Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 48
Текст из файла (страница 48)
2) (х+ у, г) = (х, -) + (у, г): 3) (ах,у) = а(х,у)., 4) (х,х) ) О длн всех х ф о. Будем рассматривать я;мерное евклидоно пространство б'. Любое подпространство бн в б' — также евклидоно пространство, так как для его векторов определено то же самое скалярное умножение. Очевидны простейшие следствия из перечисленных аксиом. Так как (х, ау) = (ау, х) = а(у, х), имеем (х, ау) = а(х, у). (1) Аналогично доказывается (х, у + ) = (, у) + (х, г) (2) Можно дать второе определение евклидова пространства, эквивалентное первому. О п р е д ел е н и е. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем задана положительно определенная квадратичная форма. Гл.
171. Явклидовы и унитарные пространства 216 Из первого определения следует второе. Действительно, если в вещественном линейном пространстве определена операция скалярного умножения, то это функция от двух векторов. Аксиомы 2) и 3) и формулы (1) и (2) равносильны тому, что функция билинейная. Аксиома 1) означает, что оилинейная функция сил1мстрична, а аксиома 4) . - что соответствующая квадратичная форма положительно определена.
Поскольку симметричная билинейная функция однозначно определяется соответствующей квадратичной формой, обратное утверждение столь же очевидно. Конечно, в вещественном линейном пространстве существует бесконечно много положительно определенных квадратичных форм.
Во втором определении слово "задана" означает, что одна из них выделена и играет особую роль. Будем называть ес основной квадратичной формой. Пример 1. Для векторов геометрического пространства скалярное произведение двух векторов определено как произведение их длин на косинус угла между ними. Так, определенная операция скалярного умножения обладает нужными свойствами, но зависит от выбора единицы измерения длин. Поэтому, если такая единица выбрана, векторы геометрического пространства образуют трехмерное евклидова пространство в определенном здесь смысле.
П р и м е р 2. В п;мерном арифметическом пространстве мы можем ввести скалярное умножение., сопоставив столбцам ~ и ц число (тт1 = ('ц' + ... + ~™г1", (3) где через ~1 и ц' обозначены элементы столбцов. Используя свойства умножения матриц, читатель без труда может проверить, что все условия, входящие в определение, выполнены. Иначе можно было бы сказать, что в качестве основной квадратичной фор1иы выбрана та, которая в стандартном базисе арифметического пространства (состоящем из столбцов единичной матрицы) имеет канонический вид. Пример 3.
В пространстве функций, непрерывных на отрезке (О, Ц, можно ввести скалярное произведение по формуле (.1":й) = /1"(1)й(1) 1К о Аксиомы 1)-4) вытекают из известных свойств определенных интегралов. 2. Длина и угол. В соответствии с формулами 34 гл. 1 введем Определение. Назовем длиной вектора х и обозначим ~х~ число уу(х,х). Углом между векторами х и у назовем каждое число уо, удовлетворя1ощее условию спасо = ( 'ц). (4) )хйи! 41. Евклидовы кространства 217 В силу аксиомы 4) длина вектора вещественное неотрицатольное число, причем она равна нулю тогда и только тогда, когда вектор нулевой. С определением угла дело обстоит несколько сложнее. Нам предстоит доказать, что выражение в правой части равенства (4) по абсолютной величине нс превосходит единицы. Это следует из неравенства (х, у) г < (х, х) Ь, у), (5) связываемого с именами Шварца, Боши и Буклковского. Ниже мы получим это неравенство как следствие из теоремы 1.
Еще одно важное неравенство, называемое неравенством треугольника, (х + у( < )х! + (у! (6) следует из неравенства Коши Буняковского: <х+ у х+ у) = Из + 2(х у) + М' < И + 2~ !М + Мг = ЦИ + М)г. Знак равенства имеет место, если 1х, у) = )хйу), т. е. если угол между х и у равен нулю, и только в этом случае.
Нераненство (6) для векторов — — направленных отрезков — означает, что длина стороны треутольника меньше суммы длин остальных его сторон. Векторы х и у называются перпендикулярными или ортогок льными, если (х, у) = О. Это условие выполнено, если хоть один из векторов нулевой. Если оба вектора ненулевые, то по формуле (4) угол между ними равен л/2. Предложение 1. Только нулевой вектор ортогокилвк каждому вектору пространства.
