Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 33
Текст из файла (страница 33)
1'. Пусть система (1) совместна, т. е. существует столбец х высоты п, для которого Ах = Ь. Тогда для любого столбца у высоты 1п выполнено угАх = утЪ. Если у решение систелвы (3), то у1Ь = (у~А)х = ох = О. 2'. Предположим теперь, что система (1) несовместна.
Тогда согласно предложению 1 строка д О ... О 1 й входит в упрощенный вид расширенной матрицы А' = й А ~ Ь й и, следовательно, является линейной комбинацией ее строк. Обозначим коэффициенты этой линейной комбинации у1,...,у и составим из них столбец у. Для этого у"йА~Ь|~ = йо ... 1й (предложепне 1 Ч 2). Это же равенство можно расписать как два: уй А = о и узЬ = 1.
Итак, нам удалось найти решение системы (3), не удовлетворяющее условию (4). Это заканчивает доказательство. В качестве примера применим теорему Фредгольма к выводу условия параллельности двух различных прямых на плоскости. Их уравнения составляют систему А1У + В1у + С1 = О, Азк + Вгу + Сз = О Она не имеет решений, если существуют такие числа у1, дг, что д1А1 + угА2 = О, д1В1 + дгВ2 = О, но д1С1 + дгС2 т'-' О.
Ясно, что д1 и уг не равны нулю. Поэтому можно положить Л = — у /д1 и записать полученное условие в виде; существует число Л такое, что А1 = = ЛА2, В1 = ЛВ2 и С1 у': ЛС2. В таком виде условие нам известно из предложения 7 2 2 гл. П. 1З2 1л.
Г Матрицы и системы линейцън уравнений 2. Нахождение решений. В этом пункте мы будем предполагать, что дана совместная система из 1п линейных уравнений с п неизвестными. Ранг матрицы системы обозначим г. Поскольку ранг расширенной матрицы тоже равен 1, мы можем считать базисные столбцы матрицы системы базисными столбцами расширенной матрицы. Элементарными преобразованиями строк приведем расширенную матрицу к упрощенному виду (предложение 6 23).
Наша система линейных уравнений перейдет в эквиналентную ей систему из г линейно независимых уравнений. Для удобства записи аудем предполагать, что первые г столбцов базисные. Тогда преобразованную систему можно записать е ниде д1 ~, 1 .~--~-~ + + 1 в) (5) дв ( ~ ~';1+ + в .в) ~-~1 в Здесь о' и Д' элементы преобразованной расширенной матрицы. В левых частях равенств мы оставили неизвестные, соотяетстнующие выбранным нами базисным столбцам, так называемые базисные неизвестные.
Остальные неизвестпыс, называемые параметрическими, перенесены в правые части равенств. Как бы мы ни задали значения параметрических неизпестных, по формулам (5) мы найдем значения базисных так, что они вместе со значениями параметрических неизвестных образуют решение системы (1).
Легко видеть, что так мы получим все множестно решений. На формулах (5) можно было бы и остановиться, но ниже ьлы дадим более простое и наглядное, а также принципиально важное описание совокупности решений системы линейных уравнений. 3. Приведенная система. Сопоставим системе линейных уравнений (1) однородную систему с той же матрицей коэффициентон: Ах = о. Ж По отношению к системс (1) она называется приведенной.
Предложение 2. Пусть хо решение систел1ы (1). Столбец х также будет ее решением тогда и только тогда, когда найдется такое решение у приведенной системы (6), что х = хо + у. Доказательство. Пусть х решение системы (1). Рассмотрим разность у = х — хо. Для нее .4у = .4х — Ахо = Ь вЂ” Ь = о. Обратно, если у --- решение системы (6)., и х = хо + у, то Ах = = Ахо + Ау = Ь+ о = Ь. Это предложение сводит задачу описания множестна решений совместной системы линейных уравнений к описанию множества решений се приведенной системы.
Однородная система совместна. Действительно, нулевой столбец является ее решением. Это решение назынается триви льным. Пусть столбцы матрицы А линейно незанисимы, т. е. ВяА = и. У 6. Системы линейных уравнений (обтал творил) ь53 Тогда система (6) имеет единственное решение (предложение 2 у 5) и, следовательно, нетривиальных решений не имеет. Предложение 3. Если хь и хз решения однородной системьц то любая иг линейная комбинация таклсе решение этой системы. Действительно, из Ах, = о и Аха = о для любых о и Д следует А(ох1 + Дхг) = оЛх~ + ПАхз — — о.
