Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Но ниже мы, тем не менее, будем придерлкиваться не совсем точной, но более удобной и общепринятой терминологии . говорить, что преобразование Е переводит вектор а в нектар а* и обозначать последний через ЕЕа). Из формул (10) вытекает, что для линейного преобразования Е при любых векторах а и Ъ и любом числе Л Е(а + Ь) = Е(а) + Е(Ь), ЕЕЛа) = ЛЕЕа). Е11) Докажем, например, первое из этих равенств. Пусть к1* и к.„* --. компоненты вектора Е(а+ Ь).
Тогда 71 — — алкал+ ок) + Ьгказ+ л»2), 7г — — аг(ак+ А) + Ьгказ.ь А), где ак, аз и Дк„'»2 -- компоненты векторов а и Ь. Отсюда 71 ка1а1 + Ь1112) + ка1Д1 + Ькдз) 111 + Д1 Тг — (азак + Ьгаз) + 1112А + Ьзфг) = ск» + Пг. Это координатная запись доказываемого равенства. Второе из раненств Е11) доказывается аналогично. Из равенств Е11) следует, что при линейном преобразовании Е линейно зависимые векторы переходят в линейно зависимые. Действительно, как легко видеть, ЕЕО) = О. Тогда любое соотношение вида Ла+ рЬ = О влечет за собой ЛЕЕа) + слЕЕЬ) = О.
Если преобразование аффинное, то линейно независимые векторы переходят в линейно независиллые. В самом деле., в протинном случае из равенства ЛЕЕа) + рЕЕЬ) = О, Лз + Елз У'= О, при обратном преобразовании мы получили бы Ла+ рЬ = О. Следующее предложение устананливает геометрический сллысл коэффициентов в формулах, задающих линейное преобразование. Предложение 7. Пусть преобразование Е записано в системе координат О, ек, ег формулами (3). Тогда ск и сз — координаты точки ЕЕО), а а,,аг и Ь1,Ь2 номяонвнтьс векторов ЕЕек) и Е(ез) в системе координат О, ек, ег. ду. Линейные преобразования 10Э Для доказательства подставим и формулы (3) значения х = О и у = 0 координат точки 0 и увидим., что координаты Е(0) равны сл И сз. Подстаэим а формулы (10) координаты нектара ел ал = 1, аз = = 0 и найдем ал = ал, гхг = аа. Следовательно, Е(ел) имеет компоненты ал и аг, Так же доказывается, что компоненты Е(ез) равны Ьл и Ьг.
Предложение 8. Каковы бы ни быт три точки Хи М,дг, не лежащие на одной прямой, и три точки Х,*, ЛХ* и лУ', сущесплвувт единственное линейное преобразование Е такое, чгпо Х,' = Е(Х,), М' = = Е(ЛХ) и № = ЕЕЛг). Это преобразование аффиннов тогда и только тогда, когда точки Х,*, М' и № также нв лежат на одной пряллой. Дока за тель стао Векторы ЕМ и Х "лг не коллинеарцы. Слсдоэательно, Хи ЛЛХ, Х,лу декартова система координат. Пусть сл, гг координаты Х,*, а ал, аг и Ьл, Ьг компоненты векторов Х,*л1Х* и Х,*№ и этой систеьле координат. лрорьлулы х' = ал х -~- Ьлу + сл, у* = азх + Ь у + сг определяют линейное преобразование Е, которое, как легко видеть, обладает требуемым свойством. При этом согласно предложению 7, коэффициенты и формулах однозначно определены.
Условие (4), равносильное аффинности преобразования, необходимо и достаточно для тога, чтобы векторы Х,*ЛХ* и Х "№ были не коллинеарны, т. е. Х', ЛХ* и № не лежали на одной прямой. Предложение доказано. Заметим, что и том случае, когда преобразование Е аффинное, точка Е(0) и векторы Е(ел) и Е(ег) могут быть использованы как система координат.
