markeev_book (522779), страница 61
Текст из файла (страница 61)
1цодробное изложение атой проблемы можно найти в статье: Козлов В. В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамиаьтоновой механике О УМИ, 1333, Т. 33, вып. 1, С. 3.67. и справедливость равенства (48) доказана. Равенства (42) и (48) являются необходимыми и достаточными услоииями существования такой функции о' от у1, г7м..., йю 1 и от ПОСТОЯННЫХ ГХ1,..., О ю Чта 371 З б'. Переменные действие — угол В 6. Переменные действие — угол 181. Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в и. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем. Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Длл таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов сгз (г = 1, 2,..., в) в характеристической функции Гамильтона п.
178. Эти новые импульсы представллют собой и независимых фупкпий от набора величин сгс, появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться 1о Канонически сопряженные к ним координаты ш; назелваются угловыми переменными.
Переменные действие — угол Ти ич весьма удобны длл описанил движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений. Чтобы понять сущность метода Делонэ, целесообразно сначала рассмотреть случай системы с одной степенью свободы. Фазовое пространство такой системы является двумерной плоскостью о, р, и периодические движения могут быть двух различных типов. В движениях первого типа функции д(1), р(1) являются периодическими функциями с одним и тем же периодом.
Точка, изобрагкающая движение в фазовой плоскости, описывает замкнутую кривую. В атом случае говорят, что имеет место случай колебаний. Примером могут служить колебания мантника, рассмотренные в и. п. 93 — 96. На рис. 91 им отвечают замкнутые фазовые кривые, окружасощие особые точки типа центр. В движениях второго типа сама величина д(1) не является периодической функцией. но когда она увеличиваетсн или уменьшаетсл на величину до, конфигурации системы не меняется. Здесь фазовые кривые р = р(9) незамкнуты и имеют период до по ср Периодические движения второго типа называют вращениями. Простейшим примером может служить движение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Координата д здесь являетсл углом поворота тела, и ее изменение на величину до = 2л не изменяет положения тела. На рис. 94 случаю вращений отвечают незамкнутые фазовые кривые, заполннющие части плоскости, лежащие выше и ниже сепаратрис. Пусть Н = Н(П,р) — функция Гамильтона системы с одной степенью свободы, причем — ф.
О. Тогда, согласно и. 177 — 179, характерис- дУ др тическал фУнкцил Гамильтона 1' = г'(9, сг)с гдо а = 6 постолппал 372 Глава Х1 интеграла Н = 6. Из формул (17) и. !78 имеем Вместо а введем величину 1 по формуле (2) где интеграл берется по полному циклу изменения о (цикла колебания нли вращения, смотря по тому, какому случаю отвечает фазовая кривая, определнемая уравнением Н(о, р) = 6).
Величина 1 называется переменной действие. Из (2) видно, что 1 зто поделенная на 2н плошадь, ограниченнан замкнутой фазовой кривой, в случае колебаний или площадь, заключенная между фазовой кривой и отрезком осн о длины оо, в случае вращений. Подставив (1) в (2), получим (3) т. е. 1 = 1(а). При условии — ф О из (3) находим а = а(1). И И Иа тогда (см. и.
178) получаем новую функцию Гамильтона 11 = а(1). Производящая функция унивалентного канонического преобразования д,р — > ин1, вводящего переменные действие — угол, будет функцией д, 1: г' = Ъ'(д, а(1)). Угловая переменная и~ определяется равенством д$' д1 Таким образом. алгоритм введения переменных действие — угол в гамильтоновой системе с одной степенью свободы выглядит так.
Из уравнения Щв, р) = 6 находим функцию р = р(о, 6), а затем вычислнем переменную 1 ьак функцию 6: Обращение функции 1 = 1(6) дает 6 = 6(1). Производящая функ- ция И(д, 1), задающая замену д,р — > иб 1, определяетсн равенством (б) 2 б. Переменные действие- угол Неявно замена у,р — 1 ю,1 задается формулами дг д$' 1В = дЪ' д1' (7) Новая функция Гамильтона Я = Я(1) = Ь(1). В переменных действие — угол уравнения движении будут такими: — = — — = О, — = —. = гв(1). д1 дЯ ди~ дЯ сЫ дю ' Ж д1 (9) Отсюда следует, что 1 = 1о — сгтв1, 111 = гв(1о)1-Ь 1но- (1й) Величина га называется частотой рассматриваемого периодического движения. Существенно то, что процедура получения величины аг не потребовала ничего, кроме квадратур и разрешения уравнений относительно некоторых переменных. Отметим, что когда координата у совершает полный цикл изменения (в случае колебаний или вращений), то угловая переменная ю возрастает на 2к.
