Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 19
Текст из файла (страница 19)
его координаты х — хо и д — до удовлетворяют тому же условию, что и (о,,В): (Ахо+ Вдо+ Р)(х — хо) + (Вхо+ Сдо+ Е)(д — до) = 0 (20) Это н есть уравнение касательной к линии Х, в точке ЛХо, лежащей на линии. Уравнение (20) можно записать и иначе, если заметить, что координаты ЛХо удовлетворяют уравнению (1) и, следовательно, (Ахо + Вдо + Р)хо + (Вхо + Сдо + Е)до + Рхо + Еде + Г = О. Прибавляя это равенство к (20) и группируя слагаемые, получим окончательное уравнение -4тхо+В(хдо+ ход) + Сддо+ Р(х+хо) + Е(д+до)+ Г = О.
(21) 8. Особые точки. Напомним, что особая точка линии второго порядка это ое центр, лежащий на линии. Исследуем, при каких условиях линия второго порядка имеет особую точку. Для координат (хо, до) особой точки должны быть справедливы равенства -4хо + Вдо + Р = 0 Вхо + Сдо + Е = 0 Ахо+ 2Входо+ Сдоо+ 2Рхо + 2Едо+ Х = О. Умногким первое из них на хо, второе на до и вычтем из третьего.
Мы получим эквивалентную систему уравнений 4хо + Вдо+ Р = О, Вхо + Сдо + Е = О, (22) Р о+Едо+Е=О. Выбором какой-нибудь базис в пространстве и рассмотрим вспомогательные векторы р(А, В, Р), Ч(В, С, Е) и г(Р, Е, Е). Равенства (22) представляют собой координатную запись векторного равенства хор + доЧ = (23) 8Х Линия второго порядка, заданная общим уравнением 87 Отсюда следует, что при наличии компланарны, и потому А В сэ= В С Р Е особой точки векторы р, з1 и г Р Е =О. Е (24) Унрангненин 1. Линия второго порядка описана около параллелограмма, если его вершины лезкат ва линии, а остальные точки на ней ае лежат. Докажите, что такая линия обязательно центральная,и центр ее совпадает с центром параллелограмма.
2. На плоскости нарисованы эллипс, гипербола и парабола. Как с помощью циркуля н линейки построить их осн симметрии н аснмптоты гиперболы? 3. Докажите„что сумма квадратов длна хорд, лежащих на сопряженных диаметрах эллипса, постоянна. 4. Не приводя уэоэвнение к каноническому виду, найдите центр н асимптоты гиперболы Зх -~- 10ху -~- Зу — 2х -~- 2у — 9 = О. Если линия центральная, то векторы р и с1 не коллинеарны, и условие компланарности (24) равносильно существованию разложения (23), т.
е. существованию решения системы (22). Рды получили Предложение 7. Центральная линия имеет особую точку тогда и только тогда, когда зл = О. Итак, сочетание б < О, зл = О характеризует пары пересекающихся прямых, а б > О, сь = О пары мнимых пересекающихся прямых. Рассмотрим нецентральные линии. Для них существует центр, хотя бы не являющийся особой точкой, тогда н только тогда, когда йь = О.
В этом (и только этом) случае векторы р и с1 коллинеарны. Действительно, так как б = О, по предложению 9 З 2 гл. П, если система уравнений (13) имеет решение, она равносильна одному из составляющих ее уравнений: либо коэффициенты и свободный член одного из уравнений равны нулю, либо коэффициенты и свободные члены обоих уравнений пропорциональны. Тогда Ь = О независимо от г.
Обратно, пусть для нецентральной линии зл = О. Докажем, что р и с1 коллинеарны, что равносильно совместности уравнений центра. Действительно, в противном случае г по ним раскладывается, и согласно (23) существует особая точка. Она центр, р и с1 коллинеарны, н мы получаем противоречие. Предложение 8.
Для нецентральных линий условие сь = О равносильно существованию центра, Итак, сочетание б = сь = О характеризует пары параллельных прямых (вещественных, мнимых или совпавших). Из предложений 7 и 8 следует, что равенство сх = О является инвариантным: оно не мозкет измениться при переходе к другой системе координат. Хль 1П. Линии и поверхности второго порядки 88 5. Нс приводя уравнение к каноническому виду, укажите класс ливии Зх Ч- 10ху -Ь Зу — 2х -Ь 2у — 1 = О.
6. Как разложить на множители левую часть уравнения из упр. б? 7. Напишите уравнение касательной к линии х — 2хуп- Зу = 3 в точке Мв(0, 1). З 4. Поверхности второго порядка Подобно тому как в З 2 были описаны все наиболее интересные линии второго порядка, в настоящем параграфе мы опишем важнейшие поверхности второго порядка, а полную классификацию таких поверхностей отложим до гл.
Ъ'|П. Составить себе общее представление о большинстве поверхностей второго порядка можно, рассматривая поверхности вращения линий второго порядка вокруг их осей симметрии. 1. Поверхности вращения. Поверхность Я называется поверхностью вращения с осью гХ, если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямой Н и лежат в плоскостях, перпендикулярных данной прямой. В основе этого определения лежит следующее представление.
Рассмотрим линию А, которая лежит в плоскости Р, проходящей через ось вращения г( (рис. 43), и будем вращать ее вокруг этой оси. Каждая точка линии опишет окружность, а вел линия . — поверхность вращения. Выберем начало декартовой прямоугольной систеьчы координат О,еы ег,ез на оси г(. вектор ез направим вдоль г(, а вектор ег поместим в плоскости Р. Таким образом, О,еыез декартова система координат в плоскости Р. Пусть линия Х, имеет в этой системе координат уравнение Д(х,х) = О. Рассмотрим точку ЛХ(х, у, х). '!ерез нее проходит окружность, которая имеет центр на оси г( и лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси.