Действительно, если (х,у) = О для всех у, то, положив у = х, получим 1х, х) = О, что возможно только при х = о. 3. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей. Если н евклидовом пространстне выбран базис е, то скаллрное произведевие векторов х и у, как и звачевие л1обой билинейной функции, выражается по формуле (3) ~ 6 гл. У1 через координатные столбцы ( и 77 этих векторов: 1х, у) = 6 Г71. (7) Согласно определению матрицы билинейной функции элементы де матрицы Г равны скалярным произведениям 1е1, е,), т, е.
1е1, е1) ... 1е1, ек) 1е„,е1) ... 1еь,е„) Эта матрица называется матрицей Грома базиса е. Матрица Грама симметрична. По критерию Сильвестра все ее главные миноры положительны, в частности справедливо Предложение 2. Детерминант матрицы Грал1а любого базиса полозкителен. Гл. 1 П. эвклидовы и унитарные пространства 218 Это предложение может быть обобщена следующим образом. Теорема 1. Пусть х1,...,хь - произвольная, не обязательно линейно независимая система векторов. Тогда детерлеинант матрицы, составленной из их попарных скалярных произведений, (х1, х1) " (х1, хь) (хь, х1) ... (хь, хь) положителен, если векторы линейно независимы, и равен нулю, если они линейно завис мы. Первое утнерждепие следует из предложения 2, так как линейно независимые векторы составляют базис а своей линейной оболочке.
Докая.ем второе утверждение. Если нектары линейно зависимы, то выполнено равенство сс1х+ ... + сльхь = о, а котором среди коэффициентоа есть отличные от нуля. Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов, мы придем к системс линейных уравнений сЫ (х1, х1) -1- ... -Ь оь(хы хь) = О, (10) о1'1хьэ т1) + ... + оь(хь, хь) = О, которой удовлетворяют коэффициенты о1, ...,аь. Так как систеьча имеет нетривиальное решение, детерминант ес матрицы равен нулю.
Следствие. Для любых двух векторов в евклидовом пространстве имеет л1есто неравенство Коши — Буняковского (5), причем оно вьтолнено как равенство тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы. Пусть оазис е' связан с базисом е матрицей перехода Я. Тогда формула (4) 86 гл. 111 переписывается и виде (8) показынаюшем связь матриц Грама двух разных базисов.
4. Ортогональные базисы. Базис, и котором основная каадратичная форма имеет канонический вид, называется ортонормированным базисом. Так как она положительно определена, матрица Грама ортопормироаанного базиса единичная: (еье,) = О при 1 ~ 1 и (еье1) = 1 (1,1 = 1, ...,и). Это значит, что векторы ортонормированного базиса попарно ортогональны, а по длине равны единице. Для ортонормироаанного базиса формула (7) имеет вид (х,у) =( Ч=Ю+" +ГО". (О) Предложение 3. п попарно ортогональных ненулевых векторов 61, ...,Ь в и-мерном ев лидовом пространстве составляют базис. Разложение вектора по этому базису задается формулой (х, К,) )К,р 91. Евнлидввы врвстрвнства 219 Действительно, матрица из произведений (Ь„ 6 ) диагональная с ненулевыми элементами на диагонали. Из теоремы 1 следует, что 61, ..., Ь„составляют базис.
Пусть т = о161+ ... + овал. Умножая это равенство скалярно на любой из 1и, находим, что сс, = (а,6,)/(6,(9, что равносильно (10). Базис из ортогональных векторов называется ортогональным базисом. Вычислим (л., л) с помощью формулы (10). Поскольку (Ан, 61) = 0 при 1 ф 1, получаем равенство Парсеваля п ~„~9 С, (* Д1) (6 (11) 4=1 5. Ортогоиальные матрицы.
Рассмотрим два ортонормированных базиса е и е' = е5. Тогда в формуле (8) Г' = Г = Е, и формула принимает вид Б Б=Е. (12) Наоборот, если выполнено условие (12) и исходный базис ортонормированный, то мы получаем Г' = Е, и новый базис также ортонормированный. Определение. Матрица, удовлетворяющая условию (12), называется ортогональной матрицей. Как мы видели, ортогональныс матрицы и только они могут служить матрицами перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
Равенство (12) равносильно равенству Бт (13) Из свойств обратной матрицы теперь следует, что ВВт — Е (14) Это означает, что матрица Ят также является ортогональной. Обозначив элементы матрицы Я через а'., мы можем написать равенства, равносильные (12) и (14): Ь=1 Впрочем, первое из равенств можно получить непосредственно из (9), если вспомнить, что столбпы матрицы перехода координатные столбцы новых базисных векторов в старом базисе. Произведение 511 двух ортогональных матриц 5 и Гс . ортогональная матрица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
