Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Это значит, что К раскладывается в сумму собственных подпространстн, и каждый вектор х предстаним в виде суммы х = хз + ... + х, собственных векторов, принадлежащих различным собственным значениям Лы ... ..., Л, Рассмотрим многочлен р11) = (1 — Л~)...(1 — Ль) и покажем, что преобразование Я = р(А) = (А — Л~ Е)..ДА — Л„Е) нулевое. Действи- 91. Задача о собспьвенкых век ~орах г89 тельно, согласно (10) (А — ЛьЕ)(х ) = (Л вЂ” Л,)хч и потому Я<аз) = (Лз — Л )..ДЛЗ вЂ” Л,)..ДЛ1 — Л,)х, = Отсюда вытекает, что Я(х) = Я(хь) + ... + Я(х,) = о для любого х. 2'. Обратно, пусть А удовлетворяет уравнению р(А) = О, в кото- ром р(1) = (à — оь)...(1 — сч,). Разложим функцию 1/рог) на элементар- ные дроби: — + ° ° + р11) 1 — о1 1 — о, После приведения к общему знаменателю получим тождество 1 = ч1(1) + " + ч.(г): где ц;ф = ььр1ь)/1ь' — о,) произведение,З, на многочлен, получае- мый из р(г) вычеркиванием множителя 1 — пи Подставим в это тож- дество преобразование А вместо переменной 1: Е = в1 (А) + ...
+ а,(А). Подействуем обеими частями полученного равенства на произволь- ный вектор х. Мы получим х = х1 -Ь ... + х„где х; = б,(А)(х). Вектор х; ф о тогда и только тогда, когда он собственный, а гз, соответствующее собственное значение. Действительно, (А — о,ЕКх,) = Д,р(АКх) = о. Таким образом, произвольный век- тор пространства разложен в сумму собственных векторов. Это равносильно тому, что .х' раскладывается в сумму собственных под- пространств. 9.
Приведение матрицы преобразования к треугольному виду. Теорема 5. В комплексном линвйноль пространстве для каждо- го линейного преобразования сищвствувт базис, в котором льатрица преобразования верхняя треугольная. В вещественном пространстве то же йтвврхгдение справвдлпво, если всв корни характеристического многочлена преобразования ве- щественны, Заметим, что диагональные элементы треугольной матрицы - . корни ее характеристического многочлена.
Поэтому условие во вто- рой части теоремы необходимо. Доказательство. Если в и-мерном пространстве у линей- ного преобразования А существует собственное значение Л, то найдется (и — 1)-мерное инвариантное надпространство .к'„ ь Дейст- вительно, дпп 1ш(А — ЛЕ) = и — гйш Кег(А — ЛЕ) < и — 1. Инвари- антцым будет любое (п — 1)-мерное надпространство .г"кь ы содержа- щее 1гп (А — ЛЕ), так как если х Е .х'кь ы то А(х) можно представить в виде суммы (А(х) — Лх) + Лх, причем А(х) — Лх 6 1ш(А — ЛЕ) С С .,г."в 1 и Лх Е .,г."„1. Поместим в К„ь первые п — 1 базисных векторов.
'!"ак как К„ инвариантно, первые и — 1 элементов последней строки матрицы А преобразования будут равны нулю. Мы можем свободно распоряжать- сн первыми п — 1 базисными векторами, не выводя их из .2'„ь 1л. |Л. Линейные нрастранетаи 190 Применим те же соображения к ограничению преобразования А на 2'н ы Мы получиы х'и з с .2'и| ы и поместив туда первые п — 2 базисных векторов, сделаем равными нулю элементы (и — 1)-й строки, лев|вшие ниже диагонали. Продолжая далее те же рассуждения, мы получим цепочку иннариантных подпространств Жс...с 2'н зс 2и ы (11) пРичем е| 6 2е|, е|,ез Е ех'з, ..., е|, ...,е„| 6 2|и ы МатРиЦа пРеобразования в таком базисе будет треугольной.
В комплексном пространстве на каждом этапе существование собственного значения сомнений не вызывает. В вещественном пространстве мы предполагаем, что все корни характеристического многочлена вещественны. | Докажем, что в этом случае ограничение А преобразования А на каком-либо инвариантноы подпространстве .хн имеет только вещественные корни характеристического многочлена. Допустим, что у А существует пара комплексно сопряженных корней Л и Л, и обозначим р = — (Л+ Л) и о = ЛЛ. Согласно предложению 8 найдется ненулевой вектор х 6 2е', такой, что (А' + рА'+ оЕ')х = о. Так как А'(х) = А(х), мы имеем (А + рА+ лЕ)х = о. Это означает, что матрица В преобразования Аз + рА + дЕ вырождсна. Но В = Аз + рА + + г?Е = (4 — ЛЕ) (4 — ЛЕ). Поэтому из |1е1 В = О следует беСА — ЛЕ) = = О, что противоречит условию теоремы.
Таким образоы, и в вещественном пространстве при наших предположенинх на каждом этапе построения базиса существование собственного значения гарантировано. Упражнения 1. Докажите, что каждое надпространство, лежащее в КекА, и каждое надпространство, содержащее 1п|А, инвариантно относительно А. 2. Докажите, что сумма и пересечение инварнантцых надпространств инвариантны. 3.
