Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Обратно, пусть билинейная функция имеет симметричную матрицу. Тогда, поскольку матрица размеров 1 х 1 не меняется при транспонировании, Ь(х, у) = 1г,т Вц)т = 777 Втг. = 777 Вц = Ь(у, х). Мы доказали Предложение 1. Билинейная функция симметрична тогда и только тогда, когда симметрична ее матрица. 2. Квадратичные формы. Определение.
Квадратичной формой или квадратичной функ- цией на линейном пространстве .Ее называется функция 1, значение которой на любом векторе х определяется равенством 1(х) = Ь1х, х), где Ь -"- симметричная билинейная функция. П р и м е р 2. Скалярное произведение векторов — силсметричная билинейная функция.
Соответствующая квадратичная функция сопо- ставляет вектору квадрат его длины. По заданной квадратичной форме К однозначно определяется соот- ветствующая симметричная билинейная функция Ь. Действительно, пусть х и у произвольные векторы. Тогда 1с(хс + у) = Ых+ у, х + у) = Ь(х, х) + Ь(х, у) + Ь(у, х) + Ь(у, у). Отсюда, используя Ьсу, х) = Ь(х, у), получаем ьс ,у) = †, Ж + у) — ~(*) — й1у)), 1 и значение Ь на любых векторах выражается через значения М.
Матрссцей квадратичной формы называется матрица соответст- вусощсй билинейной функции. Согласно (3) мы имеем следующее выражение значения квадра- тичной формы через координатный столбеп вектора; цтВч сб) или, в развернутонс виде. ~(х) = ~ А ~'~с. Гл. е7. Пикейные пространства 198 Правая часть формулы (7) однородный многочлен второй степени относительно ~1,...,~". (Собственно, слово "форма", когда-то употреблявшееся значительно шире, означает "однородный многочлен".) Приведенная запись этого многочлсна содержит подобные члены: при 1 ~ 1 члены З1 С'Се и З,~1~' и,З„~о~' совпадают. Поэтому после приведения подобных членов (7) принимает вид Определение.
Квадратичная форма к в базисе е имеет диагональный вид, если в этом базисе к(к) = ~в1((')1, т. е. ее матрица является диагональной. Теорема 1. Для колодой квадрагпичной формы й суи1ествует базис, в котором она илсеет диагональный вид. Доказательство.
Пусть В матрица квадратичной формы й в каком-либо базисе. Применим к матрице В последовательность элементарных преобразований, которую для удобства описания разобьем на ряд шагов. На первом шаге возможны два случая. 1) Основной случай: 1З11 ~ О. Если это так, вычитаем первую строку, умноженную на подходящие множители (З1и/В11 для 1-й строки), из всех лежащих ниже строк и вычитаем первый столбец, умно1кенный па те же множители, из всех столбцов правее него.
В результате матрица В перейдет в матрицу В, вида О .. 0 0 (10) С1 0 где С1 симметричная матрица порядка и — 1. 2) Особый случай: З11 = О. Здесь имеются две возможности. а) 1З1, = 0 для всех 1 = 2, ..., п. При атом матрица уже имеет нужный вид (10). б) Найдется 1, для которого,З1, р': О. При этом делается вспомогательное преобразование: если 1З„ ф О, то 1-я строка переставляется с первой, и 1-й столбец переставляется с первым; если же З1, = О, то 1-я строка прибавляется к первой и 1-й столбец прибавляется к первому.
В преобразованной матрице оказывается Щ ф О. После вспомогательного преобразования матрица приводится к виду (10) так же, как и в основном случае. 46. Квадратичные формы 199 Пусть в результате й шагов мы получили матрицу ве ... О О ." еь (11) ее В' = Разумеется, если исходная матрица нулевая или нулевой окажется какая-либо из матриц Сы то н дальнейших преобразованиях необходимости нет, так как матрица уже диагональная. Это равносильно тому, что на всех следующих шагах имеет место особый случай а).
Важно заметить, что после каждого элементарного преобразования строк осуществлялось такое же элементарное преобразование столбцов. Если элементарное преобразование столбцов равносильно умножению преобразуеллой матрицы справа на матрицу Яа, то то же преобразование строк равносильно умножению слева на матрицу Ят (п. 4 9 2 гл. Ъ'). В результате всей последовательности злегиентарных преобразований мы получаем матрицу В' = ЯтВЯ, где 5 = Я1...$н -- произведение всех матриц, осуществляющих элементарные преобразования столбцов. 'л1ы доказали, таким образом, что матрица В' является матрицей квадратичной формы к в базисе е', который связан с исходным базисом е матрицей перехода 5.
Теорема доказана. Доказательство дает способ выписать матрицу перехода 5 к базису, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид. Для этого нужно попутно с преобразованинми матрицы В делать все элементарные преобразования со столбпами единичной матрицы. В конце единичная еиатрица превратится в произведение всех элементарных матриц, т. е.
