Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Наша цель состоит в нахождении всех решений системы (1), причем мы не делаем заранее никаких предположений относительно коэффициентов и свободных членов системы и даже относительно числа уравнений и неизвестных. Поэтому могут представиться различные возможности. Система может вообще не иметь решения, как система х'+х- = 1, х+х =О, определяющая две параллельные прямые. Система может иметь бесконечное множества решений, как система (п = 2, т = 1) х' + хз = О, решением которой является любая пара чисел, равных по модулю и отличающихся знаком.

Примеры систем, имеющих одно-единственное решение, в изобилии встречаютсн в школьном курсе. Системы, имеющие решения, называются совместными, а не имеющие решений —. несовместнылш. Как следствие предложения 1 и предложения 6 Ч 1 мы получаем Предложение 2. Если столбцы матрицы системы линейно независимьц то систел7а не может иметь двух различных решений: она или несовместна, или имеет единственное решение. Основным средством исслодованин и решенин систем линейных уравнений для нас будут элементарные преобразования матриц.

Причину этого показывает Предложение 3. Элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы системы (1) соответствуют преобразования системы уравнений, не меняющие мнозкества ее решений. Действительно, если строка матрицы А* умножается на число Л ~ О, то преобразованная матрица является расширенной матрицей для системы, получаемой из (1) умножением соответствующего уравнения на Л. Если в матрице 7,'-я строка прибавляется к у-й, то в системе уравнений 1-е уравнение прибавляется к 1-му.

В любом случае преобразованная система является следствием исходной. Но элементарные преобразования обратимы, а значит, и исходная система может быть получена из преобразованной и является ее следствием. Поэтому множества решений обеих систем совпадают. 70* сл. Г Матрицы и системы линейньн уравнений 148 2. Основной случай. В этом параграфе мы рассмотрим основной случай, .когда число уравнений равно числу неизвестных;т = п. Кроме того, мы наложим определенные ограничения на коэффициенты системы. Если этого пе сделать, то нам придется изучать здесь, например, и систему из одного уравнения, повторенного и раз.

Уйы хотим, чтобы ни одно уравнение не было следствием остальных. Для этого во всяком случае необходимо, чтобы ни одно из пих це было линейной комбинацией остальных Св действительности, этого и достаточно, но мы можем не вникать сейчас в этот вопрос). В случае т = и для линейной независимости уравнений необходимо потребовать, чтобы матрица системы была невырожденной, или, что то же, чтобы ее детерминант был отличен от нуля. Действительно, если одно из уравнений линейная комбинация остальных с коэффициентами ос, ...,о„1, то соответствующая строка расширенной матрицы есть линейная комбинация остальных строк с теми же коэффициентами. То же относится и к матрице системы.

Теорема 1. Пусть дана система из и уравнений с и неизвестными а1Х1 + а1тз + + а1Хп = у! 1 2'' 1 азхп уз 1 2 С2) ап2.1 + апХ2 + + ап,е™ Ьп 1 2 Если детерминант матрицы системы отличен от нуля, то система имеет решение, и притом только одно. В самом деле, знан предложение 1, мы можем сформулировать эту теорему иначе. Пусть А квадратная матрица порядка и и с)еС А ~ О. Тогда любой столбец Ь высоты и раскладывается по столбцам А, и коэффициенты разложения определены однозначно. Так как отличие детерминанта от нуля равносильно невырождснности матрицы, это утверждение совпадает с теоремой 1 8 2.

3. Правило Крамера. Правилом Бралсера называются формулы для нахождения решения системы из и, уравнений с и неизвестными и детерминантам, отличным от нуля. Для того, чтобы найти значения неизвестных, составляющие решение, выберем произвольный номер неизвестной 1 и рассмотрим детерминант матрицы, получаемой из матрицы системы заменой ее 1-го столбца столбцом свободных членов Ъ: сь" = сСсС 'пас ...а, 1Ьа,е1 ...а„((. Если хс, ..., хп решение, то Ъ = хсас + ... + х "ап, и в силу линейности детерминанта по столбцу Лс = х' с1еС (!а1 ...а, 1 асаьь1 ...а„(!+ ...

... + хс сСеС 8 ас ...а, 1 а, аз1 ...ап Л+ хп сСеС вас ...а, сапа,, 1 ...а„ц. 4 б. Сиетелвы линейных уравнений (обизал теория) 449 Все слагаемые, кроме (-го, равны нулю, так как матрицы в них имеют по два одинаковых столбца. Поэтому Ь' = х' в1ет А. Отсюда ~11 х' = (1= 1,...,п) Йеь А (З) Формулы Крамера при и = 3 мы вывели в п. 6 94 гл. 1. 4. Формулы для элементов обратной матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу А с детерминантам, отличным от нуля. Пра- вило Крамера позволяет получить формулы., выражающие элементы обратной матрицы А ' через элементы А. Пусть ел 4-й столбец одиничной матрицы. Заметим, что 4-й столбец .4 ' при произволь- ном 4' равен А ье . Если мы обозначим его хз то Ах = е .

