Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Если мы рассматриваем вешественное пространство, то может случиться (при четной размерности), что характеристическое уравнение не имеет ни одного нещественного кор- З1. Задача в евбепсвенкых век ~арах сад ня, и, следовательно, линейное преобразование не имеет собственных значений и собственных надпространств. Примером может слунсить поворот плоскости. В комплексном пространстве и в вещественном пространстве нечетной размерности каждое линейное преобразование имеет хоть одно собственное значение и хоть одно собственное надпространство.
Предложение 7. Если А и А' — матрицы линейного преобразования А в разных базисах, то характеристаические многонлекы этих матриц совпадакст. Доказательство. Согласно формуле (1) мы имеем с1ет(А' — ЛЕ) = с1ег(Я 'АЯ вЂ” ЛВ сВ) = с)еСЕ "(А — ЛЕ)В = = с1ес(А — ЛЕ) с1есЯ ' с1есЕ = секес(А — ЛЕ).
Из этого предложения следует, что мы можем назвать характеристический многочлен матрицы А характеристическим лсногочленом преобразования А. Коэффициенты характеристического многочлена являются инвариантами, связанными с преобразованием. В частности, детерминант матрицы преобразовании не зависит от выбора базиса. Другим важным инвариантом являетсн коэффициент о, '+ ... + о'„' при ( — Л)о ', называемый следом матрицы или следом преобразования. Он обозначается сгА или сгА. С помощью теоремы Виета из (9) нетрудно установить, что след матрицы равен сумме всех корней ее характеристического многочлена, а детерминант -- произведению корней. 6.
Свойства собственных надпространств. Взаимное расположение собственных надпространств описывает Теорема 2. Сумма собственных надпространств является прямой суммой. В силу предложения 5 Х 2 это равносильно утверждению: собственные векторы хы ...,хе, принадлежащие попарно различным собственным знамениям Лы ..., Лсо линейно независимы. Для доказательства рассмотрим преобразования В; = (А — ЛсЕ) для всех 1 = 1, ..., в и образы векторов хы ...,х, при этих преобразованиях.
Для любых с и з имеем В;(хз) = А(х ) — Л,хз = (Л вЂ” Л,')х.. (10) Таким образом, В,(хз) ф о при 1 ~ з', а В,(х,) = о. Допустим, что один из векторов раскладывается по остальным, например, хс = огхз + ... + оехе. Подействуем на обе части равенства прсобразованинми Вз,...., В,. Вектор хс в левой части равенства перейдет в отличный от нуля вектор (Лс — Лг)..ДЛс — Ле)хы а произвольное слагаемое озхй Ц = 2, ..., в) в правой части равенства перейдет в оз(Лз — Лз)..ДЛ, — Лз)...(Лз — Ле)хз, Гл. Рй Линейные пространства 186 т. е. в нулевой вектор. Поэтому вся правая часть равенства перейдет в нулевой вектор.
Полученное противоре 1ие заканчивает доказательство теоремы. Пусть Ло корень многочлена р(Л). Напомним, что кратностью корня Ло называется самое большое число з, при котором многочлен моя1ет быть представлен в виде р(Л) = 1Л вЂ” Ло)'Р1'1Л), где Р11Л) некоторый многочлеп. Корни кратности 1 называются простыми. Теорема 3. Пусть собственное значение Ло преобразования А есть корень характеристического многочлвна кратности з. Тогда разл1ерность соответствующего собственного подпространства нв превосходит з. Доказательство. Пусть корню Ло соответствует собственное подпространство размерности й.
Выберем там базис е1, ..., еь и дополним его векторами еьь1, ..., ев до базиса в пространстве .2'. Первые й столбцов матрицы А преобразования А в этом базисе определяются предложением 6; л ... о о ... л О ... О О ... О Здесь В и С какие-то подматрицы, занимающие и — й столбцов. Раскладывая детерминант матрицы А — ЛЕ последовательно по ка адаму из первых й столбцов, мы получаем с1еЦА — ЛЕ) = (Ло — Л)1 с1е1(С вЂ” ЛЕ). Отсюда по определению кратности й < и.
Теорема доказана. Собственному значению кратности в может принадлежать собственное подпространство размерности, меньшей, чем з. Например, читатель может проверить, что линейное преобразование двумерного пространства, задаваемое матрицей 1 1 О 1 имеет собственное значение кратности 2 и одномерное собственное подпространство. Т. Комплексные характеристические числа. Допустим, что у линейного преобразования А вещественного линейного пространства У характеристический ьшогочлен имеет комплексный (не вещественный) корень Л.
Поскольку коэффициенты многочлена вещественны, комплексно сопряженное число Л также будет корнем мпогочлена. Имеет место Предложение 8. Паре комплексно сопряженных корней характеристического мпогочлена преобразования А вещественного прост- ЗЛ. Задача о собсвэвенкых векторах 787 ракства соответствует ненулевое инвариантное подпростраястэ во х', обладающее твм свойством, что око нв содержит собственных векторов, а через любой вго вектор проходит двулгвркое инвариантное подпространство.
