Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Тогда Зз(.4) = ( — 1)заб(( — 1)1д1з 4- ( — 1)'д11). (7) Дополнительные подматрицы Р,. и Р1 состоят из одинаковых элементов, но отличаются порядком строк: в каждой из них оста- 142 Гл. Г Матрицы и системы линейных уравнений лась одна из двух одинаковых строк, но в 01 она стоит на 4-м месте, а в Т)и .- на (1 — 1)-м. Переставим в матрице О,, строку с номером 1 — 1 на 1-е место, не нарушая взаимное расположение остальных строк. Для этого ьленяеьл ее последовательно местами с (1 — 2)-й, ()в — 3)-й, ..., 1-й строками. Потребуетсн (). — 2) — (1 — 1) = 1 — 1 — 1 перестановок.
Отсюда следует, что д, = ( — 1)' ' 'дс). Подставив это в равенство (7), мы увидим, что ))(А) = О. 3. Рассмотрим )1(Е), где Е единичная матрица порядка п. В этом случае в сумме (6) только одно ненулевое слагаемое ))(Е) = ( — 1)'х)с))х. Но 11)л единичная матрица порядка и — 1, и ее детерминант равен 1. Отсюда ) (Е) = 1, как и требовалось. Теорема доказана.
В силу теоремы 1 функции )1 при всех 1 совпадают, и мы можем написать: с1е)А = ~ау ( — 1) +)аь . (8) Ь.=1 Правая часть этой формулы линейный мпогочлен от элементов хьго столбца, следовательно, имеет место Предложение 7. Детерминант обладает свойством линейности по столбцам. 4. Свойства детерминаитов. Используя формулу (8) разложения детерминанта по столбцу, мы можем найти коэффициенты в формуле (1). П редл ож ение 8. Каков бы ни был нолсер строки 1', детерминант матрицы А порядка п вычисляется по формуле и с1еСА = 2 ао( — 1)ье)с)с„ (О) 1=-1 где с)с) -- дополнительный минор элемента а; . Доказательство.
Для того чтобы найти коэффициент Ь) при а,, в формуле (1), сгруппируем все члены в этой формуле, кроме интересующего пас, и обозначим их сумму через у. Тогда с1есА = )с а,. + у. Аналогично мы можем преобразонать разложение по 1-му столбцу: 11еСА = аи( — 1)схлс)с, + г. По определению Ьх не зависит от элементов 1-й строки, а у содержит все ее элементы кроме а, Точно так же, при всех )с в дополнительную подматрицу Т)ь пе входит 4-й столбец, и, следовательно, с)ь) не зависит от а, .
В частности, йо не зависит от аы. Отсюда же видно, что и г не зависит от этого элемента. Заметив это, обозначим через Ао матрицу, которая получена из матРицы А заменой элемента аб на О, и Увидим, что бес Ас = У и зл. Детерминанты с 43 с1е1.4о = г. Учтем это при вычислении детерминанта матрицы Аы отличаюгдейся от А заменой элемента а„. на 1: с1е1 Ас = Ьб + г = ( — 1)'ь'с)о + г. Отсюда получается нужное значение для Ьз. Предложение 9. Для любой квадратной матрицы с1е1 А = с1ес А Для доказательства определим функцию от матрицы А равенством 7" (А) = с1ег Ат. По предложению 7 эта функция линейна по столбцам А, т, е, по строкам А.
Если матрица .4 выролсдеца, то вырождена н Ат (согласно следствию из предложения 9 з 2), и потому 7"(А) =с1сьАт =О. Наконец, Ет =Б, а значит, г"(Я) = сЫБз = с1еЬБ = = 1. Таким образом, з удовлетворяет всем условиям в определении детерминанта, что и заканчивает доказательство. Из предложения 9 следует ранноправность строк н столбцов. Именно, если справедливо какое-либо утверждение о детерминантах, касающееся строк матриц, то верно и аналогичное утверждение, касающееся столбцов, и обратно. Поэтому известные нам свойства детерминантов можно переформулировать для столбцов.
