Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Директрисой параболы называется прямая с уравнением х = — р/2 в канонической системе координат (Рб) на рис. 37). Ху. Эллипс, гипербола и парабола 77 Предложение 13. Расстояние от точки М(х,у), лежащей на параболе., до фокуса равно г=х+ р.
2 (1б) Для доказательства вычислим квадрат расстояния от точки М(х, у) до фокуса по координатам этих точек; га = (х— — р/2)~ + уг и подставим сюда уг из канони- р!2 р72 ческого уравнения параболы. Л!ы получаем гг = (х — Р) + 2рт = (х+ Р) р е, Отсюда в силу х > О следует равенство (16). Заметим, что расстояние от точки ЛХ до директрисы по формуле 9 2 2 гл. П также равно д = х -~- —. 2 ЛХ Отсюда вытекает необходимость следующего условин. Рис. 37. п=а Предложение 14. Для того чтобы точка М лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы эгпой параболы. Докажем достаточность.
Пусть точка ЛХ(х, у) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы: 1 ( 2) 2 Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные чле- ны, мы получаем из него уравнение параболы (15). Это заканчивает доказательство. Параболе приписывается эксцентриситет в = 1. В силу этого соглашения формула верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы. Выведем уравнение касательной к параболе в точке ЛХо(хо,уо), лежащей на ней. Пусть уо ф О.
Через точку ЛХо проходит график функции у = Х(х), целиком лежащий на параболе. (Это у = тХ2рх хили же у = = — т/2рхп смотря по знаку уо.) Для функции Х(х) выполнено тождество (Х(х))2 = 2рх, дифференцируя которое имеем 2 Х(х)Х'(х) = 2р. Подставляя х = хо и Х(хо) = уо, находим Х'(хо) = р7'уо Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе у уо = — (х — хо). р уп Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что у~г = 2рхо. Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид ууо = р(х + хо) г"л. ХП. Линии и поверхности второго порядка Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив уо ф О, уравнение (17) превращается в уравнение х = О, т.
е. в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение (17) справедливо для любой точки на параболе. Предложение 15. Касательная к параболе в точке ЛХо есть биссектриса угли, смежного с углом между отрезком, который соединяет ЛХо с фокусом, и лучом, выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 38).
Доказательство Рассмотрим касательную в точке ЛХо(хо,уо). Из уравнения (17) получаем ее направлнющий нектар у(уо,р). Значит, )ъ,ег) = уо и сов уй = уо! ~у~. Вектор РЛХо имеет компоненты хо — р1'2 и уо, а потому ЖЛХо, у) = хоро — - уо + руо = уо) хо + -). р1 2' ' )~ 2) Но ~ЕИо~ = хо + Р)2. СлсДовательно, сов 1ог = Уо)~м~, Это заканчивает доказательство. Заметим, что ~ГХ~ = ~р'Мо~ (см. рис. 38). Упражнения 1.
Докал1ите, что вершины гиперболы и точки пересечении ее асимптот с директрисами лежат на одной окружности. 2. Фокус эллипса (гиперболы или параболы) делит проходящую через него хорду на отрезки длины и н е. Докажите, что сумма 11и -~- 1)о постоянна. 3. Выведите уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат, приняв за полюс фокус, а за полярную ось -луч, лежащий на оси симметрии и не пересекающий директрису, соответствующую данному фокусу. 4. На плоскости нарисованы эллипс н парабола вместе с нх осями симметрии. Как с помощью циркуля и линейки построить их фокусы и директрисы7 Тот же вопрос относительно гиперболы. у которой нарисованы асимптоты.
(Задача построения осей симметрии и асимптот решается на основании материала 8 3.) б. Пусть и и е - длины двух взаимно перпендикулнрных радиусов эллипса. Найдите сумму 11и + 11о . б. Найдите кратчайшее расстояние от параболы у = 12х до примой х— — у-87=8. 7. Докажите, что отрезок касательной, заключенный между асимптотами гиперболы, делится пополам точкой касания. 8. В уравнение касательной к эллипсу (8) в качестве хь и уь подставлены координаты точки, лежащей не на эллипсе, а вне эллипса. Как расположена получившаяся прямая7 9. Нз точки на директрисе проведены две касательные к параболе. Докажите, что онн взаимно перпендикулярны, и отрезок, соединяющий точки касания, проходит через фокус.
дХ Линия второго порлдна, заданная олигим уравнением 79 9 3. Линия второго порядка, заданная общим уравнением 1. Пересечение линии второго порядка и прямой. Рассмотрим линию второго порядка, заданную общим уравнением Ахг + 2Вту + Суг + 2Рх+ 2ЕУ+ Е = 0 (1) в декартовой системе координат, и исследуем пересечение этой линии с произвольной прямой х =хо+СИ, у =уо+13й (2) Значения параметра г, соответствующие точкам пересечения, должны удовлетворять уравнению, получаен|ому подстановкой (2) в (1): А(хо + Ы) + 2В(хо + М)(уо + л61) + С(уо + Я)9+ +2Р(хо+ пг)+2Е(уо+Я+Р = О. (3) Раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы получим уравнение Р1' -~- 2л„Лг + В = О, (4) в котором Р = Аоз + 2ВглД + С~а, Я = (.4хо + Вуо + Р) о + (Вхо + Суо + Е) В, (6) или, при другой группировке слагаемых, Я = (Ао+ВЯхо+ (Во+Самуе+ Ро+Елб.
