Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 22
Текст из файла (страница 22)
П р имер 1. Параллельный перенос на вектор с сопоставляет точке ЛХ с координатами (х,у) в некоторой декартовой системс координат точку ЛХ* с координатами х = х + с|, у = у + сг, где с| и сг — координаты с. Пример 2. Напишем уравнения поворота плоскости на угол |з вокруг некоторой точки, приняв эту точку за начало декартовой прямоугольной системы координат. В этом случае 0 = 0* и, следовательно, с| — †— — О.
Должны быть выбраны верхние знаки. Итак, х' = хеся||с — у|йпсс, у' = ха|п~р+ усову|. При мер 3. Рассмотрим осевую симыетрию относительно некоторой прямой. Примем ось симметрии за ось абсцисс декартовой прямоугольной системы координат. Тогда точка ЛХ(х, у) переходит в точку ЛХ' с координатами х =х, у = — у. Здесь с| = сг = О и |д = О при нижних знаках в формулах (2). 2. Определение линейных преобразований. Основным объектом для нас будет более широкий класс преобразований, включающий в себя ортогональные преобразования. Определение. Преобразование Х плоскости Р называется линейным, если на Р существует такая декартова система координат, в Хл. Линейные преобразования 101 которой Х может быть записано формулами х* = а1х -Ь Ь1У + с1, (3) = агх + Ь2д + с2.
Взаимно однозначное линейное преобразование называется аффинным преобразованием. Подчеркнем, что н определении линейного преобразования, вовсе не требуется, чтобы коэффициенты в формулах (3) не обращались в нуль одновременно. Они могут быть любыми. Однако имеет место Предложение 2.
Для того чтобы преобразование, задаваемое формулами (3), было взаимно однозначным, необходимо и достаточно., чтобы Ь' ~ О. <4) Таким образом, аффицное преобразование определяется формулами (3) при условии (4). Д о к а з а т е л ь с т но. Наше утверждение вытекает по существу из предложения 9 02 гл. П. Нам ну'кно узнать, при каком условии каждая точка плоскости имеет единственный прообраз. Формулы (3) связывают координаты (х', у') точки ЛХ' и координаты (х, у) ес прообраза.
Их можно рассматривать как систему линейных уравнений для нахождения х и у, и эта система имеет единственное решение при любых свободных членах х* — с1 и у' — сг (а значит, при любых х' и у*) тогда и только тогда, когда выполнено условие (4). Как видно из предложения 1, ортогональные преобразования являются линейными. Проверка условия (4) показывает, что они аффинные.
Рассмотрим другие примеры. Пример 4. Рассмотрим сжатие к прямой (пример 3 0 1) и примем эту прямую за ось абсцисс декартовой прямоугольной системы координат. Легко видеть, что в такой системе координат сжатие с коэффициентом Л записывается формулами х'=х, у*=Лу. Сжатие к прямой аффинное преобразование.
П р и мер 5. Проектирование на прямую (пример 6 0 1) в такой декартовой прямоугольной системе координат, для которой эта пряман ось абсцисс, записывается формулами х,*=х, у*=О. Это . линейное, но пе аффинное преобразование. Прил1ер 6. Для записи ураннений гомотетии не существенно, чтобы система координат была прямоугольной, но уравнения проще, .если начало координат поместить в центр гомотетии. По определению гомотетии с коэффициентом Л вектор ОДХ переходит в вектор ОЛХ* = ЛОЛХ. Если Π— начало координат, координаты точек М и М* будут связаны равенствами х =Лх, у* =Лу.
102 Гл. 11'. Преобразования плоскости Гомотетия аффинное преобразование. П р и мер 7. Преобразование, сопоставляющее каждой точке плоскости одну и ту же точку С, записывается формулами х' = см у' = сг, где сг и сг координаты точки С. Оно линейное, но не аффинное. Определение аффинного преобразования содержит упоминание о некоторой определенной системе координат, и заранее не известно, будет ли преобразование записываться формулами вида (3) в какой- либо другой системе координат.
Устраним это сомнение. Предложение 3. В любой декартовой системе координат, линейное преобразование задается формулами вида (3). ,Ч о к а з а т е л ь с т в о. Пусть преобразование задано равенствами (3) в системе координат О, ег., ег. Перейдем к системе координат О', е~г, е!г. Как мы знаем, старые координаты точки М(х, у) выражаются через новые координаты (х', у') по формулам (7) 23 гл. 1: х = огх'+,'Згу'+ 71, у = огх'+ Дгу'+ 72. (б) Для образа М* точки ЛХ цам нужно будет, наоборот, выразить новые координаты (х",у'*) через его старые координаты (х*,у*). Они выражаются такими же формулами, разумеется, с другими коэффициентами: х * = Лгх* + Р1У* + ог, У * = Лгх* + РгУ* + иг.
