Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Теорема 3. Если хо некоторое решение системы (1), а Е фундаментальная льатрица ее приведенной системы, то столбец х = хо+Ее (10) при любом с является решением системы (1). Наоборот, для каждого се решения х найдется такой столбец с, что оно будет представлено формулой (10). Выражение, стоящее в правой части формулы (10), называется общим решекиел~ системы линейных уравнений. Если Гы ...,Гн фундаментальная система решений, а сы ...,с„, - произвольные постоянные, то формула (10) может быть написана так: х = хо + вью + ... + с, „Гн (11) Теорема 3 верна, в частности, и для однородных систем.
Если хо ." тривиальное решение, то (10) совпадает с (9). Теорема 1 5 б гласит, что для существования единственного решения системы из и линейных уравнений с и неизвестными достаточно, чтобы матрица системы имела детерминант, отличный от нуля. Сейчас легко получить и необходимость этого условия. Предложение 7. Пусть А — матрица системы из и линейных уравнений с и неизвестными. Если де1А = О, то система либо не имеет решения, либо имеет бесконечно лного решений. Доказательство. Равенство с!егА = 0 означает, что ИВА < и и, следовательно, .приведенная система имеет бесконечно много решений.
Если данная система совместна, то из теоремы 3 следует, что и она имеет бесконечно много решений. б. Пример. Рассмотрим уравнение плоскости как систему Ах+ Ву+ Сг+ Р = 0 (12) из одного уравнения. Пусть А у'= 0 и потому является базисным минором матрицы системы. Ранг расширенной матрицы 1, значит, система совместна. Одно ее решение можно найти, положив параметрические неизвестные равными нулю: у = г = О. В!ы получим х = — Р7А. Так как и = 3, г = 1, фундаментальная матрица имеет два столбца. Мы найдем их, придав параметрическим неизвестным два набора значений: у = 1, г = 0 и у = О, г = 1. Соответствующие значения базисной неизвестной х, найденные из приведенной системы, будут — В/А и — С/А. Итак, общее решение системы (12) х -Р/Л -В/Л -С/А у = 0 +сь 1 +аз 0 .
(13) 0 0 1 Выясним геометрический смысл полученного решения. Очевидно, прежде всего, что решение й — Р/А 0 О цт состоит из координат Гл. Г Матрицы и сиетелеы линейных уравнений некоторой (начальной) точки плоскости, или, что то же, из компонент ее радиус-вектора. В формуле (10) решение хо можно выбирать произвольно. Это соответствует произволу выбора начальной точки плоскости. Согласно предложению 2 8 2 гл.
11 компоненты лежащих в ПЛОСКОСТИ ВЕКтОрОВ удОВЛЕтВОрНЮт ураВНЕНИЮ АОГ + Вове + ССЕЗ = О, т, е, приведенной системе. Два линейно независимых решения этой системы (фундаментальная система решений) могут быть приняты за направлнющие некторы плоскости. Таким образом, формула (13) не что иное, как параметрические уравнении плоскости. Рекомендуем читателю рассмотреть систему уравнений двух пересекающихсн плоскостей и показать, что ее общее репюние представляет собой параметрические уравнения прямой. Упражнения 1. Система линейных уравнений с матрицей А совместна при любом столбце свободных членов тогда и только тогда, когда строки матрицы А линейно независимы. Докажите это: а) пользуясь теоремой Кронекера-Капелли; б) пользуясь теоремой Фредгольма.
2. Ланы векторы а и Ь, а ~ О. При помощи теоремы Фредгольма докажите, что уравнение [а, х) = Ъ имеет решение тогда и только тогда, когда (а,Ь) = О. 3. Найдите фундаментальную матрицу длн системы с матрицей ~11 1 11~. 4. Пусть ц Е, ! В 'ц' — упрощенный вид матрицы однородной системы уравнений. Найдите фундаментальную матрицу системы. 5. Пусть Г фундаментальная матрица системы линейных уравнений Ах = О и строки .4 линейно независимы.
Какая будет фундаментальная матрица у системы: а) Гу = О; б) Г~з = О? 6. Напишите общее решение системы с расширенной матрицей 1 2 3 1 4 5 6 1 7 8 9 1 7. Пусть матрица Е размеров н х р фундаментальная матрица некоторой системы уравнений. Локажите, что Г' будет фундаментальной матрвцей той же системы тогда н тольке тогда, когда найдется невырежденвая матрица О порядка р, такая, что Е = Ес). 8. Рассматривается система из трех ураваений с двумя неизвестными.
Убедитесь., что применение теоремы Фредгольма к этой системе равносильно такому (геометрически очевидному) утверя~дению: вектор Ь раскладывается оо векторам а| и а тогда и только тогда, когда он ортогоналеп каждому вектору у, ортогональному этим векторам. 9.
Пусть строки матрицы А линейно незанисимы, Š— соответствующая фундаментальная матрица, а матрица Р получена из А приписыванием к ней снизу матрицы Ег. Докажите, что Р невырождена. ГЛАВА Ъ'1 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА й 1. Основные понятия 1. Определение линейного пространства. В этой книге нага уже встречались множества, в которых были определены линейные операции: сложение и умножение на число. В гл, 1 мы рассматривали множество векторов (направленных отрезков), которые гиы гиожем складывать и умножать на числа.
