Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Поэтому прообразы осей эллипса отрезки, обладающие тем же свойством: каждый из них есть множество середин хорд окружности, параллельных другому отрезку. Такие отрезки непременно являются двумя взаимно перпендикулярнын1и диаметрами окружности. Это то, что пам требовалось; существуьот два взаимно перпендикулярных диаметра окружности, которые переходят во взаимно перпендикулярные отрезки оси эллипса.

Стоит отметить один особый случай: окружность при аффинном преобразовании может перейти в окружность. В этом случае то же рассуждение проходит с любыми двумя взаимно перпендикулярными диаметрами окружности-образа. Очевидно, что при этом любые два взаимно перпендикулярных направления остаются перпендикулярными. О п р е д с л е н и е. Два взаимно перпендикулярных направления называются главными или синугулярными направлениями аффинного преобразования 1, если они переходят во взаимно перпендикулярные направления. Теорема 2. Каждое аффинное преобразование раскладывается в произведение ортогонального преобразования и двух сжатий к двум взаимно перпендикулярным пряльым.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. Рассмотрим аффинное преобразование 1 и выберем равнобедренный прямоугольный треугольник .4ВС так, чтобы его катеты .4В и АС были направлены вдоль главных направлений преобразования 1. Обозначим через .4*, В* и С' образы его вершин. Сделаем такое ортогональное преобразование я, при котором 8(А) = А"., а точки 8(В) и 8(С) лежат соответственно па лучах А'В* и А'С'. (Этого легко добиться, как и в теореме 1, параллельным переносом, поворотом и осевой симметрией.) Пусть Л = )А*В*ДА*8(В) (, а р = (А'С*)/(А'8(С) (.

Тогда сжатие р, к прямой А*С' в отношении Л переведет 8(В) в р1(8(В)) = В* и не сдвинет точек А* и 8~С). Аналогично, сжатие рз к прямой А*В' переведет 8(С) в рг(8(С)) = С* и не сдвинет точек прямой А'В'. Это означает, что произведение ргр1я переводит точки .4, В и С в точки А', В* и С* так же, как и заданное нам преобразование 1. Согласно предложению 8 22 имеем р. р,а = 1, как и требовалось.

ге. Аффинные преобразования Упражнения 1. Найдите площадь треугольника, если его стороны лежат на прнмых с уравнениями х — у "; 1 = О, х -г- у — 1 = О и 2х -г- р = 2 в декартовой прямоугольной системе координат. 2. Пусть при аффинном преобразовааии точки .4, В и С перешли в точки А*, В* и С*, Докажите, что точка пересечения медиан ЛАВС перейдет в точку пересечения медиан ЬА*В*С'. 3.

Будем говорить, что аффинное преобразование растягивает вектор а в а раз, если ~а*( = о(а~. Для преобразовавия, заданного в декартовой прямоугольной системе координат формулами х* = 4х+ 711, р' = 8х+ у, найдите векторы, длл которых растяжение: а) максимально; б) минимально. 4. Пусть прямая касается линии второго порядка. Докажите, что при произвольном аффинаом преобразовании образ прямой касается образа линии. 5. Докажите, что вершины ромба, описанного около эллипса, лежат на его осях симметрии. 6. Представьте как произнедение двух осевых симметрий: а) параллельный перенос на вектор а: бг поворот на угол гр вокруг тачки О. Т.

Представьте сжатие к оси абсцисс декартовой прямоугольной системы координат как произведение сжатии к другой прямой и параллельного переноса на а(О,о1. 8 Д.В. Беклемишев ГДАВА 1 МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ й 1. Матрицы 1. Определение. Мы будем называть матрицвй размеров т х и совокупность тп чисел, расположенных в виде таблицы из т строк и и столбцов: 1 1 а1 аг ...

а а2 а2 аг 1 2 "' в ат ат ат 1 2 "' и Числа, составляющие матрицу, мы будем называть элелгентами матрицы. Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк ее порядком. Остальные матрицы носят название прямоугольных. Можно дать и такое определение матрицы. Рассмотрим два множества целых чисел 1 = (1, 2, ..., п111 и,1 = (1, 2, ..., ну, Через 1 х 1 обозначим множество всех пар вида (1,1), гпе 1 Е 1, а 1 Е .1. Матрицей называется числовая функция на 1 х,1, т. е.

закон, сопостанляющий каждой паре (1,Я некоторое число а'. Длн читателя, знакомого с программированием, заметим, что матрица — - это в точности то же, что и двумерный массив. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры, и равны их элемевты, столщие на одинаковых местах. Рассматривая произвольные матрицы, мы будем обозначать их элементы буквами с двумя индексами. Если оба индекса расположены внизу, то первый из них обозначает номер строки, а второй - номер столбца; если один из индексов расположен сверху,как в написанной выше матрице, то этот индекс обозначает номер строки.

Не следует путать верхние индексы с показателями степени. Матрицу размеров 1 х 112 состоящую из одной строки, мы будем называть строкой длины и или просто строкой. Матрицу размеров т х 1 называют столбцом высоты ти или просто столбцом. Столбцы и строки мы будем обозначать полужирными буквами. Часто бывает удобно записывать матрицу как столбец из строк 51. Матрицы 115 или как строку из столбцов. Пусть а, 1 аз 1 1 з а1 1 аи г ап ав = а! —— аз ив' 1 а ° т в Тогда написанную в начале матрицу можно записать в виде )( а! а ...

