Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Определение. Сумма надпространств У',..., 2'н называется прямой суммой, если ее размерность равна сумме размерностей этих надпространств, т. е. имеет максимальное из возможных значений. Если надо подчеркнуть в обозначении, что сумма прямая, то используют знак й. Прибавление нулевого подпространства не меняет ни размерность суммы, ни сумму размерностей. Но ниже мы будем считать надпространства ненулевыми, чтобы избежать оговорок, вызванных несуществованием базиса в нулевом нодпространстве. Предложение 5.
Для того чтобы сумма 2" надпространств .2', ..., х' была прямой суммой, нвобхадилю и достаточно выполнение любого из следующих четырех свойств: а) любая система из т < в ненулевых векторов, принадлежащих различным подлрастранствам хн (1 = 1, ..., з), линейно независил~а; б) каждый вектор х Е х" однозначно раскладывается в сумму хг + ... + х„где х, е .'гн (з = 1, ..., в); в) пересечение каждого из надпространств 2н с су май остальных есть нулевое надпространство; 9 е. Линейные подпространсо~ва г) объединение базисов подпространста хн 11 = 1, ..., ь) есть базис о 2'. Доказательство. Мы докажем, что из определения прямой суммы следует свойство а), и каждое из свойств б), в) и г) следует из предыдущего. Поскольку из свойства г) непосредственно следует определение прнмой суммы, это будет означать равносильность каждого из свойств определению.
1. Докажем от противного, что из определенин следует свойство а). Допустим, что нашлась линейно зависимая система ненулевых векторов х„, ..., х,;„, таких, что никакие два из них не лежат в одном и том же подпространстве 2' . Дополним каждый из этих векторов до базиса в его подпространстве, а в тех подпространствах, из которых в системе векторов нет, выберем базис произвольно. Объединение этих базисов система из й = г1пп К -Ь ... + гПш У' векторов. Каждый вектор из .2' раскладывается по этой системе, но система эта линейно зависима (так как она содержит линейно зависимую подсистему).
Поэтому базис в .х" содержит меньше, чем й векторов, и размерность суммы меньше суммы размерностей. 2. Докажем, что из свойства а) следует свойство б). Допустим, что б) не выполнено и некоторый вектор х представлен как сумма х = =хл + ... + тз и как суммах =дг+ ... + д„где х„д, Е.хн (1=1,...,з). Тогда (хг — дг) + ... -ь (х, — д,) = о. Если хоть одна из разностей отлична от нуля, мы получаем противоречие со свойством а).
3. Докажем теперь также от противного, что из свойства б) следует в). Не уменьшая общности, мы можем допустить, что .2' игиеет 1 9 ненулевое пересечение с суммой .У + ... + х'. В этом случае существует ненулевой вектор = хг Е 2', представимый в виде суммы ха + ... + х,. Но равенство хл = ха + ... + х, означает, что е двумя способами представлен как сумма векторов, выбранных по одному из каждого Ъп'. 4.
Докажем, наконец, что из свойства в) следует г). Рассмотрим систему векторов, получаемую объединением базисов надпространств .2п (з', = 1.....,з). Каждый вектор из суммы У" обязательно раскладывается по этой системе, и нам остается доказать, что при условии в) эта система линейно независима. Сделаем это от противного.
Допустим, что существует равная нулю нетривиальная линейная комбинация всех векторов, входящих в рассматриваемые базисы надпространств,х" (1 = 1, ...,з). Сгруппируем слагаемые в этой линейной комбинации так, чтобы объединить все слагаемые, относящиеся к одному надпространству, у1ы получим равенство вида хл + ... + х, = о, где хотя бы один вектор отличен от нулн. Не уменьшая общности, можно считать,. что это хл.
Тогда хл —— — ха — ... — х,. Это значит, что ненулевой вектор х~ е 2' принадлезкит также сумме .У~ + ... +.У'. Получено противоречие со 1л. Ий Линейные пространства 170 свойством в). Это заканчивает доказательство всего предложения. Отметим как частный случай свойства в), что сумма двух подпросспранств прямая, если их пересечение. нулевое. Легко видеть, что при сложении надпространств можно произвольно расставлять и убирать скобки.
Это относится и к прямой сумме Например ~ 2»~ СЭ Кз),В ( 2»з 19 с л) О»~ св 2»з Ср Кз сй Ус Если х» С х»', то 2" + х".»' = х»'. В частности, для лсобого надпространства,К' + х» = х". Предло кение 6. Для любого подпространства К' пространства 2' найдется такое надпространство х:е, что ьл = х» 00 х о. Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем базис ес, ..., еь надпространства .х» и дополним его до базиса пространства х векторами еьлс, ..., е„, Линейную оболочку ес 1, ..., е„обозначим через х"е. Из предложения 5 видно, что .Н' = л» 61 л'о.
Теорема 1. Размерность суммы двух подпространств равна сумме их размерностей минус размерность их пересечения. Если сумма пряман, утверждение справедливо; размерность равна сумме размерностей, а пересечение нулевое. Пусть теперь К и У' .— надпространства с ненулевым пересечез нием. Согласно предложению 6 найдется такое надпространство .,Ф; что х' = .Ф'СВ (.хе~ П хе ). Тогда х'~ + 2.'~ = хе~ + ( х ~ О 2»з) + .
