Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Вектор р = [а,,аз] перпендикулярен обеим прямым. Следовательно, плоскость (г — гы аы [аы аз]) = О [11) проходит через первую прямую и общий перпендикуляр к обеим прямым [рис. 26), а плоскость О [г — гз,аз, [ам ах]) = О [12) Рас. 26 г"л. 11. ХХрлмые ликии и плоскости через вторую прямую и общий перпендикуляр. Поэтому общий перпендикуляр можно задать системой уравнений (11), (12). Чтобы найти его начальную точку, можно решить совместно уравнение первой прямой и плоскости (12). Направляющий вектор (ам аз).
10. Пучок прнмых. Пучком прлмых на плоскости называется множество прямых, проходящих через фиксированную точку центр пучка. Пусть Агх+ В«у+ С« = 0 и Агх+ Вгу+ Сз = 0 уравнения двух прямых, принадлежащих пучку. Тогда уравнение сх(А«х + В«у + Сг) + Д(Азх + Вгу + Сг) = 0 (13) при условии ое + Д~ ~ 0 называется уравнением пучка прямых. Основанием для этого служит Предложение 3.
ХХри любых о и Д (ох+ «Хз ф 0) уравнение. (13) определяет прямую линию, принадлежащую пучку. Обратно, уравнение каждой прямой из пучка представимо в виде (13). Донате«и сначала, что коэффициенты при переменных в уравнении (13) не равны нулю одновременно. Для этого перепишем его в виде (оА« + «ЗАз)х + (оВ, + «3Вз) у + (ггС«+ ЗСз) = О. Допустим, что сеА« + ДАз = 0 и оВ« + ДВг = О.
Так как прямые пересекаются, А«Вз — АзВ« ф 0 и из предложения 9 32 вытекает, что значения о = О, «3 = 0 единственные, которые удовлетворяют этим двум равенствам. Но эти значения мы исключили. Таким образом, уравнение (13) определяет прлмую линию. Обозначим через хо, уо координаты центра пучка. По условию А«хо+ В«ус+ С« = О. Агхо+ Вгуо+ Сх = О, а потому хо, уо удовлетворяют уравнению (13), и прямая проходит через центр пучка. Вторая часть предложения будет доказана, если окажется, что через любую точку, отличную от центра пу «ка Мо, проходит пряман линия с уравнением вида (13).
Легко проверить, так ли это. Рассмотрим точку ЛХ«(хы у«), отличную от ЛХо, и обозначим и = А«х«+ Вгуг + Сы и = Азхг + Вгу«+ Сг. Так как наши прямые имеют только одну общую точку, числа и и о одновременно не равны нулю, и мы вправе положить н = — и, Х1 = и. При таких значениях о и Д координаты точки ЛХ«удовлетворяют уравнению (13). Это означает, что соответствующая этим значениям прямая пучка проходит через Л1ы и предложение доказано. Заметим, что каждая пара чисел о и «3 (сез + «3з ~ 0) определяет в пучке единственную прямую, но каячдой прямой соответствуют бесконечно много пропорциональных между собой пар чисел.
Если нам известны координаты центра пучка, то уравнение пучка можно написать в виде о(х — хо) + Д(у — уо) = О, 43. Основные задачи о пулмых и плоскостях положив, что пучок определяется прямыми х — хо = О и у — уо = О. Впрочем, и без того очевидно, что это -. уравнение произвольной прямой, проходящей через ЛХо. Посмотрим на уравнение пучка прямых с несколько более обшей точки зрения.
Систему из уравнений прямых, определяющих пучок, можно рассматривать как уравнение центра пучка. Поэтому уравнение каждой прямой пучка есть следствие этой системы. Теперь наш результат можно сформулировать так. Предложение 4. Если система линейных уравнений имеет решение, тв некоторое линейное уравнение является ее следствием тогда и только тогда, когда оно есть сумма уравнений системы, умноженных иа какие-то числа.
