Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 27
Текст из файла (страница 27)
если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А1ВС), и вьтолнено равенство (АВ)С = А(ВС). Действительно, пусть размеры матриц А, В и С соответственно равны т| хил, тн хпи и тс х пс. Если АВ определено, то пл = тн, и матрица АВ из|ест размеры т.| х пн. Поэтому, осли определено (АВ)Сг то пн = тс-.
Матрица АВ состоит из элементов ггА а,ьЬМ 11 = 1, ..., тл; 1 = 1, ..., пв) Ь=1 и, следовательно, элементы 1АВ)С имеют вид вв пг п|Ьы с|, (4 = 1,...,тл: в = 1, "гпс) (7) Ь=1 Поскольку пн = тс, определено произведение ВС. Его элементы вв ~ Ьыс|, (Й = 1, ...г гпв, :в = 1, ..., пс). |.=1 Так как пл = тв, определено произведение А(ВС) с элементами пл ,Г вв ~а,ь ~ ~~ Ьыс|, (4 = 1, ...,тл; в = 1г.,.,пс). (8) 1=1 |=1 В силу формул (1) и (3) выражения 17) и 18) совпадают, и наше утверждение доказано.
Предложение 3. Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению; если илгеет смысл выражение А1В+ С), то А1В+ С) = АВ+ АС, если имеет смысл выражение (В+ С)А, то (В + С)А = ВА+ СА. Обе части предложения доказываются одинакова.
Докажем первую из них. Очевидно, что В и С должны иметь одинаковые разы|еры т х пв а А размеры р х т 1р может быть любым). Выпишем элементы матрицы А(В + С) через элементы А, В и С: вг а„|1Ь1 +с; ) 1в=1,...,р; 1=1,...,п). г=| Раскроем скобки в каждом слагаемом и сгруппируем члены; гв т Е аггЬгз + ~ а„с; .
г=1 |=1 Эти суммы равны элементам матриц АВ и АС, стоящим в строке с номером в и столбце с номером 11 Утверждение доказано. Из формулы (1) следует такое свойство умножения матриц: 42. Умножение матриц Предложение 4. Если произведение АВ определено, то при люболз числе о о(АВ) = (оА)В = А(аВ). Предложение 5. Если определено произведение АВ, то определено и произведение Вт Ат и выполнено равенство 1 1В)т Вт т Д о к а з а т е л ь с т во. Пусть матрицы А и В имеют, соответственно, размеры т х и и и х р. В матрице АВ на пересечении 1-й строки и Зцго столбца стоит элемент п амЬлз (з = 1, ",гп; б = 1,".,р).
(9) ь=1 у-я строка матрицы Вт состоит из элементов Ьз й ..., Ь„, а г-й столбец матрицы Ат из элементов ап, ..., а„. Поэтому произведение ВтАт определено, и в нем на пересечении у-й строки и 1-го столбца стоит элемент и Ььуам (У = 1, ..., о; и = 1, ..ч т). ь=.1 Он совпадает с элементом (9), а индексы 1 и у принимают в обоих выражениях одни и тс же значения.
Этим предложение доказано. Последовательно применяя доказанную формулу, мы получим (А~Аз ... Аь) = Аь ... Аз А, . 4. Элементарные преобразовании. Элементарные матрицы. В этом пункте впервые появляются элементарные преобразования матриц. Они играют оольшую роль в теории матриц и широко используются в вычислениях. Определение. Ь1ы назовем элементарными преобразованиями строк матрицы следующие преобразования: 1) умножение строки на число, отличное от нуля; 2) прибавление одной строки к другой строке. Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы. Все, сказанное ниже об элементарных преобразованиях строк, переносится на элементарные преобразования столбцов.
Следуюшие более сложные преобразования получаются последовательным примонением нескольких элементарвых преобразований; а) прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число, в частности, вычитание одной строки из другой; б) перестановка двух строк. Покажем, как эти преобразования сводится к элементарным на примере матрицы, состоящей из двух строк а и Ь. Если в матрице есть еше строки, не участвующие в преобразованиях, они переписынаются без изменения; Гл.
