Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Переставляя строки, мы можем расположить их в естественном порядке. Это закончит преобразование исходной матрицы А в единичную при помощи элементарных преобразований строк. бй. Умножение матриц Ь29 Метод преобразования матрицы, примененный при доказательстве, называется методом Гаусса, точнее "методом Гаусса.Жордана с выбором ведущего элемента по строке". Различные варианты метода Гаусса широко применяются в вычислительной практике. Предложение 9. Матрица невырозкдена тогда и только тогда, когда вка раскладываетсл в произведение элементарных матриц. Доказательство. В силу предложения 8 найдутся такие элементарные матрицы Ты ..., Тм, что Тм...
Т, А = Е. (10) Так как последовательности элементарных преобразований обратимы, существуют элементарные матрицы Яы ..., Яы, для которых 5159... ЯкЕ = А. Отбрасывая мноялитель Е, мы получаем требуемое разложение. Обратно, последняя формула показывает, что произведение элементарных матриц получается элементарными преобразованиями строк из единичной матрицы, которая невырождена.
Поэтому, согласно следствию из предложения 6 оно невырождено. Предложение 10. Столбцы квадратной матрицы линейно независимы тогда и только тогда, когда матрица яввырождвна. Действительно, .элементарными преобразованиями строк мы превращаем невырожденную матрицу в единичную, столбцы которой линейно независимы. По предложению 7 столбцы исходной матрицы также должны быть линейно независимы. Обратно, пусть столбцы матрицы А линейно независимы. Это значит, что транспонированная матрица Аг невырождена, и по предыдущему ее столбцы -- строки матрицы А линейно независимы. Иначе предло кение 10 можно сформулировать так.
Следствие. Матрица А невырождена тогда и только тогда, когда невыраждека ее транспонировакная Ат . 6. Обратная матрица. Введем Определение. Матрицу Х назовем обратной для матрицы А, если Х.4 =.4Х = Е, где Е единичная матрица. Вспомним, что две матрицы могут быть перестановочны только в том случае, если они обе квадратные матрицы одного и того же порядка. Поэтому иметь обратную может только квадратная матрица. Предложение 11. Если у матрицы А существует обратнац то она единственна. Это легко проверяется от противного. Допустим, что их нашлось две: Хь и Хг. Тогда Х1 = Х1(,4Хг) = (ХьА)Хг = Хг. Предложение 12. Матрица имеет обратнув тогда и только тогда, когда она невыраждена.
Доказательство. Вернемся к форгиуле (10) и объединим в ней все элементарные матрицы в один множитель Х. Мы можем утверж- 9 Л.В. Беклемишев 130 Гл. Г Матрицы и системы линейнъи уравнений дать таким образок|, что для любой невырожденной матрицы А существует матрица Х такая, что ХА = Е. Докаявем, что Х удовлетворяет также и второму равенству в определении обратной матрицы.
Для этого заметим, что Х невырождена как произведение элементарных матриц, и потому длн нее существует такая матрица У, что 1'Х = Е. Рассмотрим произведение У1ХА) = У. При другой расстановке скобок мы видим, что (УХ)А = А. Поэтому 1' = А, и равенство УХ = Е переписывается как АХ = Е. Нам осталось доказать, что вырожденная матрица не имеет обратной. Пусть матрица А вырождена., т. е, существует нулевая лиНЕйиая КОМбИНацИя ЕЕ СтрОК Лга1 + ... + Л„ан = О, ПРИЧЕМ ЛЗ1 + ... ...
+ Л~ у': О. Тогда согласно предложению 1 произведение ненулевой строки ч = ОЛы ..., Л„й на матрицу А -- нулевая строка: чА = о. Если матрица А имеет обратную Х, мы можем умножить на Х справа обе части этого равенства: ч.4Х = оХ. Таким образом, ч = о, что противоречит определению ч.
Это заканчивает доказательство. Обратную к матрице .4 принято обозначать А '. На символ — 1 в обозначении обратной матрицы можно смотреть как на показатель степени. Для квадратной матрицы А целая положительная степень Аь определяется как произведение матрицы А самой на себя к раз. Положительная степень (А 1)ь матрицы А ' считается отрицательной степенью А ь матрицы А. По определению нулевой степенью любой квадратной матрицы называется единичнан матрица того же порядка.