В множестве матриц одинаковых размеров мы также ввели операцию сложения и операцию умножения на число. Свойства этих операций для матриц, выраженные предложением 1 З 1 гл. Ч, совпадают со свойствами тех же операций с векторами, сформулированными в предложении 1 з 1 гл. 1. В каждом множестве линейные операции определяются по-своему, но имеют одни и те же свойства: коммутативность и ассоциативность сложения, дистрибутивность умножения на число по отношению к сложению чисел и т. д. Рассмотрим еще один пример. Пример 1. Пусть Ж'-- множество всех функций от одной переменной, определенных и непрерывных на отрезке [0,1).
Любым двум функциям 1 и д из е' можно сопоставить их сумму, которая принадлежит аз Вещественному числу а и функции г сопоставляется функция о1 произведение функции на число, которое также принадлежит Ж Легко видеть, что основные свойства линейных операций те же, .что для векторов и для матриц, причем роль нуля играет функция, тождественно равная нулю. Вспомним одну из важных задач математического анализа: по заданной функции 1(х) найти ее первообразную, т. е. такую функцию г (а), что Еи д) = 1(х). Общее решение этой задачи, как известно, таково; если существует хоть одна первообразная го, то любая из них может быть получена по формуле г (х) = Го1в) + С, где С произвольная постоянная.
Заметим, что постоянная --- решение однородного уравнения Г'(х) = О. Теперь очевидно, что эта формула сходна с общим решением системы линейных уравнений; общее решение есть сумма одного из решений и общего решения однородного уравнения. Сходство здесь, конечно, не случайное. Оно следует из совпадения алгебраических свойств операпий дифференцирования и матричного умножения по отношению к линейным операциям. Естественно возникает необходимость исследовать множество, состоящее из элементов какой угодно природы, в котором определены шв Гл. |1.
Пинейные нростренстее операции сложения двух элементов и умножения элементе на число. Эти операции могут быть определены любым образом, лишь бы они обладали определенным набором свойств. О и р е д е л е н и е. Множество .х' называется линейныл| пространством, а его элементы — векторами, если; задан закон (оперения сложенил), по которому любым двум элел|ентам х и у из .х' сопоставляется элемент из .2', называемый их суммой и обозначаемый х+ у: задан закон (операция умножения не число), по которому элементу х из К и числу а сопоставляется элемент из У~', называемый произведением х на а и обозначаемый ах; для любых элементов х, у и з из,У и любых чисел а и |3 выполнены следующие требования (или аксиомы): 1)х+у=у+х: 2) (х + у) + с = х + (у + з): 3) существует элемент о такой, что для каждого х из .У выполнено х + о = х; 4) для любого х существует элемент — х такой, что х+ ( — х) = о; 5) а(х -Ь у) = ах+ ау: 6) (а+ В)х = ах+ Зх; 7) а(рх) = (аД)х; 8) произведение х на число 1 равно х, т.
е, 1х = х. Если мы ограничиваемся вещественными числами, то 2' называетсн ее|цестеенным линейным пространством, если же определено умножение на любое комплексное число, то линейное пространство.К называется комплексным. Вектор — х называется противоположным вегстору х, вектор о называется нулевым вектором или нулем. Мы будем обозначать векторы строчными латинскими буквами, а числа, каь правило, греческими.
П р и м е р 2. Пусть .У множество всех многочлецов от одной переменной, степень которых не превосходит заданного числа и,. Сумма двух многочленов из,2е - - многочлен степени не выше и и, следовательно, принадлежит К. Произведение многочлена из х" на число также принадлежит .У.
Аксиомы линейного пространства выполнены и в этом случае. Роль нуля играет многочлен, все коэффициенты которого равны нулю. К будет вешественным или комплексным пространством, смотря по тому, рассматриваем мы многочлены с вещественными или с комплексными коэффициентами. П р и м е р 3.
Множество комплексных чисел по отношению к обычным операциям сложения и умножения на комплексное число будет комплексным линейным пространством. Аналогично, множество вещественных чисел по отношению к обычнык| операциян| является вешественным линейным пространством. 4!. Основные понятия 159 П р и м е р 4. Множество комплексных чисел по отношению к обычной операции сложения и умножения на вещественное число представляет собой вещественное линейное пространство.
Пример 5. Существует линейное пространство, состоящее из одного элемента. Его элемент является нулем и самому себе противоположным. Такое пространство называется нулевым и обозначается (о). Опорапии в пем задаются равенствами о+ о = о и ао = о. 2. Простейшие следствия.
Из аксиом, входящих в определение, вытекает, что мо!кот быть только один нулевой вектор и для каждого вектора только один противоположный. Действительно, допустим, что существуют два нулевых вектора о! и оз. Тогда их сумма должна быть равна каждому из них: о! + оз = о! = оз. Аналогично, если какой-нибудь вектор х имеет два противоположных — х! и — хз, то сумма ( — х!) + х + ( — х ) должна быть равна и — хы и — хз. Равенство о+ о = о означает, что противоположным для нулевого вектора является он сам, а из равенства х + 1-х) = о следует, что противоположным для — х является вектор х.
Сумму векторов у и — х мы будем обозначать у — х и называть разностью векторов р и х. Легко видеть, что Ох = о для любого вектора х. В самом деле, Ох = Ох + х — х = (1 + О) т. — х = о. Отсюда вытекает, что ( — 1)т, = — х длн любого х. Действительно, ( — 1)х + х = ( — 1+ 1)х = Ох = о. Отметим также, что произведение любого числа на нулевой вектор равно нулевому вектору, поскольку ао = а(х — х) = ах — ах = о. Если ах = о, то либо а = О, либо х = о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
