Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Детерминант из коэффициентов в этих формулах равен Л, т. е, в нашем 9 з. Аффинные преобразования соэ случае о,Са. Таким образом, отношение площади эллипса к площади окружности равно б,са, и эта площадь равна Я = (асса)яаг. Окончательно имеем 5 = яаб. 3. Образы линий второго порядка. Мы видели, что прямая линия переходит в прямую. Это частный случай следующего предложения. Предложение 3. Аффинное преобразование переводит алгебраическую линию е алгебраическую линию того лсе порядка. В самом деле, пусть линия Е в декартовой системе координат О,ес,ег имеет алгебраическое уравнение порядка р. Согласно предложению 9 9 2 образы всех точек линии Т, при аффинном преобразовании 1 имеют в системе координат 1(0),1(ес),1(ег) те же координаты, что и их прообразы в системе координат О,ес,ег.
Следовательно, координаты образов в системе 1(0),1(ес).1(е ) связаны тем же алгебраическим уравнением порядка р. Этого достаточно, чтобы сделать нужное нам заключение. Из предложения 3, .в частности, .следует, что линии второго порядка при аффинпом преобразовании перейдет в линию второго порядка. Ыы докажем более сильное утверждение.
Именно, в теореме 1 9 1 гл. П1 линии второго порядка были разделены на семь классов. Ыы увидим, .что класс линии сохраняется при аффинном преобразовании. На этом основании классы линий, перечисленные в указанной теореме, называются аффинными классами. Итак, докажем Предложение 4. Линия второго порядка, принадлежащая к одному из аффинньсх классов, при любом аффинном преобразовании может перейти только е линию того же класса.
Каждую линию второго порядка подходяиСим аффинньслс преобразованием можно перевести е любую другую линию того же аффинного класса. Доказательства. Линию мы назовем ограниченной, если она лежит внутри некоторого параллелограмма. Легко видеть, что при аффинном преобразовании ограниченная линия должна перейти в ограниченную, а неограниченная в неограниченную. 1) Эллипс ограниченная линия второго порядка.
Кроме эллипсов ограничены только линии, состонщие из одной точки, т. е. пары мнимых пересекающихся прямых. Поскольку эллипс ограничен и состоит больше, чем из одной точки, он может перейти только в эллипс. 2) Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Это свойство можно сформулировать так, что оудег ясна его неизменность при аффинных преобразованиях. Именно, существует прямая линия, не пересекающая гиперболу, но пересекающая некоторые ее хорды. Из всех линий второго порндка только гиперболы и пары параллельных прямых обладают этим свойством.
У гиперболы ветви не прямые линии, и потому при аффинном преобразовании она может перейти только в гиперболу. 110 Гл. 11г. Превбразовакигг плоскости 3) Парабола неограниченная линия второго порядка, состоящая из одного непрямолинейного куска. Этим свойством не обладают никакие другие линии второго порядка, и потому парабола может перейти только в параболу. 4) Если линия второго порядка представляет собой точку (пару мнимых пересекающихся прямых), прямую 1пару совпавших прямых), пару пересекающихся или пару параллельных прямых, то из доказанных ранее свойств аффинных преобразований следует, что эта линия пе может перейти в линию никакого другого класса. Докажем вторую часть предложения.
В теореме 1 З 1 гл. П1 канонические уравнения линий второго порядка написаны в декартоной прямоугольной системе координат и содержат параметры а,Ь,.... Если мы откажемся от ортонормирова~ности базиса, то сможем произвести дальнейшие упрощения канонических уравнений и привести их к виду, не содержащему параметров. Например, замена координат х' = хгга, У' = У,гЬ пеРеводит УРавнение эллипса хз(а' + Уг!Ьз = 1 в у равнение х'з -1- уа = 1, каковы бы ви были а и Ь. (Последнее уравнение не есть уравнение окружности, так как новая система координат не декартова прямоугольная.) Читатель без труда покажет, что канонические уравнения линий второго порядка переходом к подходящей системе координат могут быть преобразованы в уравнения: 1) хз + йз = 1; 2) хз + уг = О; 3) хз — дз = 1; 4) хз — рз = О; 5) йз = 2х; 6) уз — 1 = О:, 7) уз = О.