Для этой системы координат имеет место Предложение 9. При аффинном преобразовании Е образ М* точки ЛХ в системе координат Е10),Е(ел),Е(ег) имеет тв же координаты, что и точка М в системе координат О,ел,ез. Д о к а за тел ь от но. Равенство ОЛХ = хел + уег означает, что х,у — координаты ЛХ в системе координат О,ел,ег. Подейстнован преобразованием Е на обе части этого равенства, мы получаем Е(О)Е(ЛХ) = хЕЕел) -~- уЕ(е ), которое означает, что х и у координаты ЛХ* и системе координат Е(0),Е(ел),Е(е ). Упрагиненин 1.
Являются ли аффинными преобразования, задаваемые формулами: а) х" =хну — 1,у*=х — уж1; б) х = х — у — 1, у* = — х + у -~- 1. 2. Найдитс образ прямой х — у = 2 при преобразовании а) из упр. 1. 3. Докажите, не прибегая к формулам (1), что ортогональное преобразоаание взаимно однозначно. 4. Точка А называется неподвижной точкой преобразоаапия Е, если ЕЕА) = А. Найдите неподвижные тачки преобразования а)из упр. 1. Гл.
Хг'. Преооразооанил плоскости 106 5. Докажите, что линейное преобразование, не нвлнющессн тождествен- ным, либо имеет единственную неподвижную точку, либо имеет прямую, состолшую из неподвижных точек, либо не имеет их совсем. 6. Как изменятся формулы, задающие линейное преобразование, если начало координат перенести в неподвижную точку, не меняя базисных век- торов? 7. Линейное преобразование в системе О,еи е задано формулами (3). Какими формулами ано задается в системе координат: а) О,е,еи б) О,ев2ег? 8.
Докажите, что линейное преобразование, задаваемое в декартовой прнмоугольной системе координат формулами х = хсоесг+уашсг, у = хжпр — усолго, осевая симметрия. Найдите уравнение оси симметрии. 9. Может ли случитьсн, что произведение двух линейных преобразова- ний аффинное, если одно из них не аффинное? 10. Пусть аффивное преобразование в декартовой прямоугольной сис- теме координат задано формулами х = х+ Ьу -~- сг, у = ах ф с . Найдите векторы, ортаганальныс их образам. 11. Дан трсуголыгик с вершинами А(1,0), В( — 1/2, Ц и С( — 1/2, — 1). Найдите преобразование, переводящее каждую вершину в середину проти- вопологкной стороны.
12. Докажите, что преобразование из упр. 8 есть произведение осевой симметрии 1 относительно оси абсцисс и поворота 8 на угол ~р вокруг начала координат. Какое преобразование получитсн, если Х и 8 перемножить в другом порндке? 9 3. Аффинные преобразования 1. Образ прямой линии. В зтам параграфе мы изучим геометрические свойства аффииных преобразований. Ниже Х обозначает аффиниое преобразование, записынаемое в декартовой системе координат О, еы ег формулами х' = а,х+ Ьгу+ сы у' = агх+ Ьгу+ сг (1) при условии Фо. (2) Рассмотрим на плоскости прямую линию с уравнением г = го + +а? и найдем ее образ при преобразовании Н (Нод образом прямой понимаетсн множество образов ее точек.) Радиус-вектор образа ЛХ' произвольной точки М можно вычислить так: О.ЪХ' = ОХ(О) +Х(О~М* = с+ Х(г).
Здесь с постоянный вектор ОХ(О), а г радиус-вектор точки ЛХ. Согласно (11) 2 2 мы получаем ОЛХ* = с + Х(го) + Х(а)й (З) я 8. Аффинные преобразовании 707 Так как 1 аффинное преобразование и а ~ О, то а перейдет в вектор 1(а) ф О, и уравнение (3) является уравнением прямой линии. Итак, образы всех точек прямой г = го + а1 лежат на прямой (3). Более того, преобразование 1 определяет взаимно однозначное отображение одной прямой на другую, так как при сделанном здесь выборе начальных точек и направляющих векторов точка ЛХ" имеет на прямой (3) то же значение параметра 1, что и точка 31 на исходной прямой. Отсюда мы получаем Предложение 1. При аффинном преобразовании; прялгая линия переходит в прямую линию; отрезок переходит в отрезок; параллельные прямые переходят в параллельные.
