Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 15
Текст из файла (страница 15)
А1а. Знак Гн противоположен знаку А' и С'. Перенесем Ен в другую часть равенства и разделим на него. Уравнение примет вид ег ог (5) аг Ьг где аз = — Ро1А', Ьз = — Ро/С' Можно считатьи что в этом уравнении а, > О, Ь > О и а > Ь. Действительно, если последнее условие не выполнено, то могкно сделать дополнительную замену координат х = у, у = х (6) Определение.
Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (5) при условии а > Ь, называется эллипсом, уравнение называется каноническилг уравнением эллипса, а система координат — его канонической системой координат. При а = Ь уравнение (5) есть уравнение окружности радиуса а. Таким образом, окружность . частный случай эллипса. уй Нсслвдоваиив уравнвния второго порядка А16. Знак Гп совпадает с общим знаком А" и С". Тогда аналогично предыдущему мы можем привести уравнение к виду Пг Пг — + —, = — 1.
х у (7) аг Ьг Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, которое приводится к каноническому виду (7), называется уравнением мнимого эллипса. А1в. Г" = О. Уравнение имеет вид (8) Ему удовлетворяет только одна точка хп = О, уп = О. Уравнение, приводящееся к каноническому виду (8), называется уравнением пары мнимых пересекающихся прямых. Основанием для этого названия служит сходство с принеденным ниже уравнением (10). А2. А'С' ( 0 коэффициенты А' и С' имеют разные знаки.
Относительно Г" имеются следующие две возможности. А2а. Г" ф О. В случае необходимости, делая замену (6), мы можем считать, что знак Гп противоположен знаку А'. Тогда уравнение и иво итси к ви р д ду (9) аг Ьг где аг = — Го/А', Ь- = Гп/С'. Определение. Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (9), называется гиперболой, уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат ее канонической системой координат. А26. Г" = О.
Уравнение имеет вид (10) Кго левая часть разлагается на множители ахп — суп и ахп + суп и, следовательно, обращается н нуль тогда и только тогда, когда равен нулю хоть один из сампо'кителей. Поэтому линия с уравнением (10) состоит из днух прлмых. Эти прямые пересекаются в начале координат, и мы имеем, таким образом, пару пересекающихся прямых. Б. Допустим теперь, что А'С' = О, и, следовательно, один из коэффициентов А' или С' равен нулю. В случае необходимости, делая замену (6), мы можем считать, что А' = О.
При этом С' ~ О, так как иначе порядок уравнения был бы меньше двух. Используя предложение 1, мы приведем уравнение к виду пз+2УУ и+Гп Б1. Пусть Р' ~ О. Сгруппируем члены следующим образом: и С'упг+ 2Р'(хо+,) = О. Тл. 1П. Линии и поверхности второго порядка бз Перенесем начало координат вдоль оси абсцисс в соответствии с формулаьаи перехода х' = хн + Ео/211', у* = у".
Тогда уравнение примет вид Сну*а + 2Р'х* = О, или уса = 2рх', (11) где Р = — В'ггС'. Мы можем считать, что Р > О, так как в пРотивном случае можно сделать дополнительную замену координат, изменяющую направление оси абсцисс: х = -х*, у = у*. Определение. Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (11) при условии р > О, называется параболой, уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат . — ее канонической системой координат.
Б2. Допустилй что 11' = О. Уравнение имеет вид С'унг + Го = О. Относительно Г" есть следующие три возможности. Б2а. С'Тго ( Π— — знаки С' и Ео противоположны. Разделив па С', приведем уравнение к виду у — и =О. (12) Левая часть уравнения разлагается на множители ун+а и ун — а. Обращение в нуль каждого из них определяет прямую линию. Эти прямыо параллельны, и, таким образом, уравнение определяет пару параллельных прямых. Б2б. С'Ео > О -- знаки С' и с'о совпадают. Разделив на С', приведем уравнение к виду уггг+аг =О. (13) Этому уравнению пе удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, приводящееся к каноническому виду (13), называют уравнением пары мнимых параллельных прямых.
Б2в. Го = О. После деления на С' уравнение принимает вид (14) Это уравнение эквивалентно уравнению ун = О, и потому определяет прнмую линию. Уравнение, приводящееся к каноническому виду (14), называется уравнением пары совпавших прямых. Сооерем вместе полученные результаты. Теорема 1. Пусть в декартовой системе координат задано уравнение второго порядка (1). Тогда существует такал декартова прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов: 1) — '., + —,=1; 2) —,+ У, = — 1; 3) азхг+сгуг=О; ао Ьг ах Ьг 92. Эллипс, гипербола и парабола 4) —,, — — '",, = 1; 5) а'х' — стух = 0; 6) ут = 2рх; 7) уд — о, = 0; 8) ух + а = 0; 9) ух = О. В соответствии с этим существуют семь классов линий второго порядка: 1) эллипсы: 3) точки (пары мнимых пересекающихся прямых); 4) гиперболы; 5) пары пересекающихся прямых; 6) параболы; 7) пары параллельных прямых: 9) прямые (пары совпавших прямых).