В самом деле, обозначая через Ьи1 приращение ю за цикл изменения у, имеем. с учетом (4)., ~дю д ~ дз)г Вынеся производную по 1 за знак интеграла и приннв во внимание формулу ~3), получим Аею = —, у —,г111 = —,(2к1) = 2к, д Гд)г д д17 ду ' д1 2 Т= — Агр~, И=О; р„=Ар, Н= — ~. Это поясняет название величины и~ угловой переменной. За один цикл величина и. изменяется на 2з., и налицо полная аналогии с вращением тела вокруг оси (частота га — аналог угловой скорости тела, ю— аналог угла его поворота вокруг оси). Пример 1 ("ХВВРДОК телО, ВРАЩАюЩеесй В011РУГ непОДВижной оси). Будем считать, что моменты внешнис сил отсутствуют.
Тогда, если А — момент инерции тела относительно оси вращения, а у2 — угол его наворота вокруг оси, то Глава ХУ Считая, что ф ) О, из уравнения Н = 6 находим р = ЛА6 и, сяедо- ватеяьно, )г = / ро йр = 1~Р: ю = — = ~Р~ ро = — = 1' дЪ' д~' д1 ' д~о Поимке 2 (Гярмоничкский осциллктог частоты оз). Функцию Гамильтона возьмем в виде Н = 1аз (дз + рз) Из уравнения Н = 6 имеем р = ~)( — — уз. Ест в правой части 26 равенства сдеяать замену д = ч( — езпх, то получ м /26 / = — 1з соя х йх = —, 6 ) з 6 яы / о то есть Я = оз1. з7ля производящей функции замены д,р — > щ,1 имеел выражение Из форлуя (7) находпл замену, вводящую переменные действие-угол, в виде д = 421ешиц р =>ИЕсоею.
С заменой (11) лы уже встречались ранее. в примере 6 п. 170. 12 и= —, 2А' дЯ 1 д1 А' З б. Перелсеияеге действие — угол 182. Переменные действие — угол в задаче о движении маятника. Задача о движении маятника подробно исследована в и. и. 93 — 96. Несколько изменяя принятые там обозначения, напишем дифференциальное уравнение, описыващее движения маятника, в виде с1 + иго згп Ч = О (12) Это уравнение второго порядка может быть представлено в виде систе- мы двух гамильтоновых дифференциальных уравнений первого порлд- ка с функцией Гамильтона 11 = — р — ыо сов й. 1 2 (13) Для введения переменных действие — угол случай колебаний и вращений мантника надо рассмотреть отдельно. В случае колебний константа интеграла энергии Н = Ь удовлетвоРвет неРавенствам †со < Ь < иго~.
ПУсть Д вЂ” амплитУда колебаний, Тогда, если Й~ = вш —, то ..д' 2' й = 2и'ойг и'о 2.2 2 (14) 1= — урй9=4 — ~'р 1Ч, Г 1 Г 2я1" 2к / (1ое) причем в последнем интеграле Р = 2ого 1:; — з1п д, гЧ 2' (16) Введя вместо П переменную гд по формуле ф = вгсвш ~ — гйп — ~, /1 с 91 1Ь, /' 117) выражение (15) можно переписать в виде гсг сов~ ф 8соо Иф =— ьг (18) (1 йз) сг а действие 1 вычисляется по формуле з о з ,Е:с,' и'еге- о 376 Глава Х1 т. е. 6шо (Е(1 ) (1 11з)1-(ь. )) (19) д1 ~ше~ 1,-(~ ) (20) Отсюда видно, что, ф 0 и, следовательно, на основании теоремы о д1 ч неявной функции, равенство (19) разрешимо относительно 15.
причем для производной функции 11 по 1 имеем выражение (2Ц д1 8шо1з 1т (1с~) Новая функция Гамильтона Я зависит только от 1, она опредслнется из (14) и (19). Отбросив несущественную постоянную — ше, получим, что Я = 2шо "з: (22) где Й, = 4(1) — обратная к 1(1ч) функция, определяемая из (19). Из (21), (22) находится частота колебаний дЯ дЯ д~~ з ша д1 гИд д1 2 К(й~) ' (26) 4К(йз) Для периода колебаний т = ~ получаем выражение т = сов- Щ шо падающее с выражением, полученным в п. 96.
Для производнщей функции (6) канонического преобразования д, р — ~ ш, 1 после замены переменных (17) получаем выражение 1'(4 1) = 4шо (Е(Ф, 1ч) — (1 — ЮЕ(Ф, 1ч)1 ., (24) где Е и Š— эллиптические интегралы первого и второго рода (см. п. 95), ф определена равенством (17), а й~ = 15(1) равенством (19). Для угловой переменной ш, согласно второй формуле из (7), имеем выражение д1' д1' доз д1 д15 01 (25) где А и Š— полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно. Равенство (19) определяет 1 как функцию 11. Продифференцировав обе его части по 12, получим, при учете формул (21) и. 95, 378 Глава ХУ где (32) а фазовая кривая р = р(г7, Ь) задается уравнением ьгг! 1 12е 2 Ч 2' (33) Для действия 1 имеем такое выражение: Е = — у рг1г7= — ~ 1 — 1с еггг — г1г7, гве .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