(7) Свободный член — это значение многочлена при 1 = О, т. е. В = Ахо+ 2Вхоуо+ Суо +2Рхо+2Еуо+ Е = О (6) Вообще говоря, уравнение (4) квадратное, имеет не больше двух корней, и прямая пересекает линию или в двух точках, или в одной точке (кратные корни), или не пересекает ее (комплексные корни). Но возможны "исключительные" прямые, для которых Р = О, т. е. Апа + 2ВоВ + Срда = О, (9) и, следовательно, уравнение (4) является линейным. В этом случае оно имеет один корень при Ц ф О, а при л.,1 = 0 либо выполнено тождественно (если и В = 0), либо не имеет решений.
Следовательно, "исключительные" прямые или пересекают линию в единственной точке, или лежат на ней великом, или не имеют с ней общих точек. В равенство (9) не входят координаты начальной точки прямой. Кроме того, оно остается справедливым, если умножить о и лЗ на общий ненулевой множитель. О п р е д ел е и и е. Направление, определяемое вектором, компоненты которого удовлетворяют уравнению (9), называется асимптотичесним направлением линии второго порядка. 80 Гл. 1П. Линии и поверхности второго порядки 2. Тип линии. Выясним, сколько асимптотических направлений может иметь линия второго порядка. Обозначив А В В С сформулируем следующее Предложение 1.
Линия второго порядка имеет два асимптотических направления, если б < О, одно, если б = О, и ни одного, если б > О. Доказательство. Рассмотрим несколько случаев. 1) Пусть А = С = О. Тогда В ф 0 и б = — Вг < О. Уравнение (9) имеет вид 2Всхд = О, и ему удовлетворнют векторы (1, 0) и (О, 1). 2) Пусть С р': О. Тогда вектор (О, 1) не является решением этого уравнения, и каждое решение можно задать угловым коэффициентом й = о1сг, удовлетворяюшим уравнению С1л + 2Вй+ А = О.
Дискриминант этого уравнения равен Вг — АС = — б. Следовательно, оно имеет два вещественных корин при б < О, один корень при О = 0 и не имеет вещественных корней при б > О. 3) Случай А ф 0 исследуется аналогично случаю 2, только нужно рассматривать нс угловой коэффициент, а отношение о1'о. Поскольку разобранные выше случаи исчерпывают все возможности, предложение доказано.
От противного нетрудно проверить, что и обратно число асимптотических направлений определяет знак О. Мы определили асимптотическис направления при помощи аналитического условия (9). Поэтому в принципе при изменении системы координат асимптотическое направление могло бы перестать быть асимптотическим, или, наоборот, обыкновенное направление стать асимптотическим. Из геометрического смысла асимптотических направлений видно, что в действительности асимптотические направления не зависят от выбора системы координат. Используя канонические уравнения, легко проверить, что эллипс не имеет асимптотив ческих направлений, парабола имеет одно, а гипербола — два асимптотических направле- Рес. 39 ния (рис.
39). Поэтому линии второго порядка называются лининми гиперболического, параболического или эллиптического типа, смотря по тому, имеют они два, одно или не имеют ни одного асимптотического направленин. Для линий гиперболического типа б < О, для параболического типа б = О, а для эллиптического б > О. 3. Диаметр линии второго порядка. Назовем хордой любой отрезок, концы которого лежат на линии, а остальные точки на ней 4Х Линия второго порядка, заданная общин уравнениелг 81 не лежат. Таким образом, хорда не может имгеть асимптотического направления.
Предположим, что рассматриваемая линия второго порядка имеет по крайней мере одну хорду. Этому условию удовлетворяют эллипсы, гиперболы, пары пересекающихся прямых, параболы и пары параллельных прямых. Мо Фиксируем какое-нибудь неасимптотическое направление и исследуем множество середин хорд, имеющих это направление. Если начальная точка Рис. 40 Мо(хо, уо) секущей (2) находится в середине хорды, то корни уравнения (4) равны по абсолютной величине и отличаются знаком (рис.
40). Это будет так в том и только том случае, когда 1'1 = О. Используя (7), мы получаем, что середины хорд направления (гт,??)~ лежат на прямой (Ао+ В?))х+ (Вп+ СДз)у+ Ргт+ ЕД = О. (10) Определение. Прямая (10) называется диазнетрвм пинии второго порядка, сопряженным направлению (гг, Д). Стоит обратить внимание на то. что диаметром называется вся прямая.
Это не означает, что середины хорд заполняют ее целиком. Так может быть, но возмоягно также, что множество середин хорд естви напРимеР, отРсзок или лУч. Конечно, остается сомнение, действительно ли уравнение (10) определяет прямую: не окажутся ли в нем коэффициенты при переменных оба равными нулю'? Допустим, что это так, т. е. Ао+ ВД = О, Вгг+ СД = О. Умпожим первое из этих равенств на сг, второе на,З и сложим. Мы получим равенство (9), которое по предположению не имеет места. Следовательно, уравнение (10) определнет прямую. 4. Центр линии второго порядка.
Обозначим левую часть ураннения (1) через Ф(х, у) и введем О и редел ение. Точка 0(л:в, уо) называетсн центром линии второго порядка Ф(х, у) = О, если для любого вектора а(о, ~3) выполнено равенство Ф(хо + вь Уо + М = Ф (хо — гг, Уо — Д). (11) По-видимому, это определение зависит от выбора системы координат, так как в нем участвует нс линия, а многочлен, стоящий в левой части ее уравнения. Допустим, что координаты (хо, уо) точки 0 в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению (11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