Уравненинэ 2) мнимого эллипса и уравнению 8) пары мнимых параллельных прямых не удовлетворяет ни одна точка. Упражнения 1. Приведите к каноническому виду уравнение Зх + 10ху -~- Зу — 2х + 2у — 9 = О. 2. Приведите к каноническому виду уравнение 9х — 24ху -~- 1бу — 34х — 38у — 9 = О. 3. Какого класса линию может определять уравнение второго порядка, если его леван часть раскладывается в произведение линейных мночленов? 4. При каком условии на его коэффициенты уравнение второго порядка в декартовой прямоугольной системе координат является уравнением окружности? б.
Система координат удовлетворяет условиям ~е~~ = (е ~ = 5, (енес) = = 7. Какая линна определяется в этой системе координат уравнением х + +у'=1? 6. Докажите, что сумма коэффициентов Л + С в уравнении (1) не меняетсн прн переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой такой л е системе. 3 2. Эллипс, гипербола и парабола В предыдущем параграфе мы познакомились с классификацией линий второго порядка. Геометрические свойства только трех классов линий пе являются очевидными. Ими мы сейчас займемся. 1. Эллипс.
Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением — + — =1 у аг Ьг при условии а > Ь > О. Из уравнения (1) следует, что для всех точек эллипса ~х~ < а и ~у~ < Ь. Значит, эллипс лежит в прнмоугольнике со сторонами 2а и 2Ь. Точки перссеченин эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты (а, 0), ( — а, 0), (О, Ь) и (О, — Ь), называются вершинами эллипса. Числа а и Ь называются соответственно большой и малой полуослми эллипса. Гл.
111. Линии и поверхности второго порядки 70 В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты (х, у) какой-либо точки ЛХ ему удовлетворя- 6 ют, то ему удовлетворяют и координа- 1 ты ( — х, у), (х, — д) и ( — х, — у) точек ЛХг, ЛХ2 и ЛХз (рис.
27). Отсюда вытекает Предложение 1. Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а нач ло канонической 3 — 6 ~г системы его центром симметрии. Рпс. 27 Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса а с центром в центре эллипса: хг+ дг = аэ. При каждом х таком, что (х~ < а, найдутся две е, еьст:Эгг ру «е е ст:*'7Э. п1 р точка окружности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно ЬХа.
Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты Рис. 28. Здесь 6Хо=1Х2 Рис. 29 1зсех точек уменьшаютсл в одном и том же отношении Ь1а (рис. 28). С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые ого фокусами. Пусть по определению с =а — Ь (2) и с ) О. Фокусами называются точки Рг и Ег с координатами (с,0) и ( — с,0) в канонической системе координат (рис.
29). Для окружности с = О, и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью. Отношение (3) называется эксцентриситвтом эллипса. Отметим, что г < 1. Предложение 2. Расстояние от произвольной точки ЛХ(х, у), лежащей на эллипсе, до каждого иг фокусов (см.
рис. 29) является уз. Эллипс, гипербола и парабола 71 линейной функцией огп ее абсциссы х: т1 — — ~Г~ М~ = а — гх, гг = ~ГгМ~ = а, + ех, (4) Доказательство Очевидно, что г11 = 1х — с)~ + уг. подставим слода выражение для уг, найденное из уравнения эллипса. Ыы получим г =х — 2сх+с +Ь г,,г 2 г Ь х а- Учитывая равенство (2), это можно преобразовать к виду г, = а — 2сх+ — „= (а — ех) . г аТак как х < а и г < 1, отсюда следует, что справедливо первое из равенств (4); г1 — — а — гх.
Второе равенство доказывается аналогично. Предложение 3. /[ля того чтобы точка лежала на эллипсе., необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. Необходимость условия очевидна: если мы сложим равенства (4) почленно то ви им. что у д г1 + гг = 2а. (5) Докажем достаточность.
Пусть для точки ЛХ1х, у) выполнено условие (5), т. е. ч Ь - се - Ф = 1 — ч7*7 П' + Г. Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены: г(*'- г;-г (6) Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение (2). Мы придем к равенству Ьгхг+ агуг = = а'Ь-, равносильному уравнению эллипса (1). аг а С эллипсом связаны две заметгг гг 1 чательные прямые, называемые ег его директрисами Их уравнения 7 р, О еь Р~ п7г в канонической системе координат (рис.
30) х= —, х= — —. (7) Рис. зо Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону от центра, будем считать соответствующими друг другу. Предложение 4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса г. Докажем это предложение для фокуса Хг( — с,0). Пусть Ы1х, у) произвольная точка эллипса. Расстояние от ЯХ до директрисы с урав- ьл. ПХ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