Если однородная система имеет нетривиальные решения, то можно указать несколько линейно независимых решений таких, что любое решение является их линейной комбинацией. Сделаем это. Определение. Матрица Г, состояшая из столбцов высоты и, называется фундаментальной матрицей для однородной системы с матрицей А, .если: а) АР=О; б) столбцы Г линейно независимы; в) ранг Г максимален среди рангов матриц, .удовлетворяюших условию а). Столбцы фундаментальной матрицы называются у1ундаментальной системой решений. Если фундаментальная матрица сушествует, то каждый ее столбец в силу условия (а) "-. решение системы. Если система не имеет нетривиальных решений, то фундаментальной матрицы пот.
Это будет в том случае, когда столбцы А линейно независимы: ВяА = и. Ниже мы докажем, что в остальных случаях фундаментальная матрица сушествует, но сначала выясним, что означает третье условие в определении. Предложение 4. Пусть А матрица размеров т х и и ранга г. Если АГ = О, то Вя Г < п — г. Доказательство. Приведем матрицу А к упрошенному виду элементарными преобразованиями строк, а затем элементарными преобразованиями столбцов обратим в нулевые все пебазисные столбцы. Мы получим матрицу А' = РЛО, где Р и О произведения соотнетствуюших элементарных матриц. Первые г строк А'— строки единичной матрицы порядка п, а остальные нулевые.
Обозначим Г' = Я 'Г. Тогда ВК Г' = ВК Г. Используя предложение 1 ~ 2, легко заметить, что первые г строк матрицы Л'Г' совпадают с первыми г строками Г'. Но Л'Г' = РАГ = О и, следовательно, Г' содерзкит г нулевых строк. Так как всего в ней и строк, Вй Г' < п, — к Это равносильно доказываемому утверждению. Покажем теперь, как может быть построена фундаментальная матрица. Согласно предложению 1 ~ 5, решение однородной системы состоит из коэффициентов равной нулю линейной комбинации столбцов матрицы системы.
Мы можем получить такие линойныо комбинации, основываясь на теореме о базисном миноре. Снова для удобства записи будем считать, что в гиатрице А первые г столбцов базисные. Каждый из небазисных столбцов а, 0 = г+ 1, ..., и) раскладывается Гл. Г Матрицы и системы линейньи уравнений ш4 по базисным а. = о а1 + ... + о'а,. (7) Отсюда следует, что столбец ~~ — о1 ...
— о" О ... О 1 О ... О~~ является решением. (Единица в нем стоит на аахм месте.) Таких решений можно составить столько, сколько есть небазисных столбцов, т. е. и — г. Убедимся в том, что эти решения линейно независимы. Для этого объединим нсе столбцы в одну матрицу 1 1 1 о ьг О~ -1-1 Ов-Ьг "' Оп 1 О ...
О О 1 ... О (8) О О ... 1 Остается доказать необходимость условия. Пусть х решение. Присоединив его к Е, получим матрицу Г' = ~~ Е ~ х й. Эта матрица удовлетворяет условию АЕ* = О, так как каждый се столбец— ращение. Значит, П8 Е" = и — г. По теореме Кронекера Капелли мы заключаем отсюда, что существует столбец с, удовлетворяющий системе Гс = х. Подматрица в последних и — г строках единичная. Поэтому ранг лватрицы (8) равен числу столбцов, и столбцы линейно независимы.
Таким образом, мы получили Предложение 5. Если ранг матрицы однородной систелы линейнь1х уравнений г меньше числа неизвестных и, то система имеет фундаментальную ма прицу из и — т столбцов. Итак, система столбцов (8) фундаментальная система решений. Она называется норм льной фунд ментальной системой решений. Каждому выбору базисных столбцов соответствует своя нормальная фундаментальная система решений. Вообще же, каждан система из и — г линейно независимых решений нвляется фундаментальной. Для нахождения матрицы (8) можно принести матрицу А системы к упрощенному виду, что даст коэффициенты разложения небазисных столбцов по базисныл1. (Сы. задачу 3 3 3 и задачу 4 настоящего параграфа.) Пусть Е фундаментальная матрица системы .4х = о.
Рассмотрим произвольный столбец с высоты и, — г. Произведение Ес столбец высоты и, и из равенства .4Ес = о следует, что при любом с столбец Гс решение системы. Оказываетсн, имеет место Предложение б. Столбец х " решение системьь Ах= о тогда и только тогда, когда суилесгпвует такой столбец с, чтв х = Ес. (О) В 6. Системы линейных уравнений (общая теория) !55 4. Общее решение системы линейных уравнений. Теперь мы можем собрать воедино наши результаты — предложения 2 и 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