Г Матрицы и системы линейнъее рравненцй 126 а ь аа оа Ь Ъ+па а Ъ+ оа а) а+Ь а+Ь Ь Ь вЂ” а — Ь б) а+Ь Ъ Ь вЂ” ь — э — а — а а Эти два типа преобразований также часто относят к числу элемен- 1 О и Ь а Ь О Л с д = Лс ЛА 1 О а, Ь а Ь 1 1 с д с+а е1+Ь Те матрицы, умножение на которые осуществляет элементарные преобразования, называются элементарными матрицами.
Последовательное выполнение нескольких элементарных преобразований строк осуществляется умножением слева на произведение со- тарных. При описании длинных последовательностей элементарных преобразований мы будем включать в последовательность преобразования этих двух типов, нс разлагая их на элементарныс.
Возможность вычитать одну строку из другой и отличие числового мпоя|ителя от нуля имеют следующее принципиальное значение: элементарные преобразовании обратимы. Это значит, что перейди от матрицы А к матрице В последовательностью элементарных преобразований, с помощью другой последовательности мы сможем вернуться от В к А. Каждое элементарное преобразование строк матрицы А размеров ги х п ранносильно умножению А слева на некоторую квадратную матрицу Я порядка т. При этом 5 пе зависит от А, а полностью определяется преобразованием, которое она осуществляет.
Именно, пусть 51 - матрица, получаемая из единичной матрицы Е порядка тп заменой 1-й единицы на диагонали на число Л ф О. Тогда матрица 51Л отличается от Л тем, что ее 1-я строка умножена на Л. Пусть Вз — матрица, которая отличается от Е заменой на единицу нулевого элемента на пересечении 1-й строки и у-го столбца. Умножение А слева на Яз равносильно прибавлению йцй строки к й-й, Оба утверждения доказываются одинаково.
Докажем второе. Рассмотрим строку матрицы ЯйА с номером Ь ~ 1. Согласно предложению (1), эта строка - линейная комбинация строк Л с коэффициентами равными элементам и-й строки Е. Это значит, что в линейную комбинацию входит (с коэффициентом 1) только Ь-я строка А, и потому 1-я строка ЯзЛ равна Ь-й строке А. Для 1-й строки положение другое; в линейную комбинацию входит 1-я и Ьия строки с коэффициентами 1. Значит, 1-я строка ЯйА равна сумме 1-й и е-й строк А.
Пример 5. бь'. Умявжение матриц 727 ответствующих элементарных матриц, причем мнозкитель, который соответствует преобразованию, сделанному позже, стоит левее. Легко найти матрицу Я, умножение на которую производит заданную последовательность элементарных преобразований строк: надо осуществить эту последовательность элементарных преобразований над единичной матрицей. Это видно из равенства ЭЕ = Я. Элементарные преобразования столбцов сводятся к умножению матриц аналогично. Разница состоит в том, что множители помещаются справа, а не слева от преобразуемой матрицы, и эти множители получаются из единичной матрицы подходящего порядка элементарными преобразованиями ее столбцон, а не строк. 5. Вырожденные и ненырожденные матрицы.
Квадратная матрица называется вырожденной, если ее строки линейно зависимы. Вырожденной буде~, например, матрица, имеющая нулевую строку, или матрица, имеющая две одинаковых строки. Примером кевырожденной матрицы нвляется единичная матрица (предлояьение 2 ~ 1). Предложение 6. Элементарные преобразован я строк переводят линейно независимые строки в линейно кезавис мые, а линейно зависимые в линейно зависимые.
