Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Г Матрицы и системы линейньи уравнений 118 Пример 2. Столбцы (4) ез = е~ = (в столбце е, на 1-м месте стоит 1, а остальныо элементы равны нулю) являются линейно независимыми. Действитольно, равенство сг1е1+ ... + оьев = о можно записать поДРобнее так: Отсюда видно, что гг1 — — оз = ... = ов = О. Это равенство показывает также, что произвольный столбец высоты и к|ожет быть разложен по столбцам е1, ..., е„. Действительно, в качестве коэффициентов линейной комбинации нужно взять элементы раскладываемого столбца. Определение. Квадратная матрица порядка и, состояп1ая из столбцов (4): 0 1 ... 0 0 0 называется единичной матрицей порядка и или просто единичной матрицей, если порядок известен. Строки единичной матрицы отличаются от ее столбцов только формой записи.
Итак, мы можем сформулировать Предложение 2. Столбцы (строки) единичной матрицы линейно независимы и обладают тем свойством, что каждый столбец (строка) с тем же числом элементов рас ладывается по ним. Укажем несколько свойств линейно зависимых и линейно независимых сист~м матриц. Эти свойства были доказаны в 8 1 гл.
1 для векторов, и доказательства совпадали с приводимыми ниже. Предложение 2. Система из й > 1 матриц линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы одна из матриц есть линейная комбинация остальных. В самом деле, пусть система линейно зависима. По определению выполнено равенство вида (3), где хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Допустим для определенности, что это сг1. Тогда мы можем представить первую матрицу как линейную комбинацию ог оь А1 = — — Аз — ... — — 11..
ГЛ1 О1 91. Матрицы 119 В = о1А1 + ... + сгьАь и В = АА1 + ... + ДьАю Вычитая одно разложение из другого, мы получаем О = (о1 — Д1)А1+ ... + (оь — ЯА1а Матрицы А1, ...,Аь линейно независимы, значит, си — 7), = 0 для всех 1 = 1, ..., 1ч Итак, коэффициенты обоих разложений совпадают. Упражнения 1 2 3 1. Дана матрииа 4 5 6 7 8 9 а) Выпишите подматрииу, располозкенную в строках 1 и 3 и столбцах1и3. б) Сколько квадратных подматрип второго порядка имеет ленная матрица? в) Сколько всего подматриц она имеет? 2 3 5 6 8 9 1 2 3 4 5 6 2.
Даны матрипы А = Можно ли сложить матрицы: а)АиВ; б)АгиВ; в)АиВ'; 1 1 3. Даны матрицы А = г) Аг и Втз 2 1 4 3 Обратно, если одна из матриц разложена по остальным, то это разложение преобразуется к виду (3), где один из коэффициентов равен 1. Предложение 4. Если некоторые из матриц А1, ...,А1. составляют сами по себе линейно зависимую систему, то вся система А1, ..., Аь линейно зависима. Действительно, пусть существует нетривиальная линейная комбинация некоторых из матриц системы, равная нулевой матрице. Если мы добавим к ней остальные матрицы с нулевыми коэффициентами, то получится равная нуленой матрипе нетривиальная линейная комбинация всех матриц.
В частности, если в систему матриц входит нулевая матрица, то систелга линейно зависима. Предложение 5. Любые матрицы, входящие в линейно независимую систему матриц, сами по себе линейно независимы. В самом деле, в противном случае мы пришли бы к противоречию на основании предыдущего предложения. Предложение 6. Если матрица В разложена по линейно независимой системе матриц А1, ...,.4ь, то коэффициенты разложения определены однозначно. Действительно, пусть мы иь1еем два разложения йл.
