Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В самом деле, если а ~ О, то, умножая равенство ах = о на а ', получаем 1х = о. В сказанном здесь читатель заметит мало нового; таковы же свойства операций с векторами и с матрицами. Теперь мы видим, что все это верно и в произвольном линейном пространстве. Выражение вида а!х1+ ... + аьхы как и в предыдуших главах, мы будем называть линейной комбинацией векторов хы ..., хь с коэффициентами а!, ..., аь. 3. Линейная зависимость. По аналогии с соответствук>щими определениями для векторов и для матриц мы можем дать определения линейно зависимой и линейно независимой системы векторов в линейном пространстве. Напомним, что линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю.
Определение. Система векторов в линейном пространстве.К называется линейно незовисилсой, если нулевой вектор раскладывается единственным образом по этой системе векторов. Иными словами, векторы линейно независимы, если из равенства нулю их линейной 1л. УЕ Линейные пространства гбб комбинации следует, что она тривиальная. Наоборот, если существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору, то система векторов называется линейно зависимой. В б 1 гл.
1 и б 1 гл. У мы получили свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов (направленных отрезков) и матриц. При их доказательстве использовались только те свойства линейных операций, которые совпадают с аксиомами линейного пространства. Поэтому для систем векторов в любом линейном пространстве имеют место те же свойства. Приведем только формулировки, так как доказательства не отличаются от доказательств соответству1ощих предложений б 1 гл. У. Предложение 1.
Система из й ) 1 векторов линейно зависилга тогда и гполько тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных. Предложение 2. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то система линейно зависима. Предложение 3. Если некоторые из векторов а1,...,аь составляют валга по себе линейно зависил<ую систему, то вся система а1, ..., аь линейно зависима. Предложение 4. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему векторов, сами по себе линейно квзавис мы. Предложение 5.
Если вектор раскладывается по линейно независилюй системе векторов, то коэффициенты разлозкения определекь1 однозначно. 4. Базис. Введем Определение. Базисом в линейном пространстве .2' э1ы назовем упорядоченную конечную систему векторов, если; а) она линейно независима; б) каждый вектор из К раскладывается в линейную комбинацию векторов этой системы.
В определении сказано, что базис упорядоченная система векторов. Это означает, что из одного и того же множества векторов можно составить разные базисы, по-разному нумеруя векторы. 11оэффициепты линейной комбинации, о которой идет речь в определении базиса, называются компонентами или координатами вектора в данном базисе. Векторы базиса е1, ..., е„мы будем записывать в виде строки: е = = ~~ СЧ ... С„'б, а КОМПОНЕНТЫ ~1, ..., ~о ВЕКтОра Х В баЗИСЕ Е ".
В СтОЛбЕц: который назовем координатным столбцом вектора. Теперь разложение вектора по базису мткно записать в любом й!. Основные понятия из следующих видов: х=~~ ~'е,=йе|...е„й Из предложения 5 непосредственно следует, что компоненты вектора в данном базисе определены однозначно. Предложение 6.
Координатный столбец сул|мы векторов равен сумме их координатных столбцов. Координатный столбец произведения вектора на число равен произведению координатного столбца данного вектора на это число. Для доказательства достаточно выписать следующие равенства: х+ у = ец + ез1 = е1( + |1)., ох = ое( = е(ац), где ~ и |1 †. координатные столбцы векторов х и и. Здесь использованы свойства умножения матриц — предложения 3 и 4 ч 2 гл. М. Из предложения 6 видно, что координатный столбец линейной комбинации векторов есть линейная комбинация их координатных столбцов с теми же коэффициентами.
Отсюда следует Предложение 7. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы. Предложение 8. Если в линейном пространстве существует базис из и векторов, то любая система из т > и векторов линейно зависима. Доказательстно. Предположик|, что в пространстве существует базис е|, ...,е„, и рассмотрим систему векторов 71, ...,7е„причем |п > и. КажДьпл из вектоРов 71, ...,7е, ьлы Разложиьл по базисУ и составим матрицу из их координатных столбцов. Это матрида размеров п х т, и ранг ее не превосходит и. Поэтому столбцы матрицы линейно зависимы, а значит, линейно зависимы и вектоРы Р1, ..., 7ж. Отсюда прямо вытекает Теорема 1.
Если в линейнол пространстве есть базис из и векторов, то и любой другой базис состоит из и векторов. Действительно, число векторов в одном базисе не может быть больше, чем в друтом. Теперь мы к|ожем ввести следующее Определение. Линейное пространство, в котором существует базис из и векторов., называетсн п-мерным, а число п, -- разл|ерностею пространства.
