Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 46
Текст из файла (страница 46)
К(ы получим АВо = аоЕ, .4вч — Во — — а1Е, АВг — В1 = агЕ; АВ„1 — В„а — — а„1 Е., — Вн 1=а„Е. Умножим первое из этих равенств на Ао = Е, второе на А, третье на .4г и т. д., последнее на А" и сложим все равенства почленно. Тогда справа мы получим р(.4) результат подстановки А в характеристический многочлен, а слева нулевую матрицу, так как все слагаемые взаимно уничтожатся. Это заканчивает доказательство. С лед от вне.
Каждое линейное преобразование А линейного пространства 2' удовлетворяет своему характеристическолу уравнению р(А) = О. 47. Теорема Жордана 207 2. Корневые подпростраиства. Рассмотрим и-мерное комплексное линейное пространство 2' н его линейное преобразование А. Характеристический многочлен преобразования р(1) раскладывается на множители в общем случае так: р(1) = (-и "(1 — Л,)'(1 — Лз)" ...(1 — Л,)" . Именно ради возможности такого разложения мы предполагаем пространство комплексным.
Если характеристический многочлен линейного преобразования вещественного пространства имеет только вещественные корни, то все следующие ниже результаты справедливы и для такого преобразования. Рассмотрим рациональнун7 функцию 17р(1) и разложим ее на элементарные дроби. Для наших целей разло кению удобно придать вид 1 Л(г) „„Ь(1) р(1) (1 — Л,)ь "' (1 — Л,)»е ' После приведения к общему знаменателю мы получаем тождество 1 = 07(1) + " + Ь (1), где де(1) многочлен, равный произведению 17(1) на многочлен, получаемый из р(1) вычеркиванием множителя (1 — Л;)ем ( ) Л(1)р(1) % (1 Л )ь Подставим в полученное тождество преобразование А вместо й Е= Ц7+...+ ьг,. (3) Преобразования 7',17 = 47(А) обладают тем свойством, что Я(), = О при (4) Действительно, в произведение 47(1)0 (1) входят все множители, содержащиеся в разложении р(1), и при подстанонке преобразования А это произведение превращается в нулевое преобразование.
Умножая (3) на Ц, и используя (4), мы получим для любого 1 = 1, ..., з Ое = О,Я,. (5) Теперь мы можем разложить пространство .х' в прямую су-мму. Действуем обеими частями равенства (3) на произвольный вектор х: х = Я7(х) + ... + Я,(х), (6) или х = х1 + ... + х„где х,, = 1',1;(х) Е Я,( К). Разложение такого вида единственно. Действителыю, допустим, что х = ры -Ь ...
-1- рм где уе Е Е Я,( х') (1 = 1, ...,о), Это значит, что пайдутсн такис векторы хо что у, = Я,(з,). Теперь, действуя на обе части равенства х = ь),(х7) Ь ...-1- Я,(х,) преобразованием ь77, мы получаем Я,(х) = Я;(хе) в силу свойств (4) и (5), т. е. хе = ро как и требовалось. 1'л. е1. Линейные пространства 208 Равенство (6) означает, что 2' сумма надпространств (3,(2е), а единственность разложения равносильна тому, что сумма прямая; .2' = ОГ(.'е') б ... Сд Гг',(.'с'). (7) По предложению 3 84 подпрострапства ьг;( 2') инвариантны.
Они называются корневыми подпространствами. Обозначим их через Х; (1 = 1, ...,з). Гйы доказали Предложение 1. Каково бы ни б ло линейное преобразование А колтлексного просгпранства 2е, это пространство раскладывается в прямую сумму корневых подпространств преобразования А. Ниже мы покажем, как разложить корневое подпространство в прямую сумму инвариантных подпространств, но сначала докажем П редлоек ение 2. Л8; = Кег (А — Л;Е)н для любого 1. Доказательство. В произведение (1 — Ле)жд,11) входят все множители, составляющие характеристический многочлен.
Поэтому из теоремы Гамильтона -Кали следует., что (А — Л,Е)ы Яе = О. Это означает, что для любого х Е У выполнено (А — Л;Е)ж Сг,(х) = о, т, с. ьг,(х) Е Кег(А — Л;Е)~*, Ц;(ес) С Кег(А — Л;Е)Ы. С другой стороны, пусть х Е Кег (А — Л,Е)"*. В каждое преобразование Ц при з' ф1 входит множитель (А — Л,Е)ь*, обращающий х в нуль. Поэтому формула (6) для такого х имеет вид х = Сг,(х). Значит, х Е Я;(.2'), и поэтому Кег(А — Л,Е)" С (>,(.2'). Предложение доказано.
Следствие. Собственное подпросгпранство принадлежит соответствуюи1ему корневому подпространству; Кег(А — Л,Е) С .зо. Действительно, если (А — Л,Е)(х) = о, то и (А — Л,Е)ь*(х) = о. В силу предложения 2 формула (7) может быть написана так: .У = Кег (А — Л| Е) ь' кд ... б~ Кег (А — Л, Е) ь*. (8) 3. Строение корневого надпространства. Рассмотрим одно корневое подпространство,М'е и ограничение преобразования (А— — Л;Е) на нем.
