Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Доказанная теорема допускает такую матричную формулировку. Предложение 5. Если А симметричная матрица, то существует ортогональная матрица 5 такая, что Я 1АЯ диагональная машрици. Действительно, матрица А задает самосопряженное преобразование в ортонормированном базисе. В качестве Я можно взять матрицу перехода от этого базиса к базису, построенному в теореме 4. Для теоремы 4 справедлива обратная теорема.
Предложение 6. Если существует ортонорлшрованный базис из собственных векторов линейного преобразования А евклидова пространства, то А самосопряженное. Действительно., в таком базисе матрица преобразования диагональная, а потому симметричная. А = А* по предложению 3. Приведем геометрическую характеристику самосопряженного 42.
Линейные превбравеванип евнлидввыа прае ~ранежлв 229 преобразования. В теореме 2 9 3 гл. 112 мы рассматривали, в частности, аффинное преобразование плоскости, состоящее в сжатии (растяжении) по двум взаимно перпендикулярным направлениям. В и;мерном евклидовом пространстве обобщением такого преобразования будет сжатие по п попарно перпендикулярным направлениям. Выберем ортонормированиый базис так, чтобы его векторы имели данные направления. Тогда каждый базисный вектор е; перейдет в ему пропорциональный вектор Л;е,, где Л; коэффициент сжатия. По предложению 6 преобразование будет самосопряженным. Обратно, самосопряженное преобразование с положительными собственными значениями является сжатием по и попарно перпендикулярным направлениям. Нулевому собственному значению соответствует уже не сжатие, а проектирование, а отрицательному собственному значению произведение сжатия и симметрии.
Рассмотрим теперь нахождение базиса, существование которого доказано в теореме 4. Выбрав некоторый (удобнее, если ортонормированный) базис составляем матрицу А преобразования. Находим корни ее характеристического многочлена г1еь(А — ЛЕ) и для каждого корня базис в собственном подпространстве как фундаментальную систему решений системы (А — ЛЕ)д = о. Для простых корней единственный вектор базиса следует пронормировать, а для кратных корней полученный базис нужно ортогонализовать и нормировать. Для практического решения вычислительных задач по ряду причин применяются совсем друтие методы. Изложение этих вопросов не входит в нашу задачу. Поясним, однако, одну из таких причин на простом примере. Допустим, что мы производим вычисления с округлением, учитывая два десятичных знака после запятой, и нам нужно найти характеристические числа матрицы 1 0,03 0,03 1 При выбранной точности истинное характеристическое уравнение Лз — 2Л + 0,9991 будет воспринято как Лз — 2Л + 1, и мы найдем Л', = = Л!~ = 1.
Однако умножение матрицы на столбцы ((1 1()т и ((1 — Ц(т показывает, что па самом деле характеристическими числами являются Л1 = 1,03 и Ла = 0,97. 3. Изоморфизм евклидовых пространств. Два евклидовых пространства У и Г называются изоморфными, если существует взаимно однозначное линейное отображение А: К вЂ” г Г, при котором (А(з),А(9)) = (аду) (7) для любых к и Л из К Такое отображение называется изомврфизмам евклидовых пространств. Таким образом, термин "изоморфизми имеет различные значения в зависимости от контекста. Если речь идет о евклидовых прост- азо Гл.
ЪП. Евклидовы и унитарные пространства ранствах, то при изоморфизме помимо линейности требуется сохранение скалярного произведения. Для того чтобы два евклидовых пространства были изоморфны, разугиеется, необходимо, чтобы были равны их размерности. Действительно, в противном случае они не изоморфны даже как линейные пространства. Оказывается, что этого и достаточно.
Теорема 5. Любые два ввклидовых пространства одной размерности изоморфны. Евклидовы пространства разньгх размерностей не изоморфны. Для доказательства первого утверждения выберем в каждом из рассматриваемых пространств б'и Х по ортонормированному базису. Отображение А: б"-+еж зададим, сопоставлял вектору х Е 4" вектор А(х) Е о', имеющий те же координаты. Матрица этого отображения единичная, поэтому А будет взаимно однозначным. Из формулы (9) З 1 следует, что при таком отображении сохраняется скалярное произведение.
Интересно отметить, что условие (7) очень сильное. Из него следует, что А . — линейное отображение и, более того, инъективно. Действительно, рассмотрим произвольный вектор х из б'и произвольное число се. Скалярный квадрат вектора А(слх) — оА(х) можно записать в виде (4(счх), А(сех)) — 2о(А(сех), А(х)) + оз (А(х), А(х)).
Учитывая (7), видим, что это равно (сех, слх) — 2о(сех,х) + оз(х,.х), т. е. нулю, Таким образом, А(сех) = о4(х). Аналогично доказывается, что А(з:+ + у) = 4(х) + 4(у) Далее, пусть х Е КегА, т. е. 4(х) = о. Это значит, что (А(х), 4(х)) = = О и, в силу (7), что (х, х) = О. Таким образом, ядро А нулевое и А инъективно. В общем случае А не взаимно однозначно, но если сйга б'= е11п1 ее, то из 61тп6'= П8 А по предложению 6 ~3 гл. У1 следует, что А является изоморфизмом. Мы доказали Предложение 7.