Доказательство. Числа Л и Л являются корнями вещественного квадратного трехчлена гг + рг + д (в котором р = — (Л + Л), а у = ЛЛ). Рассмотрим линейное преобразование В = Аэ + рА+ уЕ и подпространство У = КегВ. По предложению 3 К~ инвариантно. Докажем, что хл — ненулевое подпространство. Если в некотором базисе А имеет матрицу А, то матрицей преобразования В будет Аг+ рА -ь уЕ. Эта матрица вещественна, но раскладывается на два комплексных множителя: В = (А — ЛЕ)(А — ЛЕ).
Отсюда <1ес В = = с1ег(А — ЛЕ) дет(А — ЛЕ) = О, так как бег(А — ЛЕ) = О, и мы видим, что ядро В ненулевое. не содержит собственных векторов. Действительно, если для некоторого вектора х выполнено А(х) = рх, то В(х) = рзх + ррх + + ух = (рг + рр. + у) х. Так как квадратный трехчлен не иэлеет вещественных корней, рг + рр + ц ф О, и поэтому из В(х) = о следует х = о. Вектор х пе может быть собственным. Пусть теперь х --.
ненулевой вектор из К. Рассмотрим подпространство .хи линейную оболочку векторов х и А(х). Это подпространство инвариантно. В самом дело, пусть у = ох+ ДА(х) вектор из .гэ~~. Тогда А(у) = оА(х) + ВАг(х). Так как В(х) = о, мы находим, что Аз(х) = — рА(х) — дхд и потому А(у) = оА(х) — ДрА(х1— — дух. Значит, А(д) раскладывается по х и А(х), т. с. принадлежит х .
Итак, линейная оболочка векторов х и А(х) . " инвариантное подпространство. Ясно, что его размерность не больше двух. Если бы она равнялась 1, то подпространство содержало бы собственный вектор, чего, как мы видели, быть не может. Предложение доказано. Рассмотрим корни характеристического многочлена. Если среди них найдется вещественный, то существует собственное подпространство, а значит, и одномерное инвариантное подпространство. Если найдется не вещественный корень, то найдется двумерное инвариантное подпространство.
Поэтому имеет место Следствие. Любое линейное преобразование ненулевого вещественного пространства имеет или одномерное, или двумерное инвариантное лодпростракство. 8. Приведение матрицы преобразования к диагональному виду. Из предложения 6 вытекает Предложение 9. Матрица преобразования А в базисе еы ...,го является диагональной тогда и только тогда, когда всв базисные векторы собственные.
В этом случае, диагональные элементы матрицы — собстввккыв значения. Для произвольного линейного преобразования может не сущест- 188 Гл. У1. Линейные пространстве вовать базиса из собственных векторов (пригиер в конце п. 6). Если такой базис существует, то мы будем говорить, что матрица преобразования приводится к диагональному виду, а преобразование называют диагонализуемым или преобразованием простой структуры.
Предложение 10. Преобразование А пространства,2' диагонализуемо тогда и только тогда, когда К совпадает с суммой собственных подпространств А. Доказательство. Если .2' совпадает с суммой собственных надпространств, то в 2' есть базис из собственных векторов, так как сумма собственных подпространств прямая, и объединение их базисов базис в х".
Обратно, если есть базис из собственных векторов, то каждый вектор раскладывается по собственным векторам, и потому принадлежит сумме собственных надпространств. Следующее предложение дает простое, но важное достаточное условие диагонализуемости преобразования. Предложение 11. Если преобразование и-лсерного пространства 2' илеет и попарно различных собственных значений, то оно диагонализуемо.
Действительно, соотнетствуюшие этим п собственным значениям собственные надпространства расположены так, что их сумма прямая. Самое меньшее, каждое из них имеет размерность 1, и потому размерность суммы не может быть меньше, чем и. Значит, сумма собственных надпространств должна совпадать с .К. Условие в предложении 11 не является необходимыьь Например, если все элементы диагонали одинаковы (в частности, для тождественного и нулевого преобразований), то каждый ненулевой вектор будет собственным, и в каждом базисе матрица преобразования будет диагональной.
Предложению 11 можно придать следующую форму. Предлога ение 12. Если все характеристические шола матрицы А попарно различны, то существует невырожденная матрица Е такая, что матрица 5 'АЕ диагональная. Если матрица А вещественна, а ее характеристические числа попарно различны и вещественньц то существует такая вещественная матрица Е. Теорелза 4.
Линейное преобразование А пространства У' диагонализуело тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет уравнению р(А) = О, где р11) некоторый многочлен, без кратных (а для вещественного пространства и комплексных) корней. При этол все собственные значения преобразовинил -- корни л~ногочлена. Доказательство. Г. Пусть А диагонализуемо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
