ дЛ д~1 Х(,~ь 1) =Х1, +Хг +...+Ха . =О. дЬ-1 дЬ-1 дЬ-1 л1 дщг дзь Эта система Й линейных однородных уравнений относительно Х1,Х2,...,Хь должна иметь нетривиальное решение.
Следовательно, выполняется равенство (7). Что и требовалось доказать. Разложив нкобиан, стоящий в левой части равенства (7), по элементам первой строки, представим это равенство в виде Ь1 — +Ьг +...+Ьь =О, д г" д1 д,г" г'2 кь (8) (9) Ь1 = ЛХХ; (1' = 1, 2, ..., й). Функция М называется множителем Якоби или просто множителем системы уравнений (1). где Ь; (г = 1, 2, ..., й) есть алгебраическое дополнение 1-го элемента первой строки якобиана, Условие (8) означает, что Г" — — функция первых интегралов Гг Гг, -.
°, гь 1. Если ~ — первый интеграл, то выполнено условие (8), а если выполнено (8), то з — функция (ы 5, ..., 11. 1 и, следовательно, является первым интегралом. Поэтому равенство (8) является необходимым и достаточным условием того, что (при известных первых интегралах Г1, 72, ..., )ь 1) ) есть первый интеграл. Последнее означает, что условия (2) и (8) эквиналентны.
Поэтому соответствующие коэффициенты при производных дГ/дк1 (1 = 1, 2, ..., Л) в равенствах (2) и (8) пропорциональны, т. е. существует функция Лг (к1, кг,..., кь) такан, что 317 З С Мнолситель Якоби В равенство (9) входит интегралы уы 7з, ., уь з. Однако можно получить дифференциальное уравнение для М, которое не содержит ры,~з, ° ., 1ь ы Покажем„что множитель М удовлетворяет линейному уравнению в частных производных д(МХз) д(МХз) д(МХь) + +...+ =О. дх1 дхз дхь (10) (11) д(хз~ хю хь) а во втором — коэффициент при дЛ/дхз в Ьз, т.
е. определитель (11), взятый с противоположным знаком. Следовательно. сумма упомннутых слагаемых равна нулю. То же самое справедливо и для остальных слагаемых. Любое решение уравненин (10) прилито называть мнолсителем. Справедливо следующее утверждение: частное, двух множителей яеляется первым интегралом системы (1). В самом деле, пусть Мз и Мз — множители, т. е. решения уравнения (10). '1'огда справедливы равенства +Х;дМ =0, (12) +Х,.дМз = О. (13) Умноязив первое из этих равенств на — Мз, а второе па М1 и сложив результаты, получим В самом деле, если в соответствии с (О) вместо величин МХ; (1 = 1, 2,..., )с) подставить в (10) их выражения Ь;, то после проведения содержагцихся в (10) дифференцирований получим, что левая часть равенства (10) представляет собой совокупность слагаемых, каждое из которых есть произведение производной второго порядка вида д"-~,/дх;дхб (1 ф у) на к — 2 частных производных первого порядка.
Поэтому, чтобы показать справедливость равенства (10), лостаточно убедиться в том, что его леван часть не содержит ни одной производной второго порядка. Возьмем, например, производную да г1~дх1дхз. Она содержитсн в двух слагаемых. В одном слагаемом при дз~з/дхздхз будет коэффициент при д)з/дхз в Ьы т. е. определитель 218 Глава Х1 Следовательно, Мг/М1 действительно являетсн первым интегралом.
Верно и обратное: произведение какого-либо множите я на первый интеграл системы уравнений (1) также является множителем. В етом легко убедиться непосредственной проверкой. Для дальнейшего приложении теории множители к уравнениям дидХ1 намики важно заметить, что из (10) следует, что если 2 ' = О, дх; то М = 1 является множителем. 162. Инвариантность множителя. Последний множитель Якоби. Сделаем н системе уравнений (1) замену переменных, введи вместо х1, хг, ..., хь переменные у1, уг, ..., уь по формулам хн = хг(у1.
'у~, ..., у1) (1 = 1,2, ..., й). (14) Будем считать, что якобнан д(т1, хг, ..., хь) (15) д(у1; уг~ ' ' 1 уь) отличен от нуля. Тогда замена переменных (14) является обратимой. Для получения преобразованной системы уравнений введем вспомога- тельную переменную 1 так, чтобы каждое из отношений Нхг/Х1 равня- лось ее дифференциалу Ф. Тогда система (1) запишется так: дх1 йг —" = Хг(х1, хг, ..., 1г1) (1=1, 2,..., й). (16) Выраженную через у1, уг, ..., уь величину Х(уг) обозначим 1'о Тогда в новых переменных система уравнений (1) будет такой: '~у1 Фг дул 21 22 1А (17) Отметим, что выражение Х(Г) инвариантно в том смысле.