Мы доказали это предложение для частного случая систем из двух уравнений с двумя неизвестными. В общем виде оно вытекает из результатов гл. Ъ' о системах линейных уравнений. Другими геометрическими интерпретациями этого предложения являются пучки и связки плоскостей. Пучком плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через фиксированную прямую — — ось пучка.
Уравнение пучка плоскостей имеет вид о(Ахх+ В,у+ Схх+ Рх) + П(Агх+ Взу+ Сгг+ Рг) = О, где ог + Пг ~ О, а в скобках стоят левые части уравнений двух различных плоскостей пучка. Связкой плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через фиксированную точку . - центр связки. Уравнение связки плоскостей имеет вид о(Азх+ Вху+ Сзг+ Рз) + П(Лгх+ Вгу+ Сгг+ Р ) + +.у(Азх+ Взу+ Сзг+ Рз) = О, где ог +,Зг + уг ~ О, а в скобках стоит левые части уравнений плоскостей связки, имеющих центр своей единственной общей точкой.
Предоставим читателю самостоятельно вывести эти уравнения, если он пожелает. 11. О геометрическом смысле порядка алгебраической линии. Пусть на плоскости дана алгебраическая линия Ь, имеющая в декартовой системе координат ура>знение Аз хь'у" + ... + А„х"'у' = О. (14) Рассмотрим произвольную прямую с параметрическими уравнениями х = хо+ ахь, у = уо+ агй (1б) Найдем точки пересечения Ь и прямой липин. Они будут известны, если мы найдем соответствующие им значения параметра й Это будут те значения, при которых х и у, выраженные по форму- гл.
В. Прлмие ликии и плоскости лам (15), удовлетворяют уравнению (14). Подставим (15) в (14): .4~(хо+ аг1)~'(ув+ аг1)ц + ... + А,(хо + аг1)~'(уо + аг1)ц = 0 (16) Раскрывая скобки в каждом члене, мы получим мпогочлены относительно 1 степеней йг + 1ы ..., К, + 1,. Их сумма будет многочленом, степень которого не выше, чем максимальнал из степеней слагаемых. Но максимальное из чисел кг +1ы ..., к, + 1„-- это порядок линии г,.
Поэтому степень уравнения (16) не превосходит порядка линии. Может, конечно, случиться, что все коэффициенты этого уравнения равны нулю, и оно представляет собой тождество. Если исключить этот случай, то число корней уравнения и, следовательно, число точек пересечения не превосходит порядка линии. Мы доказали Предложение 5. Число точек пересечения алгебраической линии с прялгой, которая на ней не лежит целиком, ке превосходит порядка линии. Существуют линии, которые ни с одной прямой це имеют в принципе возможного числа точек пересечения, равного порядку линии. Примерами могут служить линии с уравнениями хг + у~ = 0 или ( л+уз)з Пример. Архимедова спираль -- линия с уравнением г = сир в полярной системе координат пересекает каждую прямую, проходящую через полюс, в бесконечном числе точек.
Следовательно, она не нвляется алгебраической линией. Упражнения 1. В декартовой прямоугольной системе координат даны координаты вершин треугольника А(20, — 1о), В( — 16, 0) и С( — 8, 6). Найдите координаты центра и радиус округкности, вписанной в треугольник. 2. Начало координат лежит в одном нз углов, образованных прямыми с уравнениями Агх+ Вгу+ Сг = 0 и А х+ В у+ С. = О.
При каком необходимом н достаточном условии аа коэффициенты уравневнй этот угол острый? 3. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и пересекающей прямые с уравнениями х = 1 Ч- 2й у = 2 -Ь 3й л = — 1 и х = 4й у = 5 — бй л = 3 + 20 4. В декартовой прямоугольной системе координат найдите координаты центра и радиус сферы, проходящей через точку А(0, 1, 0) и касающейся плоскостей с уравпеннлми х + у = О, х — у = 0 и х + у + 4- = О. 5. В декартовой прямоугольной системе координат давы координаты вершин треугольника .4(1, 2, 3), В(1,5, — 1) и С(5,3, — 5).