а„ Аналогично, если а! = ((а~ ... а1, )(, ..., а'" = ()а~ ... а,'," )), то та же матрица записывается в виде а' Рассмотрим матрицу А размеров >п х и и выберем ьакие-нибудь ! номеров строк !1,...,1„и в номеров столбцов 11, ..., !'„причем будем предполагать, что номера выбраны в порядке возраста- ниЯ: !! < !г « ... 1„и У! < 1г « ... У„..'11атРицУ А РазмеРов г х в, составленную из элементов А, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, мы назовем подл!отрицай матрицы А. Итак, и г! .! ~,7 !' 2 а' ... а" аы а!г ам азг а! и аз в а,т от а ... а„,„,, из т строк и и столбцов.

Ей можно сопоставить матрицу В из п строк и т столбцов по следу!ощему правилу. Элементы каждой стро- ки матрицы А записываются в том же порядке в столбцы матри- цы В, причем номер столбца равен номеру строки. Эту матрицу а!! аг! а!2 а22 ат! а,„г а1„аг„,.. а называют транспонированной по отношению к А и обозначают А!. Переход от А к Ат называют транспонированивл!.

Если матрица квадратная, то множество тех ее элементов а'„ у которых номер строки равен номеру столбца, называется главной диагональю или просто диагональю матрицы. 2. Траиспоиироваиие матриц. Рассмотрим матрицу Гл. Г Матрицы и системы линейных уравнений Видно, что 1-я строка В состоит из тех же элементов в том же порядке, что и 1-й столбец .4. Ясно также, что (Ат)т = .4. Определение транспонирован~ой матрицы можно записать в виде ьпп равенств, связывающих элементы матриц А и В: Ь,.

= а, (ь' = 1,...,т, 1 = 1, ...,п). 3. Некоторые виды матриц. Введем определения некоторых часто употребляемых видов матриц. Все матрицы предполагаютсн квадратными. 1. Матрица .4 называется с мметри1ной или симметрической, если А1 =.4. Для такой матрицы а„. = а,.; при всех 1 и 1 элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны. 2. Матрица А называется нососимл1втричной или антисимметричной, если Ат' = —.4.

Для такой матрицы аб = — а,, при всех 1 и у элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются знаком. Диагональные элементы равны нулю. 3. Матрица А называется верхней треугольной, если ее элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю: ао = О при 1 > > 1 Аналогично определяется нижняя треугольнав матрица: а„= О при 1( 1.

4. Матрица А называется диагональной, если у нее равны нулю все недиагональные элементы: а, = О при 1 ф ь Другие частные виды матриц будем определять по мере необходимости. 4. Сложение и умножение на число. Пусть .4 и В матри- цы размеров т х п. Мы можем сопоставить им третью матрицу С размеров гп х и, элементы которой с„связаны с элементами аб и Ь,, матриц А и В равенствами с, =а, +Ьв (1=1,...,т, 1=1,...,п). (1) Определение.

Матрица С, определяемая по А и В форму- лой (1), называется их суммой и обозначается А+ В. Определение. Матрица С, элементы которой с,. равны произ- ведениям элементон аь матрицы А на число о, называется произве- дением А на о и обозначается оА. Мы имеем с,. =оав (1=1,...,т, 1=1,...,п). (2) Из свойств сложения и умножения чисел легко вытекает Предложение 1.,7ля любых матриц А,В, С и любых чисел о и,З выполнены равенства А -ь В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С), а(А ч- В) = а4-ь аВ, (а+ Д)А = аА+ ДА, (гг~3)А = а(ДА). Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Если 0 —. нулевая матрица размеров т х и, то для любой З1. Матрицы 117 матрицы тех же размеров А+О=А.

Матрицу ( — 1)А называют противоположной матрице А и обозначают — А. Она обладает тем свойством, что А+( — А) =О. Сул!ма матриц В и — А называется разностью матриц В и А и обозначается  — А. Мы видим, что сформулированные выше свойства линейных операций с матрицами совпадают со свойствами линейных операций с векторами, перечисленными в предложении 1 з 1 гл. 1. Используя линейные операции, мы можем составлнть из матриц одинаковых размеров А1, ...,Ал и чисел а1, ...,аь ныражения вида а! А! + ... + алАю Такие выражения называются линвйныли нвльбинациялзи матриц. Если какая-то матрица представлена как линейная комбинация других матриц, то говорят, что она по ним разложена.

Пример 1. Пусть р1, ...,рл — -столбцы одинаковой высоты а. Тогда столбец с1 той же высоты по ним разложен, если при некоторых коэффициентах а1, ..., аь Ч=азр +".+аэро или, в более подробной записи, Рь 1 В силу определения линейных операций это матричное равенство равносильно и числовым равенствам Д = а!17! + ...

+ аьрь, ! ! л „Рп ! 1 „в 5. Линейная зависимость матриц. Какова бы ни была систен!а матриц фиксированных размеров тн, х и, нулевая матрица тех же размеров раскладывается по этим матрицам в линейную комбинацию с нулевыми коэффициентами. Такую линейную комбинацию называют тривиальной. Как и для векторов, введем следу!ощес Определение. Система матриц А1, ..., Ал, линейно нвзависизна, если нулевая матрица раскладывается по ней однозначно, т. е, из а!А! + ... +а!Аз = О (3) следует а1 = ... = аь = О. В противном случае, т, е, если существуют 1 чисел а1, ..., ал„одновременно не равных нулю и таких, что выполнено равенство (3), система матриц назынаетсл линейно зависимой. Гл.

Характеристики

Список файлов книги