Точно так же яри элементарных преобразованиях столбцов сохраняются линейная зависимость и независимость столбцов. Докажем это предложение для строк. Пусть строки аыаз, ...,а„, линейно независимы, и мы прибавили, допустим, первую строку ко второй. Рассмотрим произвольную линейную комбинацию полученных строк, равную нулевой строке: ОЬаз + ОЗ(а7 + аз) + ... + О„ао = (О7 + ОЗ)а7 + ОЗах + ... + ива„= О. Так как исхоДные стРоки линейно независимы, о7 + оз — — О, аз = = О, ..., о„= О.
Отсюда следует, что о7 также нуль, и система строк, полученная прибавлением одной строки к другой, линейно независима. Сохранение линейной независимости системы строк при умножении 7',-й строки на число Л ф О доказывается аналогично. Пусть теперь строки линейно зависимы. Вспомним, что последовательности элементарных преобразований обратимы. Если мы из линейно зависимой системы строк с помощью элементарных преобразонаний получили линейно независимую, то обратный переход должен переводить линейно независимую систему в линейно зависимую, что невозможно. Доказательстно предложения для столбцов не отличается от приведенного.
С л е д с т в и е. Элементарные преобразования строк переводят невырождекную матрицу в нввырожденную, а вырожденную матрицу в вырожденную. Предложение 7. Элементарные преобразования строк сохраняют линейные зависимости между столбцами. Элементарные яре- 128 Гл. Г Матрицы и системы линейнъсе уравнений образования столбцов сохраняют линейные зависимости между строками. Доказательство.
Матрица А = )(а1, ...,а„)( после элементарного преобразования строк переходит в матрицу ЯА, где 5 . †. соответствующая элементарная матрица. Столбцами матрицы ЯА будут Яа1, ..., Яан. Пусть в матрице А столбцы связаны линейной зависи- Л1ОСтЬЮ Оза, + ...
+ Оеае = О. УМНОжаа Эта РаВЕНСтВО На Я, МЫ ПОЛУ- чаем точно такую же зависимость между столбцами преобразованной МатРИЦЫ: О15а1 + ... + СзеЯае = О. Доказательство для элементарных преобразований столбцов аналогично. Предложение 8. Каждая нввырожденная матрица с помощью элементарных преобразований строк может быть превращена в единичную матрицу. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана невырожденная квадратная матрица А порядка п. Обозначим ее строки а1, ...,ан. В нерпой строке обязательно есть элемент, отличный от нуля, так как в противном случае матрица имела бы строку из нулей и была бы вырожденной. Пусть этот элемент имеет номер вг, т. е.
расположен в в1-м столбце. Разделим первую строку на этот элемент. В преобразованной матрице элемент в позиции 11,81) будет равен 1. После этого для всех 1 = 2, ..., и вычтем из 1-й строки первую строку, умноженную на аео. Так преобразованную матрицу обозначим А111. Ес 81-й столбец это первый столбец единичной матрицы: все его элементы равны нулю, за исключением первого элемента, равного 1.
С каждой из остальных строк будем поступать таким же образом. Пусть после очередного преобразования получена матрица .41ь~1, у которой столбцы с номерами в1, ..., вт первые Й столбцов единичной матрицы; (к + 1)-я строка матрицы А1е1 отлична от нуля, так как А1ь1 получена элементарными преобразованиями из А и, следовательно, не вырождена. При этом элементы строки с номерами в1, ..., 81. нули, а значит, не равен нулю другой элемент. Пусть его номер веь1, Делим строку па него и вычитаем ее с подходящими множителями из остальных так, чтобы превратить вье з-й столбец в 1е 1 1-й столбец единичной матрицы.
Получается матрица А1ье "1. После того, как будет произведена последовательность преобразований с п-й строкой, все столбцы полученной матрицы А~"1, будут различными столбцами единичной матрицы (1-й, 2-й,..., о-й столбцы единичной матрицы стоят на местах 81, ..., вн). Одновременно строки Абб являются различными строками единичной матрицы (при всех г в 1-й строке на вз-м месте стоит единица, а остальные элементы равны нулю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