Предложение 10. Столбцы матрицы линейно зависилсы, тогда и только тогда, когда матрица вырождвна и детерминант ее равен нулю. Если переставить два столбца матрицы, то ве двтерлсинант умножится на ( — 1). Если в матрице к одному из столбцов прибавить другой, умноженный на число, то детерминант ве не изменится. Предложение 11.
Для любых двух квадратных матриц одного порядка с1ес АВ = с1еь .4 с1ес В. Доказательство. Пусть матрица А невыроькдена. Разложим ее в произведение элементарных матриц. Тогда АВ = $,...$нВ. Последовательно применяя формулу (4), получим с1еь АВ = дех $с .,с1ес$н с1еь В. Теперь из формулы (5) следует нужное утверждение. Если же матрица А порядка и вырождена, то Вб А < и.
Из предложения 4 ~ 3 тогда следует К9АВ < и. Значит, произведение АВ также вырождено и с1есАВ равен нулю так же, как и Йех А Йес В. б. Формула полного разложения. Здесь мы получим формулу полного разложения детерминанта порядка и, представляющую его как многочлен от элементов матрицы. Введем предварительно некоторые определения. Мы будем называть перестановкой чисел 1, ..., и эти числа, написанные в каком-либо йь Г Матрицы и системы линвйнън уравнений 144 определенном порядке. Например, из чисел 1 и 2 образуются две перестановки: 1, 2 и 2, 1. Перестановку чисел 1, ..., и обозначим 11, ...,1и.
Число 11 виновно в нарушении порядка в перестановке 11, ...,1„, если оно стоит левее меньшого числа: й ( в, но 11 ) 1,. Например, при п, = 4 в перестановке 2, 4, 3, 1 числа 2 и 3 виновны каждое в одном нарушении порядка, а число 4 " в дву.х. Итак, общее число нарушений порядка в перестановке равно четырем. Число всех нарушений порядка в перестановке 11, ...,1„мы обозначим Х(11, ...,1„). Перестановка называется четной, если 1ч'(гы ...,1и) - четное число, и нечетной в противном случае.
Докажем формулу полного разложения: аы ... а1„ ( — 1) ' "'" '" а1пази...аы„. (10) а„1 ... авв Сумма в правой части равенства берется по перестановкам. Это означает, что каждой перестановке чисел 1, ..., и соответствует слагаемое. Слагаемое длн перестановки 11, ...,1„, составляют так: берут из 1-й строки 11-й элемент, из 2-й строки -- 4з-й элемент и т. д. и перемножают их. В результате в произведение входит по одному и только по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Произведения складываются со знаками, определяемыми четностями соответствующих перестановок. Формулу (10) мы докажем по индукции. Пусть при п = 2 дана матрица а11 аж аз1 азз Двухи перестановкам 1, 2 и 2, 1 отвечают, соответственно, слагаемые ( — 1)~0 з1а11азз и ( — 1)н~з На1заи1.
Их сУмма Равна аыазз— — агзасы т. е. как раз детерминанту данной матрицы. Допустим, что формула верна для матриц порядка и — 1, и докажен1 ее для произвольной матрицы А порядка и. Напишеь| разложение Пес А по первой строке: 11е1А = ~( — 1) "1а1ьд11. 111) 1=1 В й-е слагаемое этого разложения входит множитель д1ы равный детерминанту подматрицы Р1ь. Порндок этой матрицы п — 1, и по предположению индукции д11 = 11етРеь = ~ 1 — 1) "' " ь"-Наз„аз ...ав., нйо,ь„й (ч,",1 — ~ ) Здесь все номера 11, ...,ги 1 отличны от й, а первые индексы у сомножителей равны 2, ..., и, так как, сохранял старые обозначения длн элементов матрицы .4, мы должны учесть, что в Р,1. не входят первая строка и я-й столбец. 24. Детерминанты 145 Теггерь в й-м слагаемом формулы (11) можно внести множитель ( — 1)ьт'ага под знак суммы и записать это слагаемое так: ( 1) а гг — Х~' ( 1) асйагг агг ".ащ Числа й, гс, ..., с„г образуют перестановку чисел 1, ..., и, причем гу'(й,гч, ...,ги г) = Х(гС, ...,ги С) + й — 1г так как правее й стоит ровно й — 1 чисел, меньших й.