Радиус окружности ранен расстоянию от ЛХ до оси, т. е. ьгхз х+ Уг. Точка ЛХ лежит на повеРхности вРашенип тогда и только тогда, когда на указанной окружности имеется точка Лум принадлежащая вращаемой линии Х. Точка ЛХг(хы уы г1) лежит в плоскости Р, и потому у1 — — О. Кроме того, х1 = х и ~х1~ = ьгхг + уз, так как ЛХг лежит на той же окружности, что и ЛХ. Координаты точки ЛХг удовлетворяют уравнению линии Х,: Д(хмхг) = О. Подставляя в это уравнение хг и гы мы получаем условие на координаты точки ЛХ, необходимое и достаточное 44.
Поверхности вжсрсгс пврпдпв 89 для того, чтобы ЛХ лежала на поверхности вращения Я: равенство )'(ж ГХ9+ рт,з) — О (» должно быть выполнено хотя бы при одном из двух знаков перед корнем. Это условие, которое можно записать также в виде 1 ( уг'хз + уз, х) 1 ( — ЪГР+ Ч2, х) = О., (2) и является уравнением поверхности вращения линии А вокруг оси И. 2.
Эллипсоид. Рассмотрим поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг его осей симметрии. Напранив век- ез е| е, Рис. 44. Сжатый (а) и вытянутый ГВ) эллипссипы враыения тор ез сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой оси, мы получим уравнения эллипса в следующих видах: х я я х — „+ — „=1, — „-~- —, =1. ае се ' ае се (Здесь через с обозначена малая полуось эллипса.) В силу форму- лы 1» уравнениями соответствующих поверхностей вращения будут е 2 Поверхности с такими уравнениями называются соответстненно сжатым и вытянутым зллипсвидами вращения (рис. 44).
Каждую точку Мрх, у, ) на сжатом эллипсоиде вращения сдвинем к плоскости р = О так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшилось в постоянном для всех точек отношении Л < < 1. После сдвига точка попадет в положение ЛХ'Гх', у', х'), где х' = з:, р' = Лр, Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с уравнением е1 Рис. 45 аз Ье с' (4) где 6 = Ла. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет уравнение 14), называется эллипсоидом 1рис.
45). Если Гл. 111. Линии и поверхности второго порядки 90 случайно окажется, что Ь = с, мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый. Эллипсоид так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения (4) видно, что начало канонической системы координат центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости -.. его плоскости симметрии. Эллипсоид можно получить из сферы хх + уз + хз = аз сжатиями к плоскостям у = О и х = О в отношениях Л = Ь/а и р = с/а. В этом параграфе нам часто придется прибегать к сжатию, и мы нс будем его каждый раз описывать столь подробно.
3. Конус второго порядка. Рассмотрим на плоскости Р пару пересекающихся прямых, задаваемую в системе координат О, ез, ез уравнением азт, — сзхх = О. Поверхность, получаемая вращением этой линии вокруг оси аппликат, имеет уравнение аз(х + у ) — с г = О (6) и носит название прямого кругового конуса (рис. 46). Сжатие к плоскости у = О переводит прямой круговой конус в поверхность с уравнением азх + Ь у- — с гз = О, (6) называемую конусом второго порядка. Обратите внимание на то, что левая часть урав- нения (6) однородная функция, и поверхность является конусом в смысле определения, введенного в ~ 1 гл. 11.
4. Одиополостный гиперболоид. Однопалостный гиперболоид вращения это поверхность вращения гиперболы —,— —,, =1 аз сг вокруг той оси, которая ее не пересекает. По формуле (1) мы получаем уравнение этой поверхности (рис. 47) — —,=1. (7) В результате сжатия однополостного гиРис. 47 перболоида вращения к плоскости у = О мы получаем однополостный гиперболоид с уравнением —, + —, — —, = 1. х у х , г г (8) аз Ьз сг Интересное свойство однополостного гиперболоида наличие у него прямолинейных образующих.
Так называются прямые линии, все- ХХ. Поверхности второго порлдка 91 ми своими точками лежащие на поверхности. Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две пряхлолинейные образую- щие, уравнения которых можно получить следующим образом. Уравнение (8) можно переписать в виде (-: с)(-:--:) =("~)('-~) Рассмотрим прямую линию с уравнениями д(-'+ -') = Л(1+ —,"), Л(-х — -') = р(1 — -"„), где Л и р — некоторые числа 1Лг + слг ~ 0). Координаты каждой точки прямой удовлетворяют обоим уравнениям, а следовательно, и уравне- нию 18), которое получается их почлепным перемножением. Поэтому каковы бы ни были Л и р, прямая с уравнениями (9) лежит на од- нополостном гиперболоиде. Таким образом, система (9) определнет семейство прямолинейных образующих. Второе семейство прямолинейных образующих определяетсн сис- (10) Л'(-* — -') = р'(1+ -",).
Покажем на примере, как найти образующие, проходящие через данную точку поверхности. Рассмотрим поверхность хз + у- — хл = = 1 и точку ЛХо(1,1,1) на ней. Подставлня координаты луХо в урав- нения 19), мы получаем условия на Л и ри 2Л = 2р и 0 Л = 0 .лл. Первое из них определяет Л и лл с точностью до общего множителя, но только с такой точностью они и нужны. Подставляя эти значе- ния в (9), получаем уравнения прямолинейной образующей х+г=1+у, х †с=1 в. Она проходит через ЛХо, так как Л и гл так и выбирались, чтобы ко- ординаты ЛХо удовлетворяли этой системе. Аналоглично, подставляя координаты Мо в (10), находим условия на Л' и ллй 2лл' = 0 и 2р' = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