Нам требуетсн найти выражение новых координат (х'*,у'*) точки ЛХ* через новые координаты (х',у') точки ЛХ. С этой целью подставим в равенства (6) значения х* и у из формул (3): х'* = Л1 (а, х + Ьг у + с1 ) + дг (а ах + Ьг у + сг ) + и1, У" = Лг(агх + Ь1У+ сг) + 1гг(агх+ ЬгУ+ сг) + ог. Для нас важно, что правые части этих равенств — многочлены степени не выше 1 относительно х н у; х =Агх+ВгУ+Сг, У*=Агх+ВгУ+Сг. (7) Подставив сюда выражения х и у по формулам (5), мы найдем исколгую зависимость: х" = Аг(сггх'+ Д1у'+",1) + Вг(сггх'+ Дгу'+ у.
) + Сг, У'* = Аг(огх' + Д1Р' + й) + Вг(огх'+ 13гУ' + 12) + Сг. Мы видим, что правые части этих равенств "- многочлены степени не выше 1 относительно т' и у'. Это нам и требовалось доказать. Зак|стим, что аффинные преобразования выделяются из линейных требованием взаимной однозначности, которое не зависит от системы координат. Поэтому без дополнительных проверок мы можем быть уверены, что формулы, задающие аффинное преобразование в новой системс координат, удовлетворяют условию (4). 3. Произведение линейных преобразований.
Доказательство предложения 3 было основано на том, что результат подстановки Хх. Линейные преобразован««л «03 многочленов степени не выше 1 в многочлен степени не выше 1 оказываетсл таким же многочленом. Это же обстоятельство лои«ит в основе следующего предложения. Предложение 4. Произведение линейных преобразований является линейка«м преобразованием. Произведение аффинных преобразований аффинное преобразование. Доказательство Пусть заданы линейные преобразования Х и д и выбрана система координат.
Тогда координаты точки Х(ЛХ) выражаются через координаты точки М формулами т.* = а«х+ Ь«у+ сы у* = азх+ Ь у+ сз, (3) а координаты точки й(Х(ЛХ)) через координаты точки Х(ЛХ) формулами х*' = «1«х*+е«д'+фи д'* = бах*+еду'+ Хз*. (9) Подстановка равенств (9) в (8) выражает координаты а(Х(М)) через координаты М. В результате подстановки мы получаем многочлены степени не выше 1, что и доказывает первую часть предложения. Длн доказательства второй части достаточно вспомнить, что по предложению 1 31 произведение двух взаимно однозначных преобразований взаимно однозначно. П р ед ложе н и е 5.
Преобразование, обратное аффинному преобразованию, также являетсл аффинным. Если преобразование Х записано уравнениями (3), то координатная запись его обратного преобразования получается решением уравнений (3) относительно х и у. Для того чтобы решить эти уравнения, умножим первое из них на Ьз, второе —. на Ь«и вычтем одно уравнение из другого.
Л1ы получим (а, Ьз — азЬ«)х = Ьз(х — с«) — Ь«(у — «з). Из условия (4) следует, что х — линейный многочлен от х' и у*. Выражение длн д получается аналогично. 4. Образ вектора при линейном преобразовании. Рассмотрим вектор ЛХ,Мги Если координаты точек ЛХ«и ЛХз в системе координат О, еы ез обозначить соответственно х,, у««и ха, уз, то компоненты вектора будут равны хз — х«и уз — ды Пусть формулы (3) задают преобразование Х в выбранной системе координат. Тогда образы ЛХ* и ЛХ* точек ЛХз и ЛХ«имеют абсциссы хз — — а,хз + Ь«дз + сы х« — — а«х, + Ь,д, + с,. Следовательно, первая компонента вектораЛХ,*ЛХ,* равна х,' — х« — — аз(хз — х~) + Ь«(уз — у«).
Аналогично находим вторую компоненту этого вектора дз — У1 = аз(гз — х!) -ь Ьз(уз д«) Обратим внимание на то, что компоненты Л|,"Мз выража«ется только через компоненты ЛХ«ЛХз, а не через координаты точек ЛХ« Гл. 11л. Преоброзовонил плоскости 104 и ЛХ2 по отдельности. Два равных вектора имеют одинаковые компоненты и, следовательно, при линейном преобразовании перейдут в векторы, компоненты которых также одинаковы.
Итак, мы получаем Предложение 6. При линейном преобразовании равные ввнкпоры переходят в ровные векторы. Коллпоненты ск,*, аз образа вектора выралсаютсл через его компоненты ак, аг формулалси а,* = акал+ Ькскг, Е10) аг = азад + Ьга . Если быть точным, говорить об образе вектора при преобразовании Е неправильно: преобразование отображает точки, а не некторы. Точнее было бы сказать, что Е порождает преобразование Е множества векторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