Следовательно, Х(йггм ..., г'„с) имеет ту же четность, что и Х(гс, ...гг„с) + й+ 1, и мы имеем ( — 1) ' агьагсь = ~ ( — 1) гьз""'и ггаслагг,азгг...а„г„ ггг,,г,. гг В правой части втого выражения собраны все те члены из суммы (10), которые соответствуют перестановкам, имеющим й на первом лгесте. В сумму (11) входят слагаемые для любого й, и потому сумма (11) содержит все члены суммы (10) и, конечно, не содержит никаких других членов.
Этим формула полного разложения доказана. Упражнения 1. Пусть А квадратная матрица порядка и. Выразите бесо.4 через бес А. 2. Пусть А квадратная матрица порядка 2и+ 1, и Ат = — А. Докажите, что гсеС А = О. 3. Докажите, что детерлгинант аюбой треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. 4. Вычислите 1 О 8 1 1 4 О 3 2 О 9 3 1 5 4 1 б. Матрица А порядка и содержит нулевую подматрицу размеров ги х й, причем т+ й > и.
Докалгите, что йес А = О. 6. Пусть матрица Р порядка и разделена на 4 подматрицы так: О+С Здесь А и С - квадратные матрицы порядков й и и — й, а О нулевая матрица размеров (и — й) х й. Докажите, что бес Р = йсс, А с1ес С. 7. К каждому элементу матрицы А прибавлено одно н то же число С. Пусть получившаяся матрица А(С). а) Докажи~с, что <1еС А(С) = йС+ 6, где й и 5 пе зависят от С. б) Найдите й и Ь. 8. Вычислите детермиаант порядка и: 2 1 1 — 1 2 1 — 1 — 1 ...
2 1 — 1 — 1 ... — 1 2 10 Д.В. Беклелгкшее 1л. 11. Матрицы и системы линейных уравнений 9. Даа квадратных многочлеаа ах- + Ьт, + с н охи + дх + т, имеют общий корень. Дока1кнте, что а Ь О а о О а с О с О д 10. Сколько нарушений порядка в перестановке (5, 4, 3, 2, 1)2 О 5. Системы линейных уравнений (основной случай) 1. Постановка задачи. Систему ураннений вида а1х' -Ь а1хл -1- ... + а'„хи = Ь1 1' 2 "' и 1122.1 + а222 + + а2хи Ь2 1 2 атт1 + атХ + + а паи Ьп1 2 мы будем называть системой т линейных уравнений с и нвилввсгпными х1, ..., хи. Коэффициенты этих уравнений мы будем записывать в виде матрицы 1 1 1 а1 ал,..
аи ат ат ат 1 2 '" и а1 а1 ... а1 Ь1 1 2 "' и . т ат аи1 Ьи1 1 2 "' и Коли свободные члены всех уравнений равны нулю, то система называется однородной. Определение. Совокупность п чисел о~, ...,ои называется решением системы (1), если каждое уравнение системы обращается в ЧИСЛОВОЕ РаВЕНСтВО ПОСЛЕ ПОДСтаНОВКИ В НЕГО ЧИСЕЛ 111,..иаи ВМЕСТО соответствующих неизвестных х', ..., хи. Пользуясь определением линейных операций со столбцами, мы люжем записать систему (1) в виде а' 1 1 аи Ь' х 11 2п 1 ат и Ьгп называемой матрицей системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец 12, называемый столбцом свободных членов.
Матрица системы, дополненная справа столбцол1 свободных членов, называется расширенной матрицей системы и в этой главе обозначается А': уй. Системы линейных уравнений 7основной случай) 447 (пример 1 01) или, короче, х, а1+...+х"а„=Ь, где ам ..., ао столбцы матрицы системы, а Ь столбец свободных членов. Отсюда сразу нытекает следующая интерпретации решения системы линейных уравнений. П р е д л о ж с н и е 1. Решение системы линейных уравнений это совокупность коэффициентов, с которыми столбец свободных членов раскладывается по столбцалз матрицы системьь Используя умножение матриц, можно записать систему (1) еще короче: .4х=Ъ (приьзер 1 0 2). Выбор обозначений определяется решаемой задачей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