что (18) Рассматривая каждую из величин уг (1 = 1, 2,..., й) как сложную функцию и уг(х1(е), хг(1),..., хь(е)), имеем Глава Х1 гдо г' — первый интеграл системы уравнений (1) (а также и систе- мы (17)). Умножив обе части зтого равенства на определитель (15) н воспользовавшись формулой (20), получим д(хы хг, ..., хл) д(хы хг, 'сь) о(уг уг. уь) д(уз ° уг, уь) (су =сопзФ; 1=1, 2, ..., Й вЂ” 2), т. е. длн получения общего интеграла недостает одного первого интеграла, Введем новые переменные уы у, ..., Ул по формулам Уз=хг Уз=хг Уз=Л ° ° Уь=Ь вЂ” г.
Тогда при г > 3 1) = Х(уг) и в новых переменных система уравнений (1) станет такой: ду, с1уг с1уз дуь 1; 1г О ''' О ' (22) т. е. сводится к одному уравнению (23) 1гдуг 1здуг = О, в котором уз,..., Ул рассматриваютсн как постоянные. Если бы был известен множитель М для переменных хы хг,..., хь, то, согласно теореме об инвариантности множителя, функции о(х1 лг~ . ~ хь) д(уы уг, -", уь) (24) была бы множителем для переменных уы уг, ..., Уь, т. е.
удовлетворила бы уравнению д(М*У,) ду; 3=1 Но мы показали, что Мо' — множитель для переменных уы уг, ..., Уь. А так как г" — первый интеграл, то, согласно п. 161, фУнкцин Мо'Р' также ЯвлнетсЯ множителем. Таким образом, мы доказали теорему об ипвариаптности множителя: если М --- множитель для переменных хы хг, ..., хь, то его произведение но янобиан (15) есть множитель для новых переменных уы уг ° ° уь" Свойство инвариантности является основным для практического применении теории множителя. Предположим, что известны 1 — 2 независимыл первых интеграла системы дифференциальных уравнений (1) 8 1.
Множитель Якоби которое с учетом того, что У( = О прн (', > 3, имеет вид д(М*У() д(М*1з) + ду( ду, (25) Последнее равенство означает, что функция М* является интегрирующим множителем Эйлера длл уравнения (23), т. е. выражение М'(Узду( — У(дуз) будет полным дифференциалом. Следовательно, недостающий первый интеграл может быть записан в виде М*(~гйу( У(йуз) = сопИ.
(26) и = а(о х и. Уравнение движения шара получим в форме уравнений Аппеля. Энергия ускорений вычисляется по формуле (см. п. 159, 160) Е = — ти(г + (Арг ь Воз + Сгз) -ь 2 2 + (С вЂ” В) уг р + (Л вЂ” С) грц + ( — А) р ус, (27) (Ига звлвча рамена С.А. Чаплыгиным а его работе «О катании марв по горизонтальной плоскости» (смз Чаплыгин С, А. Собр. соч.
Т. 1, Мп Лз Гостехиздат, 1948.. С. 76 — 101). Функция М* носит название пос геднего мнолсителя» или последнего множителя Якоби. Таким образом, если для системы (1) известен какой-либо множитель, то ее интегрирование требует нахождения не й — 1, а лишь й — 2 независимых первых интегралов. Нахождение последнего недостающего интеграла сводитсн к квадратуре. ПРимеР 1 (НАчение неОднОРОднОГО ШАРА по плОскОсти ).
Рассмотрил( движение шара по неподвижной горизонтальной плоскости. Шар считием неодпорпдным, его центр масс совпадает с геометрическим центром, движение происходит без скольжения. з(волнение отнесем к системе Схуг, образованной главными центральными асями инерции. Пусть и радиус, А, В, С моменты инерции относительно осей Сх, Су, Сз, а гп — масса шара. Если и' = (с,, пл, и,) — скорость центра шара, а ш' = (р» о, г) УгловаЯ скоРость, и' = (7ы тз, .1з) — единичный вектоР, напРавленный вертикально вверх, то условие отсутствия скольжения (равенство нулю абсолютной скорости точки В шара, которой он касается и (оскости) запишется в виде 322 ?лава Х? где ш' = (и~~, шю и„) — ускорение центра шара.
Из (26) получаем ш = сз(ы х и + из х п + ьз х (из х и)] или шз = а]Ч7з — руз + Ч7з — с7г + Рып — 7зьз ], ' = а]с» — Р7 + лй — Р7ьз+Чш. — с ~г] ш» = а]Р7г ЧУ1 ЬР7г 971 + Гыд 7зы ]. (28) Азр+ (Аз — Аг)чс = пиг 7з(Р7з -~- Ч Уг + 67з), Аг г) + (Аг — Аз ) гр = ти 7г (р?з + Ч уг + р-уз), Азс+ (Аг — Аг)РЧ = то, 'уз(Р7з + с]7г + т уз), (29) где Лз — — А+та", Аг — — В+таз, Аз = С-'ь таг, Уравнения (29) совместно с уравнениялси Пуассона (см. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