При- меним правило Крамера для нахождения (-й неизвестной в решении этой системы: х,' = Ь'/ с(е1А, где ль' — детерминант матрицы, полу- чаемой из А заменой ес 1-го столбца на у'-й столбец единичной матри- цы. Разлагая ль' по этому столбцу, мы имеем только одно слагаемое, так как в ел только у-й элемент равен 1, а остальные равны нулю. Следовательно, лх' = ( — 1)'4лв)лы где ал дополнительный минор эле- мента а', в матрице А. Подчеркнем, что этот элемент стоит в позиции, симметричной с позицией, в которой расположен вычисляемый нами элемент х',.

Окончательно, ( 1)х-<-л (а х1= (4) с(ет А Формулы (4), как и правило Крамера, имеют некоторое теорети- ческое значение, но для численного решения систем линейных урав- нений и обращения матриц применяются совсем другие методы.

Упражнения 1. Пусть числа хите, хв попарно различны. Докажите, что при любых уп у, ув найдется единственный многочлен степени не выше двух, график которого проходит через точки с координатами (хи у1), (х, уа), (хз, уо). 2. Пользуясь формулами (4), найдите обратную для матрицы а с а 9 6.

Системы линейных уравнений (общая теория) 1. Условия совместности. Общие определения, касающиеся систем линейных уравнений, были введены в начале 95. Теперь мы займемся изучением систем из т уравнений с я неизвестными. Систему 1 1 1 1 а+ 1 1 н и1 „зх1+ „9 9+ + „9 о бг а"'х' + а!,"ха+ ... + отх" = Ь"' и 150 Гм Г Матрицы и системы линейных уравнений л1ы можем кратко записать в виде Ах = Ь. (1) Система задаетсл своей расширенной матрицей А*, получаемой объединением матрицы системы А и столбца свободных членов Ь. Простое и эффективное условие, необходимое и достаточное для совместности системы (1), дает следующая теорема, называел1ан теоремой Кронекера -Капелли. Теорема 1.

Система линейных уравнений совл1естна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, Иначе утверждение теоремы можно сформулировать так: приписывание к матрице А размеров т х п столбпа Ь высоты т не меняет ее ранга тогда и только тогда, когда этот столбец линейная комбинация столбцов А. Докажем это. Если КяА* = КяА, то базисный минор А нвлнется базисным и для А'. Следовательно, Ь раскладывается по базисным столбцам А. Мы можем считать его линейной комбинацией всех столбцов А, добавив недостающие столбцы с нулевыми коэффициентами. Обратно, если Ь раскладывается по столбцам А, то элементарными преобразованиями столбцов можно превратить А' в матрицу Ао, получаемую из А приписыванием нулевого столбца. Согласно предложению 2 з 3, КяАе = КяА*. С другой стороны, КяАе = КяА, так как добавление нулевого столбца не может создать новых невырожденных подматриц.

Отсюда Кй А = Кя А', каь и требовалось. Предложение 1. Пусть матрица А* приведена к упрощенному виду с пол1ощью элементарных преобразований строк. Система (1) несовместна тогда и только тогда, когда в упрощенную матрицу входит строка !) О .. О 1 й. Д о к а з а т ел ь с т во. Пусть рассматриваемая система не совместна, и Кя А' > Кя А = г. В упрощенном виде матрицы А последние гп — г строк нулевые. Последний столбец матрицы А' должен быть базисным, и в упрощенном виде матрицы А* последний столбец--- г + 1-й столбец единичной матрицы.

Поэтому г + 1-л строка этой матрицы есть )! О ... О 1 (!. Обратно, если в матрице содержится такая строка, то последний столбец не может быть линейной комбинацией остальных, и система с упрощенной матрицей несовместна. Тогда несовместна и исходная система !предложение 3 1 5). Иначе это предложение можно сформулировать так. Следствие.

Система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда пропигооречивов равенство О = 1 является линейной комбинацией ее уравнений. Равенство рангов матрицы системы и расширенной матрицы можно выразить, понимал ранг матрицы как строчный ранг. Это принедет 4 б. Системы линейных уравнений (общая теория) нас к важной теореэ1е, известной как теорема Фредгольма. Транспонируем матрицу А системы (1) и рассмотрим систему из п линейных уравнений а1у1 + а1уг + .. + а1 у„, = О, 1 2 Л1 агу1+агуг+ ...

+аз у = О, 1, 2, т (2) а',у1+агуг+ ., +а'„"у = О с т неизвестными, матрицей Ат и свободными членами, равными нулю. Она называется сопряженной однородной системой для систел1ы (1). Если у столбец высоты т. из неизвестных, то систему (2) можно записать как Агу = о, или лучше в виде у А=о, (3) где о -- нулевая строка длины и. Теорема 2. Для того чтобы система (1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы каждое решение сопряженной однородной системы (3) удовлетвор ло уравнению у'Ь = д, б1 + ... + у Ь'" = О. (4) Доказательство.

Характеристики

Список файлов книги