Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Линии и поверхности второго порядка нением х = — а/е по форхиуле (9) 2 3 гл. 11 равно дг = х+ — = — (ех+а). а 1 г е Из формулы (4) мы видим теперь, что гг/ь1г = г. Обратно, пусть для какой-то точки плоскости г<Хдг = е, т. е. 7(*+ г -'= (*е-') Так как е = сХа, это равенство легко приводится к виду (6), из которого, как мы знаем, следует уравнение эллипса. Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть ЛХо(хо,уо) - точка на эллипсе и уо у'= О. Через ЛХо проходит график некоторой функции у = Х(х), который цели'., (к, ° ь, ь ° .ь ь ь,(,ь =ьььь — *7Р, гг ь--.ье ЬЬкЬ=-ь,Г- г7г.н.ь ...н.ь,,ь, значим подходящую функцию Х(х).) для нее выполнено тождество 1Х(хИг аг Ьь Дифференцируем его по х: 2х 2ХХ' —., + —,=О. аг Ьг Подставляя х = хо и Х(хо) = уо, находим производную от Х в точке хо, равную угловому коэффициенту касательной: г Ь Х 1хо) = — —,—.
а' уь Теперь мы можем написать уравнение касательной; Ь хьь У вЂ” Уо = — —., — 1х — хо). о- уь Упрощая это уравнение, учтем, что Ьгхг + агут = агЬг, так как ЛХо лежит на эллипсе. Результату моькно придать вид (8) При выводе уравнении (8) мы исключили вершины эллипса (а, О) и ( — а,О), положив уо ф О. Для этих точек оно превращается, соответственно, в уравнения х = а и х = — а. Эти уравнения определяют касательные в вершинах. Проверить это можно, заметив, что в вершинах х как функция от у достигает экстремума.
Предоставим читателю проделать это подробно и показать тем самым, что уравнение (8) определяет касательную для любой точки ЛХо(хо, уо) на эллипсе. Предложение 5. Касательная к эллипсу в точке ЛХо(хо,уо) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.
Уй. Эллипс, гипербола и ~арабвла 73 Доказательство Нам надо сравнить углы уг, и угг, составленные векторами г~ Мо и ргЛХо с вектором и, перпендикулярным касательной (рис. 31). Из уравнения (8) находим, что п(хогга,уо,гЬ2), и потому (КЫо,п) = —,(хо — с) + — '. ус = аг Ьг =1 — — ','= хгс с, — гхе аг а Рис. 31 Используя (4), мы получаем отсюда, что сог ~рг — — 1/(а~п~). Аналогично находим соя угг = 1/(а~п~). Предложение доказано. 2.
Гипербола. Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется ка- ионическим уравнением (9) а- "Ьг Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы ~х~ > а, т. е. все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины 2а (рис. 32).
Ось абсцисс канонической системы ко- Мг ег М ординат пересекает гиперболу в точках с координатами (а.,О) и ( — а,О), назыОе ваемых вершинами гиперболы. Ось ор- мг Мг динат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они на- Рис. 32 зываются ее ветвями. Числа а и Ь называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы. В точности так же, как и для эллипса, доказывается Предложение 6. Для гиперболы оси канонической систелог координат являются осями симметрии., а начало канонической системы — ивнтрвлг симметрии.
Длн исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в видо у = йх, посколысу мы уже знаем, что праман х = О не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения х Йгх а'-' Ьг Поэтому, если Ьг — агкг > О, то х=т аЬ чгР— агй-' Это позволяет указать координаты точек пересечения (аЬ7'в, оЬЬ,го) и Га. 1П. Линии и поверхности второго порядка ( — а61лц — лл66,го), где обозначено и = (Ьг — огйг)1л1г. В силу силлметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении 6 (рис.
33). Числитель дроби аЬлло постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при 6 = О. Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина (а,О). С ростом 6 знамонатель убывает, и х растет, стремясь к бесконечности, когда 6 Ркс.
ЗЗ приближается к числу 61ла. Прямая у = = Ьх1а с угловым коэффициентом Ь,Ла не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу. Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то 6 будет убывать, кг расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом — Ь,ла. К прямой у = — Ьхлла относится все, что было сказано о у = Ьхлла: она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих.
Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 33. Определение. Прямые с уравнениями у = Ьхлла и у = — Ьхлла в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. Запишем уравнения асимптот в виде Ьх — ау = О и Ьх+ау = О. Расстояния от точки ЛХ(х, у) до асимптот равны соответственно 6л=, 6г= )Ьх — ау( )ух+ ау( ног л-Ьг' члод+Ьг Если точка ЛХ находится на гиперболе, то Ьгхг — агуг = азЬг, и (Ь хг — а у~( агЬ аз+ Ьг аг+РР П ред л о жение 7. Проллзведенлле расстояний от точки гипербольл до асимптот постоянно и равно агуг1 (аг + 6~)Л.
Отсюда следует важное свойство асимптот. Предложение 8. Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю. Действительно, хотя бы одно из расстояний 6л или 6г при этих условиях должно неограниченно возрастать, и, если бы предложение было неверно, произведение не было бы постоянно. Введем число с, пологкив сг = аз + Ьз (10) Уу. Эллипс, гипербола и парабола и с > О. Фокусами гиперболы называются точки Ел и Ез с коорди- Рис. 34. аз=аз-~-Ьг Рис. 35.
сз — сл=2а; с, '— сз —— -2а натами (л50) и ( — г.,О) в канонической системе координат. Отношение е = с,ла, как и для эллипса, называется эксцентриситетом. У гиперболы е > 1. Предложение 9. Расстояния от произвольной точки М(х,у) ка гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы х: гл = ~рлМ~ = ~а — ех~, гз = ~Г М~ = ~а+ "х!. (11) Доказательство этого утверждения почти дословно совпадает с доказательствоьл предложения 2, и ьлы не будем его воспроизводить.
Заметим., что равенства (11) можно подробнее записать так: для правой ветви гиперболы (х > а) гл — — гх — а, гз = эх+а; для левой ветви гиперболы (х ( -а) гл — — а — ех, лз = — гх — а. Итак, для правой ветви гз — гл = 2а, а для левой ветви гл — гз = = 2а. В обоих случаях ~гг — гл) = 2и. (12) Предложение 10. Для того чтобы точка М лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной вели шке раен лось вещественной оси гиперболы 2а. Необходимость условии уже доказана. Для доказательства достаточности условия его нужно представить в виде чЛ* — г -~ »г = +'" + '(* -'- .) л-'- и.
Дальнейшее отличается от доказательства предложения 3 только тем, что нужно воспользоваться равенством (10), а не (2). Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в канонической системе координат уравненинми а о. х= —, х= — —. (13) Е г Директрисы лежат ближе к центру, чем вершины, и, следовательно, не пересекают гиперболу. Директриса и фокус, лежащие по одну сторону от центра, считаются соответствуюшими друг другу. тб Гл.
ХП. Линии и поверхности второго порядка Предложение 11. Для того чтобы тпочка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фоку- М са к расстоянию до соответствующей директрисы раен лось эксцентриситвту е (рис. 36). Доказательство повторяет доказательство предложения 4. Докажем, например, необходимость условия для фокуса Е ( — с, 0).
Пусть ЛХ'(х, у) точка гиперболы. Расстояние от ЛХ' до директрисы с уравнением х = — аХб по формуле (9) б 3 гл. П равно й = ~х-Ь вЂ” = — ~вх+ а~. Из формулы (11) мы видим теперь, что г'7'й' = г. Уравнение касательной к гиперболе в точке ЛХо(хо.уо), лежащей на ней, выводится так же, как соответствующее уравнение (8) для эллипса. Оно имеет вид :,в — — "",в = 1.
(14) Предложение 12. ХХасательнал к гиперболе в точке ЛХо(хо,уо) есть биссектриса угла между отрезками, соединяющими эту точку с фокусалщ. Доказательство почти не отличается от доказательства предложения 5. Рекомендуем читателю полностью провести доказательства этого и остальных утверждений, здесь сформулированных, но не доказанных для гиперболы. 3.
Парабола. Параболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоутольной системе координат определяется капоническиги уравнением уз = 2рх (15) при условии р > О. Из уравнении (15) вытекает, что для всех точек параболы х > О. Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы. Форма параболы известна из курса средней школы, где она нстречаетсн в качество графика функции у = ахг. Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством 2р = а '. Фокусом параболы называется точка Р с координатами (р/2,0) в канонической системе координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