Обозначим это ограничение через В. Индекс 1 для краткости будем пропускать. Предложение 2 означает, что В '* = О. еи Преобразования, некоторая степень которых равна нулевому преобразованию, называются нильпотентными. Итак, рассматривается комплексное линейное пространстно Л8 и его нильпотентное преобразование В.
В (х) = о для любого х, но вполне может случиться, что для каь кого-то х при К ( й будет Вь)х) = о. Число Ь такое, что В (х) = о, но Вь ~(х) ~ о называется высотой вектора х. Векторы высоты 1 составляют ядро В, т. е. собственное подпространство А. Пусть т д 7. Теорема Жордаиа 209 максимальная среди высот всех векторов.
Она называется показагпелем иильпотентности преобразования. Ясно, что т ( й. Подействовав на обе части включения В(А') С М' преобразованием Вь ', мы видим, что В"(дг) С В" '(,Ж) для любого Ь и (о) = В'"(М ) С В" '(,Щ С ... С В(дР) С дР'. Обозначим через Уиь пересечение В" (Л') с собственным подпространством Кег В. Из предыдуших включений следует ( ) .У о|С.~ш — 1С С.Р1 Выберем в КегВ базис следующим образоьк базис в '1'' ' дополним до базиса в ~', полученный базис дополним до базиса л' и т. д. В результате получится базис с", ...,ел в Кег В, обладающий тем свойством, что векторы из любого У' раскладываются только по тем векторам базиса, которые лежат в '~' '.
Пусть базисный вектор ео лежит в М'", но не в '~'" ь'. Тем самым он принадлежит к В (,.Ж'), и существует вектор еь такой, что ео = ь 6 = В (е".). Этот вектор мы назовем Ь-м присоединенным к со. Вообще, вектор е =В (е ) (1=1,...,6) (9) называется 1-м присоединенным к ео. Из формулы (9) видно, что 3' В(е)=В (е )=е Таким образом, по ео определена цепочка векторов ео, ег, ..., е", удовлетворяющая равенствам В(е ) = е., В(е.) = е',, В(е") = е" .
(10) Такие цепочки векторов называются лгордановь4ми цепочками. Самые длинные цепочки начинаются с векторов из М'"' и имеют длину т. Если ео ф 'Ф', то он .. единственный вектор в своей цепочке. Вь+'(е,") = В(ео) = о. Поэтому из (9) следует, что 1-й присоединенный вектор имеет высоту 1+ 1.
Обозначим через е систему векторов, получающуюся объединением всех жордановых цепочек., начинающихся с векторов ео„...,е~л. Предложение 3. Система векторов е является базисолг в,Х; Доказательство. 1'. Линейную независимость системы е нетрудно проверить индукцией по числу векторов в системе. Действительно, если в системе один вектор, то он собственный, и утверждение очевидно.
Пусть любая система из з собственных и присоединенных к ним векторов линейно независима при условии, что входящие в нее собственные векторы линейно независимы. Рассмотрим произвольную систему такого вида, содержащую в+ 1 векторов, и какую- Ы д.н. Беклемишев 210 1л. а1. Линейные пространства нибудь линейную комбинацию векторов этой системы, равную нулю. Покажем, что она тривиальная. Для этого подействуем на нее преобразованием В. В силу формул (10) мы получим равную нулю линейную комбинацию этой же системы, но содержащую меньше векторов, так как все собственные векторы перейдут в нуль.
По предположению индукции все коэффициенты последней линейной комоинации равны нулю. Но это коэффициенты исходной линейной комбинации, стоящие там при присоединенных векторах. Значит, исходная комбинация могла содержать ненулевые коэффициенты только при собственных векторах. Собственные векторы линейно независимы, и потому ни одного ненулевого коэффициента нет. 2'. Докажем, что каждый вектор х из е," можно разложить по системе е. Сделаем это с помощью индукции по высоте яектора х. Высоту 1 имеют собственные векторы.
Они раскладыва1отся по базису во„..., ео, составляющему часть системы е. Пусть утверждение доказано для векторов высоты < Д. Рассмотрим произвольный вектор х высоты 6+ 1. Для него вектор В" (х) собственный и принадлежит В~(М'). Следовательно, В (х) Е .й'~. Пусть сйгп е' ' = р. По построению базиса в КегВ векторы в",,...,ео базис в е'~, и Вь(х) раскладывается по этим векторам. Все они имеют 6-е присоединенные, и потому Вь(х) = ацВл(еь) + ... + олВ (еп). Это означает, что вектор у = х — иге, — ... — оре„ удовлетворяет л л равенству В (у) = о, т. е. имеет высоту < й. По предположению ин- 6 дукции р раскладывается по системе е. Отсюда сразу получается разложение х по этой системе.
Базис е, построенный в предложении 3, называется жврданввым базисом корневого надпространства,Ж; а объединение жордацовых базисов всех корневых надпространств жврдановым базисом в К. Векторы зкордановой цепочки, начинающейся с е", часть жорданова базиса и, значит, линейно независимы. Поэтому они . базис в их линейной оболочке Веч. Такое надпространство М' называется циклическим. Если х Е 'в', то в силу формул (10) В(х) = В(оее + о1е'+ ... +оье",) = оге, + ... + оье. Е ою. Следовательно, оз инвариантно относительно В. Так как  — ограничение преобразования (А — Л,Е) на Я' = М'и то циклическое надпространство инвариантно также и относительно А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