Такую систеьиу координат мы назовем а41фиккой канонической системой координат. Из предложения 9 3 2 следует, что аффинное преобразонание, которое совмещает аффинные канонические системы координат двух линий одного аффинпого класса, совмещает и эти линии. Это заканчивает доказательство. 4. Разложение ортогонального преобразования. Т е о р е м а 1.
Каждое ортогональное преобразование раскладывается в произведение параллельного переноса, поворота и, возможно, осевой симметршь Доказательство. Пусть 1.-- ортогональное преобразование и гуАВС - . равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом А. При преобразовании 1 он перейдет в равный ему треутольник луА*В*С' с прямым углом при вершине А*. Теорема будет доказана, если, производя последовательно параллельный перенос р, поворот Ч и (в случае необходимости) осевую симметрию г, мы сможем совместить троутольники .4ВС и А" В'С'.
Действительно, произведение гор аффинпое преобразование так же. как и 1, а аффипное преобразование однозначно определяется образами трех точек, не лежаших на одной прямой. Поэтому гйр совпадает с 1. 43. Аффиккые креобразавакил ь11 Итак, перенедем А и А" параллельным переносом р на вектор АА* (если А = А', то р .- тождественное преобразование). Затем поворотом ц вокруг точки А* совместим р(В) с В* (возможно, и это преобразование окажется тождественным). Точка ц(р(СИ либо совпадает с С', либо симметрична ей относительно прямой А'В'. В первом случае цель уже достигнута., а во втором потребуется осевая симметрия относительно указанной прямой. Теорема доказана. Следует иметь в виду, что полученное разложение ортогонального преобразования не однозначно.
Более того, можно поворот или параллельный перенос разложить в произведение осевых симметрий, произведение параллельного переноса и поворота представить как один поворот и т. д. 11ы не будем уточнять, как это сделать, а выясним следуюшее обшее свойство всех таких разлогкений. Предложение 5. 11ри любом разложении ортогонального преобразования в произведение любого числа параллельных перекосов, поворотов и осевых симметрий четкость числа осевых сил метрий, входящих в разложение, одна и та же.
Для доказательства рассмотрим на плоскости произвольный базис и проследим за изменением его ориентации (направления кратчайшего поворота от е~ к ег) при осуществляемых преобразованиях. Заметим, что поворот и параллельный перенос не меняют ориентацию ни одного базиса, а осевая симметрия меняет ориентацию любого базиса.
Поэтому, если данное ортогональное преобразование меняет ориентацию базиса, то в любое его разложение должно входить нечетное число осевых симметрий. Если же ориентация базиса не меняется, то число осевых симметрий, входяших в разложение, может быть только четным. Определение. Ортогональные преобразования, которые могут быть разложены в произведение параллельного переноса и поворота, называются ортогональными преобразованиями первого рода, а остальные ортогопальными преобразованиями второго рода.
Ортогональное преобразование в декартовой прямоугольной системе координат записывается формулами (1) ~ 2. При верхних знаках коэффициентов у у в этих формулах детерминант, составленный из коэффициентов, равен ~ 1, а при нижних знаках оп равен 1. Отсюда и из формулы (4) следует П р ед л о ж е н и е 6. Ортогональное преобразование первого рода записывается в декартовой прямоугольной системе координат фармйлалги (Ц ~2 с верхними знаками у коэффициентов при у, а ортогональное преобразование второго рода с нижними знаками. 5. Разложение аффннного преобразования. Мы видели, насколько аффинпое преобразование может изменить плоскость; окружность может перейти в эллипс, правильный треугольник — в совершенно произвольный.
Казалось бы, никакие углы при этом сохраниться не могут. Однако имеет место следуюшее. 112 Гл. 1Г Преобразованип плоскости Предложение 7. Для каждого аффинного преобразования существуют две взаимно перпендикуллрные прямые, которые переходят во взаимно перпендикулярные прямые. Для доказательства рассмотрим какую-либо окружность. Прн данном аффипном преобразовании она перейдет в эллипс. Каждая ось эллипса множество середин хорд, параллельных другой оси. При аффинном преобразовании хорда перейдет в хорду, параллельность должна сохраниться, а середина отрезка переходит в середину его образа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