Для доказательства второго утверждения достаточно заметитзн что отрезок прямой состоит из таких точек, у которых значения параметра удовлетворяют неравенству вида 17 < 1 < 17. Третье утверждение следует из того, что при аффинном преобразовании коллинеарные векторы переходят в коллинеарные. П р ед л о ж е н и е 2. При аффинном преобразовангли отношение длин параллельных отрезков нв изменяется.
Доказательство Пусть отрезки АВ и СР ггараллельны. Это значит, что существует такое число Л, что АВ = ЛСР. Образы векторов АВ и СР связаны той же зависимостью А'В* = ЛС" Р*. Отсюда вытекает, что (АВ! )А*В*! )СР~ ~С'Р*! = /Л!. Следствие. Если точка С делит отрезок АВ в некотором отношении Л, то ве образ С' делит образ А'В* отрезка АВ в том зкв отношении Л. 2.
Изменение площадей при вффинном преобразовании. Для начала рассмотрим ориентированный параллелограмм. Выберелю общую декартову систему координат О, еы ех и обозначим через (РыРз) и (Уы дз) компоненты всктоРон Р и с1, на котоРых он постРоен. Площадь параллелограмма мы можем вычислить, пользунсь формулой (23) З4 гл.
1: 5~ = Вл(Р:Ч) = (ргчг — ргуг)ЕЙ(ег:е ). Пусть аффинное преобразование 1 записывается в выбранной системе координат формулами (Ц. Из предложения 9 ~ 2 следует, что векторы 1(р) и 1(с1) имеют в базисе 1(ег),1(ез) те же компоненты (рг,рз) и (уы фг), что и векторы р и г1 в базисе еы ез.
Образ параллелограмма построен на векторах 1(р) и Щ, и площадь его равна К = Я~(1(р),1(ц)) = (радуг — рздг)Е~(1(ег),1(ез)). Вычислим последний множитель. По предложению 7 3 2 координаты векторов 1(ег) и 1(ег) равны соответственно (аг,аг) и (Ьг, Ьг). Гл. 1Г Преобраоооанил плоскости 108 Поэтому Я(1(е1),4(ез)) = (а1Ь» — а 51)Яь(ем ел) и Вл = (Р1дз — Рзд1)(о1Ьа — азЬ1)Бь(е1, ез). Отсюда мы видим, что Я.*.. а1 Ь1 Ь (4) Таким образом, отношение площади образа ориентированного параллелограмма к площади этого параллелограмма одинаково для всех параллелограммов и равно а150 — а»Ь1. Отсюда следует, что данный детерминант не зависит от выбора системы координат, в которой записано преобразование, хотя он вычисляется по коэффициентам, занисящим от системы координат.
Эта неличина инвариант, выражающий геометрическое свойство преобразования. Из формулы (4) видно, что отношение площади образа неориентированного параллелограмма к его площади равно о'1'Я = )а1Ьз — азЬ1(. (5) Если а1 Ьа — ааЬ1 > О, то ориентации всех ориентированных параллелограммов сохраняются при преобразовании. а если а1Ьз — озд1 ( О, то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации. Займемся теперь площадями других фигур.
Каждый треугольник может быть дополнен до параллелограмма, площадь которого равна удвоенной площади треугольника. Поэтому отношение плошади образа треугольника к плошади этого треугольника удовлетворяет равенству 15). Каждый многоугольник может быть разбит на треугольники. Следонательно, формула (5) справедлива и для произвольных многоугольников. Мы не будем здесь касаться определения плошади произвольной криволинейной фигуры. Скажем лишь, что в тех случаях, когда эта плошадь определена, она равна пределу площадей некоторой последовательности многоугольников, вписанных в рассматриваемую фигуру.
Из теории пределов известно следующее предположение: осли последовательность 5о стремится к пределу о', то последовательность 55„, где б постоянное, стремится к пределу БЯ. На основании этого предложения мы заключаем, что формула (5) справедлива в самом общем случае. В качестве примера найдем выражение площади эллипса через его полуоси. В 82 гл. П мы доказали, что эллипс с полуосями а и Ь может быть получен сжатием окружности радиуса а к прямой, проходящей через ее центр. Коэффициент сжатия равен Ь/а. В примере 4 8 2 мы получили координатную запись сжатия к прямой х' = ад у* = Лу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