Найдите координаты центра окружности, описанной около треугольника. 6. Напишите уравневия прямой, которая паралаельна прямой г = га -Ь ч-асс и пересекает прямые г = гг + ад и г = г -ь а к ГЛАНА Ш ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2 1. Исследование уравнении второго порядка В общей декартовой системе координат линия второго порядка может быть задана уравнением' Атз+ 2Вху -р Суз + 2Рх+ 2Ьу+ Р = О, % в котором коэффициенты А, В и С не равны нулю одновременно. Исследуем множество точек, которые ему удонлетворяют, не предполагая заранее, что хоть одна такая точка существует. С этой целью мы будем менять систему координат так, чтобы уравнение стало возможно проще.
С самого начала можно считать систему координат декартовой прямоугольной, так как при переходе к прямоугольной системе координат общий вид уравнения (1) не изменитсн. Нри повороте базиса декартовой прямоугольной системы координат на угол р старые координаты точки х,у будут связаны с ее новыми координатами х', у' формулами (8) 2 3 гл. 1 х = х'соясо — у яшр, у = х'яшцз+у'соя:р. В новых координатах уравнение (1) примет вид А(х' соя ьз — у' яш ф' + 2В(х' соя р — у' я1п Чз) х х(х'гйп со+ у'совр) + С(х'я1пуз+ у'сояЧз)~ + ... = О. Здесь многоточием обозначены члены первой степени относительно х', у' и свободный член, которые нет необходимости выписывать.
Нас будет интересовать член с произведением х'у' в преобразованном уравнении. В невыписанные члены это произведение не входит, и л1ы подсчитаем, что половина коэффициента при х'у' есть В' = —.Ая1пцзсояцз+ В(сояз аз — яшз,р) + Ся1псзсоя~р. Если В = О, то поворачивать систему координат не будем. Если же В ф ф О, то ныберем угол р так, чтобы В' обратилось в нуль. Это требование принсдет к уравнению 2Всоя2ьо = (А — С) яш2д.
(2) Если А = С, то соя 2цз = О, и можно положить р = т14. Если же А ~ С, 1 Г 2В то выбираем р = — агс18 ~ ~. Для нас сейчас важно то, что хоть 2 *) Козффициенты при произволении переменных и при их первых степенях обозначены 2В, 2Р и 2Е, так как ниже часто будут употребляться половины этих козффициентов, Рл. 1П. Линии и поверхности второго порядка 66 один такой угол обязательно существует.
После поворота системы координат на этот угол линия будет иметь уравнение А'х'г + С'у" + 2Л'х'+ 2Е'у'+ Г' = О. (3) Выражения для коэффициентов уравнения (3) через коэффициенты (1) подсчитать не трудно, но это не нужно. Теперь коэффициент при произведении переменных равен нулю, а остальные члены мы по- прежнему считаем произвольными. Сформулируем следующее вспомогательное Предложение 1.
Если в уравнение (3) входит с ненулввылг коэффициентом квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координатна В самом деле. пусть, например, А' ~ О. Перепишем (3) в виде 1У ~а Ер2 А' Аа/ А' Если мы сделаем перенос начала координат, определяемый формулами хн = х' + 11'1А', ун = у', то уравнение приведется к виду как и требовалось. А. Предположим, что А'С' ф О, т. е. оба коэффициента отличны от нуля.
Согласно предложению 1 при помощи переноса начала координат уравнение приведется к виду А'х' + С у + Е ' = О. (4) Могут быть сделаны следующие предполоячения относительно знаков коэффициентов в этом уравнении. А1. А'С' > О коэффициенты А' и С' имеют один знак. Для Рн имеются следующие три возможности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