При этом определении для невырожденной матрицы АьА1 = А~~1 при любых целых Й и Е Получим основные свойства обратной матрицы. ° Из определения прямо видно, что (А' ) ' =.4. ° 1АВ) ' = В 'А ', так как (АВ)1В-14-1) = А(ВВ-')А-1 = АА-' = Е. ° Из А 'А =Е., получаем Ат (А 1)т = Е. Поэтому (Ат) '=1А ')~ Опишем способ вычисления обратной матрицы. Именно, если элементарными преобразованиями строк мы обратим матрицу А в единичную, то те же преобразования перенедут единичную матрицу в матрицу А ', так как для соответствующих элементарных матриц из формулы 110) имеем Тм...
Т1К = Тм,,, Т1 — — .4 Эти вычисления могут быть оформлены так: состаним матрицу Р размеров п х 2п, приписан к матрице А справа единичную матрицу. Элементарными преобразованиями строк преобразуем Р так, чтобы обратить ее левую половину в единичную матрицу. Тогда правая половина превратится в матрицу А Теорема 1. Пусть А -- невырожденная матрица порядка п,. Тогда любой столбец высоты и раскладывается по столбцалг А, причем коэ1йфициенты разложения однозначно определены.
Доказательство. Действительно, если матрица А невырожде- з2. Умножение матриц 131 Упражнения 1. Пусть аффинвые преобразования 1 и 3 в некоторой системе координат записаны, соответственно, формулами х* = а|х -ь Ь|у, ) х* = с|х ж дггу, у* = агх -~-Ьгу, у = сгх ж 3|у.
Докажите, что произведение 1 3 запишется такими же формулами, причем матрица коэффициентов будет равна а| Ь| а Ь с| Иг сг дг 2. Пусть Ь23 матрица размеров 1 х 1 с элементом 2. Верно ли, что: 1 2 1 2 а) е23 2 = 4; б) 2 ))23= 4 ? 3 6 3 6 3. Пусть а|, ..., а„--- столбцы матрицы .4, а Ъ', ..., Ъ" -- строки матрицы В. Убедитесь, что АВ = ~ а,Ь'. 4. Верно ли, что для шобых двух квадратных матриц одного и того же порядка: а) (А+ В)г = Аз+ 2АВ+ В; б) (А+ В)г+ (А В)г — 2(Аг+ Вг)? б.
Рассмотрим матричное уравнение Хг + Е = О. е) Проверьте, что матрица Π— 1 1 О удовлетворяет этому уравнению. Как объяснить это в терминах задачи 1? б) Найдите все решевия этого уравнения среди вещественных матриц второго порядка. 6. Сопоставим ка|кдому комплексному числу з = а+ Ьг матрицу Ь Проверьте, что выполнены равенства А(хг) ж А(зг) = А(хг ч- зг), А(у) = Ат(г) А(з|)А( ) 4(згз ) А(з — |) А — г(х) на, то у нее существует обратная, и мы можем написать равенство Ь = АА 'Ь. Из него видно, что столбец Ь получается умножением матрицы А на столбец А |Ь и, следовательно, является линейной комбинацией столбцов матрицы А.
Для доказательства последнего утверждения достаточно вспомнить, что столбцы невырожденной матрицы линейно независимы, и сослаться на предложение 6 3 1. Применяя теорему 1 к транспонировапной матрице,мы получаем Следствие. Пусть А нееырожденная матрица порядка п. Тогда любая строка длины гг раскладывается по строкам А, причем коэу|угициенты разложения однозначно определены. Гл. Г Матрицы и системы линейньи уравнений 132 7. Найдите обратную длн матрицы 1 О О 1 1 2 1 1 3 8. Разложите матрицу из упр. 7 в произведение злементариых. '2 3. Ранг матрицы 1. Определение. Введем Определение. Пусть в матрице й существует линейно иезависиман система из г строк, и иет линейно независимой системы из большего числа строк. Тогда мы будем говорить, что строчный ранг матрицы .4 равеи г.