11. Матрицы и еиетелйы линейных уравнений 120 Вычислите матрицу 2А+ З — С. 4. С какими козффициеитами раскладывается матрица 1 2 4 ех по матрицам А и В и С из предыдущей задачи? 1 3 5. 54цжно ли разложить матрицу ? е по матрицам: а) А и В из задачи 3, б) АиВиСиззадачиЗ? б. Являются ли линейно независимыми строки а = а 1 2 3 4 у, Ь = () 2 3 4 5 (), с = )) 3 4 5 6 ))? Т. Убедитесь, что классы матриц, определенные в п. 3, замкнуты относительно операций сложения и умножения на число.
3 2. Умножение матриц аРй = аху Г., и и и 1л'й + ййй) = ~Рй -Ь ~~',4Ъ: й=1 й=1 й=1 (2) Если имеется выражение, зависящее от двух индексов, принимающих значения 1, ..., и и 1, ..., т, мы можем просуммировать снача- 1. Символ 2 . Прежде чез1 двигаться дальше, остановимся на обозначениях.
В математике часто приходится рассматривать суммы большого числа слагаемых, имеющих сходный вид и отличающихся только индексами. Для таких сумм принято следующее обозначение. Силзвол ~~, после которого стоит некоторое выражение, содержащее й=1 индекс Й, обозначает сумму таких выражений для всех значений индекса от 1 до и, наприлйер, и П Е пй = а1 + пз + ... + о„, ~~~ аййй = а1131 + ... + ае,Он. й=1 й=! Индекс й называется индексом сумлщроеония.
Разумеется, в качестве индекса суммирования может быть употреблена любая другая буква. На указанный символ и следующее за ним выражение люжно смотреть как па скобку, содержащую п однотипных слагаемых. Следующие формулы являются другой записью вынесения множителя за скобку и группировки слагаемых: п и 42. Умножение ма|арал |21 ла по одному из них, а затем полученные суммы по-другому: к(к',) (Скобки обычно не пишутся.) Эта двойнан сумма содержит слагаемые, соответствующие всевозможным парам значений индексов.
Если мы запишем Р| для всех | = 1, ..., а и | = 1, ..., га в виде матрицы, то сумма в скобках равна сумме элементов |-й строки, а во внешней сумые складываются результаты для всех строк. То же сан|ос число мы, конечно, получим, если сначала сложим элементы по столбцам, а затем просуммируем полученные суммы для всех столбцов. Поэтому ЕЕР" = ЕЕР" Р) |=| е=| |=| |=| 2.
Определение и примеры. Рассмотрим сначала строку а с элементами а, (г = 1, ..., п) и столбец Ь с элементами Ь. О = 1, ..., и). Существенно, что в а и в Ь число элементов одинаково. Произведением а на Ь называется число, равное сумме произведений элементов с одинаковыми номерами, т. е.
аЬ = а|Ь| + ... + а„Ьн. Пусть теперь дана матрица А размеров т, х и и матрица В размеров и х р. Матрицы таковы, что длина строки (число столбцов) первой матрицы равна высоте столбца (числу строк) второй. Умножим каждую строку А на каждый столбец В. Полученные тр произведений запишем в виде матрицы С размеров т х р. Именно, каждый столбец С составим из произведений всех строк А на соответствуюший столбец матрицы В.
Любая строка С состоит из произведений строки А, имеющей тот же номер, на все столбцы В. Таким образом, элементы матрицы С длн всех | = 1, ..., т и | = 1, ..., р равны п с| = р а|ьЬь . (4) ы= Определение. й!атрицу С, элементы которой выражаются через элементы матриц А и В по формулам (4), назовем произведением А на В и обозначим АВ.
Определение произведения матриц формулируется более сложно и выглядит менее естественно, чем определение суммы. Однако из дальнейшего читатель увидит, что именно такое определение оказывается полезным в целом риде вопросов. Как легко заметить, если матрицу В записать как строку из столбцов, то произведение АВ запишется как строка из столбцов так: АВ = А(! Ь| ...