Размерность пространства еее обозначается дпп.х". В нулевом пространстве нет базиса, так как система из одного нулевого вектора линейно зависима. Размерность нулевого пространства по определению считаем равной нулю. Может случиться, что каково бы ни было натуральное число т, н пространстве найдется т линейно независил|ых векторов. Такое 11 Д.В.
Бекземн|нее гб2 Гл. гЛ. Линейные пространства пространство называется бесконвчномерным. Базиса в нем не существует: если бы был базис из и векторов, то любая система из и+1 векторов была бы линейно зависимой по предложению 8. П р и м е р 6. Множество всех векторов плоскости является двумерным линейным пространством, а множество всех векторов пространства, изучаемого в элементарной геометрии, - трехмерное линейное пространство.
Пример 7, !инейное пространство столбцов высоты и имеет размерность и. Действительно, предложение 2 2 1 гл. 1г по существу означает, что столбцы единичной матрицы порядка и образуют базис в этом пространстве, называемый стандартным базисом. Линейное пространство столбцов высоты и называют арифметическим и-мерным пространстволг.
Пример 8. Линейное пространство функций от одной переменной 1, определенных и непрерывных на отрезке [О, 1]г является бесконечноы|ерным. Чтобы это проверить, достаточно доказать, что при любом т в нем существует линейно независимая система из т векторов. Зададимся произвольным числом т. Векторы нашего пространства функции ! = 1,1,1, ...,1 ' г линейно независимы. Действительно, равенство нулю линейной комбинации этих векторов означает, что многочлен ос + ог1+ сгз! + ... + от — г! тождественно равен нулю. А это возможно только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю. В линейной алгебре изучаются конечномерные линейные пространства. Далее всюду, за исключением некоторых примеров, мы будем предполагать пространство конечномерным.
В ненулевом конечномерном пространстве существует бесконечно много различных базисов. Это видно из следующих предложений. Предложение 9. В и-лгврном пространстве каждая уиорядоченнал линейно независимая система из и векторов есть базис. Доказательство. Пусть хг, ...,х„-- такая система. Нам надо доказать, что произвольный вектор у раскладывается по ней. По предложению 8 система у, хг, ..., ха линейно зависима, и найдутся такие коэффициенты, что ыу + пгхг + ... + гто;сп = о, причем о ~ О, так как иначе система хг,, х„была бы линейно зависима.
Отсюда прямо следует доказываемое утверждение. Предложение 10. В гг;мерном пространстве каждую упорлдоченную линейно независимую систему из й < и векторов можно дополнить до базиса. Это вытекает из того, что к такой системе можно присоединить еще один вектор, который по ней не раскладывается. [Если бы это было не так, система сама была бы базисом.) После присоединения мы имеем такую же систему из й + 1 векторов и, если !с + 1 < по повторя- уй Осноенме понятия гез ем рассуждение. В конце концов мы получим п, линейно независимых векторов, в число которых входят заданные векторы.
В частности, до базиса можно дополнить любой ненулевой вектор. б. Замена базиса. Если в и-мерном пространстве даны два базиса еы ..., е„и е'„..., е'„„то мы можем разложить каждый вектор второго базиса по первому базису: е',. = ~ ~азе (г =1,...,п). (1) з=| Компоненты о,' можно записать в виде квадратной матрицы 3 о, ... о„ „2 з 1 " н о" ... о." и Столбцы этой матрицы координатные столбцы векторов е1, ...,е'„, в базисе е. Поэтому столбцы линейно независимы, и с1еС 5 ф О. Определение.
Матрицу, ~-й столбец которой есть координатный столбец вектора е,' в базисе е, мы назонем матрицей перехода от базиса е к базису е'. Равенство (1) можно переписать в матричных обозначениях (( е ... е„)( = () е1 ... е„я 5, или е =е5. (2) Это легко проверить, перемножая матрицы. Из формулы (2) мы получаем е = е'5 ', откуда следует, что 5 ' --- матрица перехода от е' к е. Пусть в линейном пространстнс даны три базиса е, е' и е", причем е' = е5 и ен = е'Т. Подставляя е',мы получаем е = е5Т. (3) Итак, при последовательной замене базисов матрицы перехода перемножаются, и последующие множители располагаются правее.
Предложение 11. Пусть задан базис е. Каждая матрица 5 с дет 5 ~ О есть матрица перехода от е к некоторому базису е'. Действительно, при с1еь 5 ~ О столбцы 5 линейно независимы и являются координатными столбцами и линейно независимых векторов, которые и составляют базис е'. Выясним, как связаны компоненты одного и того же вектора х в двух разных базисах е и е'. Пусть х = е( и х = е'('.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