Докажите, что размерность падпространства зе, определенного в иредложенни 6, -- четное число. 4. Пусть А: .,2е — | К. Докажите, что К = Кег А |З 1щА тогда и только тогда, когда КегА" = КегА. 5. Пусть .2? = Кег А |й 1п|А. Какой вид имеет матрица преобразовавия А в базисе е, если е|, ..., е,. 6 1|и А, а е,-|, ..., е„я КегА? 6. Пусть х и у - столбцы высоты и. Докажите, что Дее(Е-~-ху~) = =1-|-х у. 7. Найдите собственные значения и собственные надпространства преобразования, заданного матрицей 3 — 2 6 — 2 6 3 6 3 — 2 95. Линейные функции 191 8.
Каждой квадратной матрице порядка п сопоставляется ее транспонированная матрица, Этим определено преобразование Т пространства матриц. Найдите его собственные векторы и собственные подпространства. Докажите из зтих соображений, что каждан матрица однозначно представляется как сумма симметричной (А~ = А) и кососимметричной (А~ = — А). 9.
Пусть А и В квадратные матрицы одного порядка и де1.4 ф О. Докажите, что характеристические многочлены матриц АВ и ВА совпадают. 10. Пусть А диагонализуемо. Докажите, что ограничение А на любом инвариантном подпростраистве такнае лиагоаализуемо. 11. В исходном базисе преобразование А задано матрицей 1 — 2 — 2 ,4= 4 7 6 -1 — 1 1 Найдите какой-либо базис, в котором его матрица А' верхняя треугольная и напишите ету матрицу. 2 5. Линейные функции 1. Определение функции. Мы будем рассматривать линейное пространство .У, вещественное или комплексное. Слово "число', употребленное без уточнения, означает комплексное число для комплексного пространства и вещественное число для вещестненного.
Определение. Будем говорить, что на линейном пространстве 2' задана функция $ от одного вектора, если каждому вектору х Е .2' сопоставлено число 1(х), а также, что задана функция я от двух векторов, если каждой упорядоченной паре векторов х, у из х сопоставлено число 8(х,у). Функции на бесконечномерных пространствах, элементы которых сами являются функциями, называют функционалами. Пусть пространство 2' имеет размерность и.
При выбранном базисе каждому вектору х нз .х сопоставлены и, его компонент 41, ...,4". Напомним, что в математическом анализе функцией от и, переменных называют закон, который ставит в соответствие некоторое число каждому упорядоченному набору из п чисел 41,...,дн, входящему в определенную совокупность таких наборов. Таким образом, при выбранном базисе функция $ на линейном пространстве 2' задается функцией от п переменных, определенной на множестве всевозможных наборов 41, ...,4". Если базис изменится, тому ке вектору х будут соответствовать новые компоненты, и, следовательно, прежняя функция 1 будет задана новой функцией от и переменных. 2.
Линейные функции. Введем Определение. Функция 1 на линейном пространстве .У называется линейной, если для любых х и у из ~ и любого числа о выполнены равенства 1(х+ у) =1(х) +1(у), 1(ах) = о1(х). % 192 1л. У1. Линейные пространства Читатель может заметить, что линейная функции на пространстве 2' не является новым для него объектом. Это в точности то же самое, что линейное отображение 2' в одномерное арифметическое пространство. П р и м е р 1. Функция, сопоставляюьцая каждому вектору число О, линейная.
Функция, сопоставляющая всем векторам одно и то же число, отличное от пуля, пе линейная, так как для каждой линейной функции Е(о) = О. Пример 2. Рассмотрим геометрическое пространство векторов направленных отрезков. Выберем в нем некоторый фиксированный вектор а. Каждому вектору х можно сопоставить число ~ = (а, х). Ясно, что равенства (1) выполнены, и мы имеем линейную функцию. П р и мер 3.
Пусть в п-мерном пространстве У выбран базис е. Сопоставим каждому вектору х его Е-ю компоненту в базисе е. Очевидно, что это соответствие †. линейная функция на .У. Мы обозначим ее р'. Так может быть построено п функций р~,...,рп. Нонечно, они зависят от того, какой базис в 2' был выбран. При мер 4. Рассмотрим пространство бфункций, определенных и непрерывных на отрезке [О, 1) (пример 1 21). Пусть о фиксированная функция из К Тогда каждой функции и из е'моьано сопоставить число 1 С = ~и(Е)и(1) Ж. о Нетрудно проверить, что это соответствие --. линейный функционал. Еще один линейный функционал на том жс пространстве ор мы получим, если сопоставим каждой функции и ее значение в нуле и(О).
Рассмотрим и-мерное линейное пространство х' и выберем в нем базис еы ..., е„. Значение линейной функции Е на векторе х может быть выражено через координаты этого вектора ц', ..., ~": Е(г) = Я'е~ + ... + с "еп) = с~Е(еч) + ... + с "Е(еп). Числа Е(сч), ...,Е(е„) не зависят от вектора х, а определяются только функцией Е и базисом. Мы доказали следующее Предложение 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