Пулевая матрица ие содержит никакой линейка независимой системы строк, и ее строчиый ранг по определению равен нулю. Аналогично определяется столбцовый ранг матрицы. Оп равен гы если есть линейно независимая система из г1 столбцов, и иет линейно независимой системы из большего числа столбцов. Столбцовый ранг нулевой матрицы по определению равен нулю. Предложение 1. Система из г строк линейно независима тогда и только тогда, когда в этих строках найдется невырожденная подматрица порядка г.
Доказательство. 1'. Пусть г строк линейно зависимы. Рассмотрим произвольную подматрипу порядка г, расположенную в этих строках. Если строки линейно зависимы, то также линейка зависимы (с теми же коэффициентами) и отрезки этих строк, составляющие подматрицу, и подматрица является вырожденной.
2'. Обратное утверждение докажем по индукции. Одна строка линейно независима, если оиа ие пулевая. В этом случае оиа содержит ненулевой элемент, составляющий иевырождеииую подьиатрицу порядка 1. Пусть теперь даны г линейно независимых строк. Первые л — 1 из иих также линейно независимы, и по предположению индукции содержат иевырождеииую подматрицу порядка г — 1. Пусть йы ..., з, номера столбцов этой подматрицы. Рассмотрим отрезок г-й строки, расположенный под подматрицей, т. е.
составленный из элсмеитов с номерами уы ...,у„и По следствию из теоремы 1 2 2 этот отрезок раскладывается в лииейпую комбинацию строк подматрицы. Ноэффициеиты этой линейной комбинации обозначим оы ..., о„ Теперь будем рассматривать полные строки. Вычтем из последней строки линейную комбинацию предыдущих с теми же коэффициентами оы ..., о„п Это обРатит в нУль уы ..., з„ый элемеиты г-й стРоки, ио ие всю строку, так как строки линейно независимы. Таким образом, в преобразованной г-й строке есть ненулевой элемент а,', и его гХ Ранг матрицы гзз номер у отличен от номеров ум ...,у„ В преобразованной матрице рассмотрим столбцы, имеющие номера ум ...,у, м 1 (Мы для удобства пишем у на последнем месте, хотя в действительности столбцы располагаются в порядке возрастания номеров.) Легко видеть, что эти столбцы линейно независимы.
Действительно, пусть о1ая+...+о, 1а.„, +па =о (ц их нулевая линейная комбинация. Тогда для последних элементов столбцов о10+ ... +о,. ~О+па" = О. Так как а", у': О, отсюда следует о = О, и мы получаем о1а, + ... + о, ~а.„, = о. Если бы среди коэффициентов этой линейной комбинации были отличные от нуля, то столбцы с номерами и, ...,у„1 были бы линейно зависимы. Это противоречило бы тому, что исходнан подматрица порядка п — 1 невырождена. Таким образом, все коэффициенты в (Ц равны нулю, и столбцы с номерами и, ...,у„м г линейно независимы.
Отсюда следует, что составленнан ими подматрица порядка г невырождена. Невырождена соответствующая подматрица и в непреобразованной матрице, так как элементарными преобразованиями мы превратили ее в невырожденную матрицу. Это заканчинает доказательство. О и р е д ел е н и е. В матрице А размеров т х и, подматрица порядка т называется базисной, если она невырождона, а все квадратные подматрицы большего порядка, если они существуют, вырождены. Столбцы и строки матрицы А, на пересечении которых стоит базисная подматрица, называются базисиими столбцами и строками А.
В силу предложения 1 базисные столбцы и строки линейно независимы. Определение. Рангом матрицы называется порядок базисной подматрицы или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют невырождснные подматрицы. Ранг нулевой матрицы по определению считают нулем. Отметим два очевидных свойства ранга. ° Ранг матрицы не меняется при транспонировании, так как при трапспонировании матрицы все ее подматрицы транспонируются, и при этом невырожденные подматрицы остаются невырожденными, а вырожденные - вырожденными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