Произвольное отображение евклидова пространства в евклидова пространство той же размерности является изоморфизмом, если оно сохраняет скалярное произведение. 4. Ортогональные преобразования. Преобразование А евклидова пространства д'называется ортогональнылй если оно сохраняет скалярное произведение, т. с. если условие (7) выполнено для любых векторов из б'. Из предложения 7 следует, что ортогональное преобразование является изоморфизмом 4'на себя.
Предложение 8. Если преобразование ортогонально, и только в этом случае, сопряженное ему преобразовиние лвляется обратным к нему. Действительно, по формуле (7) имеем (х, А*А(у)) = (х,у), или (х, А" А(у) — у) = О. Это означает, что вектор 4'А(у) — у ортогонален любому вектору пространства и, следовательно, является нулевым. Зг. Линейные преобраюванип евклидовыз прас ~ракете ззг Поскольку равенство А*А(у) = у выполнено для всех у, преобразование А'А нвляется тождественным, что равносильно доказываемому утверждению. Обратно, из равенства А*А = Е легко получить (7). Предложение 9. Преобразование ортогонально тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе лвллетсл ортогональной. Это прямо следует из формулы (4) и предложения 8. Предложение 10. Для двух ортонормированных базисов е и Г найдется единственное ортогональное преобразование А, для которого 4(е,) = 1, (з = 1, ...,и).
Доказательство. Преобразование, переводящее е в Г, существует и единственна: его знатрица в базисе е состоит из координатных столбцов векторов уы ,1"„ в базисе е. Преобразование явлнется ортогональным, так как его матрица в ортонормированном базисе ортогональная (она же служит матрицей перехода от е к 1). Предложение 11. Собственные значения ортогонального преобразованил по абсолютной величине равны единице. Действительно, длн л|обого собственного вектора х мы имеем (4(х), 4(х)) = Лз(х, х) и (А(х), А(х)) = (х, х).
Отсюда Лз = 1. Предложение 12. Если Фо подпространство, инвариантное относительно ортогонального преобразованил А, то его ортогональное дополнение Г'х также инвариантно относительно А. В самом деле, ортогональное преобразование взаимно однозначно, и потому переводит каждое надпространство в надпространство той же размерности. Так как К' инвариантно, имеем А(ба) = 6"'. Если х Е 6", а у Е 6"~-, то 0 = (хц у) = (А(х), А(у)). Таким образом, А(зу) принадлежит (41е"'))"-. Но из 4(е') = бз' следует 41о')х = 6""-. Поэтому А(у) Е Ф"'-, как и требовалось. Теорема 6.
Пусть А ортогональное преобразование и-мерного евклидова пространства К Тогда сз прям я сумма попарно ортогональных однолгерных и двумерных подпространств, инвариантных относительно А. Для доказательства воспользуемся индукцией. Для пространств размерностей 1 и 2 утверждение очевидно. Предположим, что мы доказали теорему длн пространств размерностей к — 1 и к — 2, и докажем ее для У-мерного пространства.
По следствию из предлозкения 8 з4 гл. 1'1 в Гсуществует или одномерноо, или двумерное инвариантное надпространство Гы Его ортогональное дополнение езь инвариантное надпространство размерности к — 1 или к — 2. К ограничению преобразования А на ~~' мы применим предположение индукции. Подпространства бз,..., К , на которые распадается ею инвариантны относительно А. ойтб'= йтГ~ + айзнер. По предположению индукции г11те"' = ойтуз+ ... + айтолы, Таким образом, для надпространств 4, ....,Г„ 232 Гл. УП. Бвклидовы и унитарные пространства размерность суммы равна сумме размерностей, и, следовательно, сумма прямая. Теорема доказана.
Выберем в каждом из подпространств б'"„..., бт по ортонормированному базису и объединим все эти базисы. Уйы получим ортонормированный базис в з'. Как следует из предложения 2 2 4 гл. У1, матрица преобразования в этом базисе будет клеточно диагональной.
Одномерным инвариантным подпрострапствам будут соответствовать клетки порядка 1, т. е. числа 1 или — 1 на диагонали. Двумерным подпространствам соответствуют клетки порядка 2. Каждая такая клетка матрица ограничения А' преобразования А. Так как базис ортонормирован, она ортогональна и имеет вид (16) 2 1 при некотором о. Из двух матриц (16) 2 1 вторая матрица симметрична. Если А' имеет такую матрицу, то оно не только ортогональное, но и само- сопряженное, и потому имеет собственный вектор.
Как вытекает из предложения 8 2 4 гл. Л'1, двумерные инвариантные подпространства пе содержат собственных векторов, а значит, матрицей А будет первая из матриц (16) матрипа поворота плоскости иа угол о. Такое представление матрицы ортогональнщо преобразования известно как разложение преобразования на плоские вращения, так как каждому двумерному подпространству соответствует поворот, и эти повороты могут осуществляться последовательно. Надо, однако, помнить, что в общем случае имеются собственные подпространства с собственными значениями 1 и — 1. 5. Полярное разложение. Так называется разложение преобразования на множители, введенное в следующей теореме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