Ь„/! = (( АЬ| ... АЬ„'й. 1л. Г Матрицы и еиетелеы линейнъее уравнений 122 а1В ат а В Приведем несколько примеров. Пример 1. Матрица А размеров т х п умнсйкается на столбец х высоты и а' х' + ... + а' хи 1 "' и а22.1 + + а21,и 1 1 1 а1 ... а, а1 " аи амт1 + .1 от ге и' от ... а"' и хи Это столбец высоты 1а. В обратном порядке эти матрицы при т ~ 1 перемножить нельзя: произведение хЛ не определено.
Правую часть последнего равенства можно записать также и как линейную комбинацию столбцов матрицы А (пример 1 21). Это показывает, что столбец Лх есть линейная комбинации столбцов матрицы А с коэффициентами, равными элементам столбца х1 Лх = т1а1 + ... + хиа„. П ример 2. Произведение строки длины 1п на матрицу В размеров 1п х и будет строкой длины и: Ь, '... Ь1 б21 ... бл |е ш Е х б Е Пример 3. Произведение столбца высоты га на строку длины и есть матрица размеров т х и; 1 2 Ха1 Хаз ...
Хаи 1 1 1 Хза1 Хзаз ... Хзаи да1 ... а„(! = Х а1 Хтае ... Х"'а„ Пример 4. Пусть А матрица размеров т х и, е, 1,'-й столбец единичной матрицы порядка 1п, а е1 у-й столбец единичной матрицы порядка и. Тогда е~Аез " матрица размеров 1 х 1 с эле- Действительно, для получения у-го столбца произведении мы умножаем последовательно все строки А на столбец Ь . Аналогично, строки ЛВ произведении строк А на матрицу В; 42. Умножение матриц сзз ментом а,: асс ... асн асн ... азн ет Ае = (! О ... 1 ...
О (! =а;. атС " ССтн П редлоск ение 1, у-й столбец матрицы АВ есть линейнал комбинация столбцов матрицы А с коэффициентами равными элементам С-го столбца матрицы В. с-я строка матрицы АВ есть линейная комбинация строк матрицы В с коэффициентами, равными элементам с-й строки матрицы А. Оба утверждения доказываются одинаково. Докажом первое. Мы видели, что с-й столбец произведения есть произведение А на с-й столбец В (форьсула (6)). Но произведение матрицы .4 на столбец "- это линейная комбинация столбцов А с элементами второго сомножителя в качестве коэффициентов (приьсер 1).
3. Свойства умножения матриц. Умножение матриц не коммутативно. Если А матрица размеров т х п, то оба произведения АВ и ВА определены только в том случае, когда В имеет размеры н х т, т. е. такие же, как .4с . При этом АВ квадратная матрица порядка ш, а ВА порядка н. Итак, о равенстве АВ = ВА может идти речь, только если А и В . квадратные матрицы одного порядка. Но и в этом случае равенство выполнено далеко не всегда.
Например, 1 1 О О 1 1 О О 1 1 О О О О 1 1 О О ' 1 1 О О 1 1 Если какие-нибудь две матрицы .4 и В удовлетворяют равенству АВ = ВА, то они называются перестановочньслси. Перестановочпые матрицы существуют. Например, единичная матрица порндка п перестановочна с любой квадратной матрицей того ясе порндка: ЛЕ=ЕА=А. (6) Вообще. осли определены произведения ВЕ и ЕС.
то ВЕ=В и ЕС=С. Предоставим читателю самостоятельно проверить это в качестве упражнения на умножение матриц. Равенства (6) выражают важное свойство единичной матрицы, которому она обязана своим названием. Если бы какая-нибудь друтая матрица Е' обладала этим свойством, мы имели бы Е'Е = Е и Е'Е = = Е', откуда следовало бы Е = Е'. Очевидно, что произведение нулевой матрицы О (справа или слева) на любую другую матрицу равно пулевой матрице; АО=О', ОВ=О". 124 Гл. Г Матрицы и системы линейнън уравнений (Размеры матриц О, О' и О", новь|ажно, различны.) Предложение 2. Умножение матриц ассоциативно, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