4'. Отсюда видно, что 2»~ + лез = х'~ +.4', так как С'л'~ Г1 'г'з) С .'г'~. Докажем, что 2' + 4' прямая сумма. Для этого рассмотрим 1 произвольный вектор л Н 'хе~ 11.лч' Из Н лч'С.х'з следует г Н.х'~ О Г1.2', а следовательно, г Н (.х' П 2' ) О .лу, Отсюда г = о, и пересечение У' Г1,,»У нулевое. По определению пряьлой суьлмы с)11п( К' +,К') = с1пп 2' + с)11п.зз'. Кроме того, с)1ш.2'~ = с)сш( Н'~ О 2»з) + с1шс ..Ф. Вычитая эти равенства почленно, приходим к требуемому заключению.
Упражнения 1. В линейном пространстве 27 задавы векторы аы аз и аз с координатными столбцами 9 10 11 12 в базисе ес, е, ез, еь Найдите базис их линейной оболочки .л'. 2. Найдите систему уравнений, задающую надпространство л' из упр. 1. 3. Найдите какое-нибудь нодцростравство .ес", которое вместе с нодпространством ье из упр. 1 удовлетворяет условию л' = .л сб,.й' . 4. Поднространство 2» определено в упр.
1, надпространство Н натянуто на векторы Ьс и Ь с координатами 1,1,1,2 и 2,2,2,гд Найдите: а) базис в 2" ж .К"; б) базис в У" 11 л»'. рЗ. Линейные отображения 171 5. В четырехмерном пространстве заданы: а) четыре подпростраяства; б) пять надпространств; н) пять ненулевых подпростраясти. Может ли их сумма быть прямой? й 3. Линейные отображения 1. Определение. Пусть К и У -- два линейных пространства, оба вещественные или оба комплексные. Под отображением А простраиства У в пространство У понимается закон, по которому каждому вектору из еле сопоставлси единственный вектор из К. Мы будем писать А: К -л 2е.
Образ вектора х обозначается А(х). Определение. Отображение А; 2е — е К называется линейным, если для любых векторов л и р из К и любого числа о выполнены равенства А(к+ у) = А(х) + А(д), А(о с) = оА(х). (1) Следует подчеркнуть, что знак + в левой и правой частях первой из формул (1) обозначает две, вообще говоря, различные операции: сложение в пространстве К и сложсиие в пространстве .У. Аиалогичиое замечание относится и ко второй формуле. Линейное отображение мы будем называть яинейныл1 преобразованием, если пространства .У и У совпадают.
Пример 1. Пусть Л фиксированное число. Сопоставим канедому вектору л простраиства,У вектор Лщ. Легко видеть, что зто "- линейное преобразование. П р и м е р 2. При аффиииом преобразовании плоскости двумерное пространство векторов, иа ией лежащих, отображается само иа себя. В силу формул (11) ~ 2 гл. 1Ъ' --- зто линейное преобразование. П р и м е р 3. Выберем в п-меркам линейном пространстве К какой- нибудь базис. Это сопоставит каждому вектору его координатный столбец и тем определит линейное отображение пространства К в п-мерное арифметическое пространство (пространство столбцов).
Пусть 2е ". вещественное пространство. Сопоставляя каждому вектору его первую компоненту в выбраяиом базисе, мы получаем ли- ИЕйИОЕ ОтабраянЕИИЕ .2е В ЛИНЕИНОЕ ПрОСтраНСтВО ВЕщЕСтВЕННЫХ чисел. Пример 4. Пусть С [ — 1,1] и Со[0,2] пространства функций, непрерывных соответственно па отрезках [-1,1] и [0,2]. Сопоставим функции 7"(1) из первого пространства функцию со(е) = 7"(е — 1) из второго. Это отображение, очевидно, является линейным. Пример преобразоваиия можно получить, если сопоставить функции из С [ — 1, 1] се первообразцую Г(1), удовлетворяющую условию Е(0) = О. Пример 5. Рассмотрим и-мериое арифметическое простраиство ое" и прямоугольиую матрицу А размеров ьч х и,.
Сопоставим 172 1л. е1. Линейные пространства столбцу ~ Е з1'" столбец А(. Он иьиеет высоту гн. Таким образом, определено отображение Фн в йг""'. В силу свойств умнозкения матриц это отображение линейное. Пример 6. Отображение, сопоставляюшее каждому вектору из У нулевой вектор из ед', является линейным. Оно называется нулевьм отображением. В дальнейшем в этом параграфе и и т будут обозначать размерности пространства .2' и,У соответственно.
Из определения немедленно вытекает, что при линейном отображении линейная комбинация векторов переходит в таку1о же линейную комбинацию их образов. Нулевой вектор переходит в нулевой, поскольку А1о) = А(Ох) = = ОА1л) = о. 10братим внимание, что нулевые векторы пространств 2' и У' мы обозначаем одинаково.) Из сказанного следует, что при линейном отображении линейно зависимые векторы отображаются в линейно зависимые. Как показывает пример 6, обратное вовсе не обязательно верно. Предлозкение 1. При линейном отображении А: 2' — ь 2' линейное надпространство К' С 2' переходит в линейное надпространство А1.ел") С У, причем г11ш А1.з ) ( с1пп ел". Для нулевого подпространства утверждение очевидно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