в нужную нам матрицу Я. Здесь Сь симметричная матрица порядка в — й, а через вы ...,ае обозначены левые верхние элементы матриц С,, полученных на предыдущих шагах. Следующий, (в+ 1)-й шаг состоит в такой последовательности элементарных преобразований последних и — й строк и последних п — й столбцов матрицы Вы которая равносильна применению преобразований первого шага к матрице Сь. В результате мы получаем матрицу Вью, имеющую тот же вид с большим на 1 значением 1ь После (и — 1)-го шага матрица Са 1 имеет порядок 1 и не нуждается в преобразовании. В результате матрица В будет превращена в диагональную матрицу 200 Гль У1. Пикейкые кростракстаа При приведении квадратичной формы к диагональному виду можно воспользоваться методом аь1делекия квадратов.
Покажем его на примере. Пусть задана квадратичная форма Ь(Х) 2(~~)' + 4~~~~ + 3(члз)2 + 4чсзчлз + 5(~3) Заметив, что коэффициент при (Л1)2 отличен от нуля, соберем вместе все члены, содержащие С': 2Д')2+ 2с~с~]+ 3(сз) + 4с 5 + 5(ч ) . Дополним выражение в квадратных скобках до квадрата суммы, прибавив и вычтя 2ф)~: 2Д1)2 + 2~152 + (42)2) — 2©2 + 3©2 + 4~2(3 + 5(,3) Теперь к(х) = 2((С" + С2))2 -Ь 'ь'(х), где к' квадратичная форма, значения которой зависят только от гз и гз: 'к'(х) = (12)2 + 41213 + 5(13)2. К ней можно применить тот 1ке прием: ~ '(, ) (~2 + 2~3)2 + (~3)2 Итак, й(х) + 2((~)2 + (С2)2 -Ь (Сз)2, где ~1 ~1+~2 ~2 ~2+2~3 ~3 ~3 Последние формулы задают преобразование координат при переходе к базису, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид.
В методе выделения квадратов также возможен особый случай, когда в квадратичную форму не входят квадраты координат, а входят только произведения. Допустим, что с ненулевым коэффициентом 2Д12 входит произведение ~'~2. Рекомендуется замена координат ~1 = ~1 + ~2 ~2 = ~1 — Сз Е = Е ( > 2) после этой замены в квадратичную форму войдут члены 21312(31)2— — 2Д12(гз)2, и выделение квадратов может быть продолжено. При доказательстве теоремы 1 была предложена определенная последовательность элементарных преобразований. В основном случае метод выделения квадратов только формой записи отличается от приведения с помощью этой последовательности прсобразонаний. Но полезно иметь в виду, что можно использовать любую последовательность элементарных преобразований при единственном условии: после каждого элементарного преобразования строк должно выполняться то же элементарное преобразование столбцов.
Диагональный вид квадратичной формы в вещественном пространстве мы будем называть какокическ лч видал, если элементы еь на диагонали могут быть равны только 1, — 1 и О. В комплексном гб. Квадратичные фермы зог пространстве диагональный вид квадратичной формы канонический, если числа на диагонали могут равняться только 1 или О. Теорема 2. Для яаледай квадратичной формы существует базис, в котором ана имеет канвничегкий вид. Для доказательства будем исходить из диагонального вида квадратичной формы и сделаем следучошее преобразование.
Если какой- либо из диагональных элементов ег отличен от нуля, то разделим Й-ю строку и Уэй столбец матрицы на вь в случае комплексного пространства и на Хгг)яД в случае вещественного пространства. Это равносильно делению к-го базисного вектора на то жс число. Сделав это для всех к таких, что гу ф О, мы приведем квадратичную форму к каноническому виду. 3. Ранг и индекс квадратичной формы.
Существует много базисов, в которых данная квадратичная форма имеет канонический вид. Коэффициенты г могли бы быть, вообще говоря, своими для каждого из таких базисов. Однако оказывается, что они одни и те же (с точностью до порядка их расположения), как бы мы ни приводили квадратичную форму к каноническому виду. Теорема 3. Ранг матрицы квадратичной формы нв зависит вт базиса. Действительно, .по формуле (5) матрицы В и В' квадратичной формы в двух базисах связаны равенством В' = Я~ВЯ, где дег 5 ф О. Отсюда Вй В' = ВК ВЯ = Вд В в силу предложения 3 о 3 гл. У, Если квадратичная форма имеет диагональный вид, то ранг ее матрицы равен числу диагональных элементов, отличных от нуля.
Таким образом, это число не зависит от базиса. О и р е д с л е н и е. Число не равных нулю коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы й называется рангом 1е. Итак, ранг квадратичной формы равен рангу ее матрицы. В комплексном пространстве все квадратичные формы одного и того же ранга г приводятся к одному и тому же каноническому виду (с ) + ... + (с") . Теперь рассмотрим вещественное пространство 2'. Определение. Квадратичную форму к будем называть положительно определенной на подпространстве гге' пространства гг, если й(х) > О для любого ненулевого вектора х из У'.
Форма к отрицательно определена на .х", если й(х) ( О для любого х ф о из Если говорят, что квадратичная форма положительно или отрицательно определена, без уточнения подпространства, то она обладает таким свойством на всем,2'. Квадратичные формы, для которых М(х) > О или 1(х) ( О при любом х., называются соответственно положительно или отрицательно пвлуаиределенными.
Удобно считать, что на нулевом подпространстве каждая квадра- 202 Гл. е1. Линейные пространства тичная форма и положительно определена, и отрицательно определена одновременно. В силу этого соглашения всегда сугцествует (хотя бы нулевое) надпространство, на котором квадратичная форма отрицательно определена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
