Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Подставим в последнее равенство выражение для е' по формуле (2) и получим х = еЯ'. Итак, мы имеем разложение вектора х по базису е в двух видах,и в силу единственности координатного столбца получаем (4) ы* Гл. |Л. Линейные пространства |б4 Подробнее эту формулу можно переписать в виде Гд | ап а| | п и | "' и или, если выполнить умножение матриц, (б) в'.Г (| = 1, ...,и). з=| Для трехмерного пространства мы уже получили это в б 3 гл. 1. 6. Ориентация пространства.
Понятие ориентации прямой, плоскости и пространства в б4 гл. 1 основывалось на разделении всех базисов на два класса. Произведем это разделение для вещественных линейных пространств любой размерности. Фиксируем некоторый базис ео и обозначим через б' (ео) множество всех таких базисов е, что е = ео5, |1еб5 > О. Остальные базисы отнесем к классу б" (ео). Ясно, что для е' Е б' (ео) выполнено е' = еоТ, |1ет Т ( О. П РеДложение 12. Классы базисов 84(ев) и Л (ео) не зависат от выбора исходного базиса ео.
Доказательство. Рассмотрим базис Го, и пусть Го Е бь(ео), т. е. |ро = еоР, |1еьР > О. Для каждого базиса е е еп(Го) имеем е = ГоН, г1е| К > О и е = еоРБ, где |1|я Ро = |1е|Рдеб Б > О. Значит, е Е еГь(ео). Отсюда следует бл(Го) С б< (ео). Но ео с бн(Го), так как с(е1 Р | > О. Поэтому, к|еняя местами Го и ео, мы получаем Ль(ео) С Кь(Го), и в результате е ь(Го) = |Гь(ео) Классы б' (Го) и 4' (ео) состоят из базисов, не вошедших соответственно в бь(Го) и |Гп(ео), и потому также совпадают. Итак, Рь(Го) = |з;-(ео), б'-(1о) = |Г (ео) Случай, когда Го е ей (ео), рассматривается аналогично.
При этом оказывается, что б"ь(Го) = еГ (ео) и о' — (Го) = б'н(ео) Чтобы подчеркнуть независимость классон базисов от выбора исходного базиса, мы обозначим их просто б| и бг. О п р е д ел е н и е. Вещественное линейное пространство называется ориентированныж, если из двух классон базисов |м и бз указан один. Базисы выбранного класса называются положительно ориентированныли. Задать ориентацию линейного пространства можно, выбрав некоторый базис и считая его (и все базисы одного с низ| класса) положительно ориентированным. уй Линейные падпроетранетеа Упражнения 1. Обозначим через Ео матрицу размеров т х и, у которой элемент на пересечении Вй строки плато столбца равен 1, а остальные элементы равны нулю.
Убедитесь, что после упорялочивания эти тп, матриц образуют базис а линейном пространстве матриц размеров т х и. (Такой базис называется стандартным базисом ланвого пространства.) Каковы координаты матрицы .4 с элементами а„в стандартном базисе? 2. Докажите, что верхние треугольвые матрицы поряяка и образуют линейное пространство по отношению а обычным операциям с матрицами.
Найдите размерность этого пространства и какой-нибудь базис в нем. 3. В линейном пространстве многочленов степени < 3 от переменной С запалы лаа базиса: 1, и 1, Н и 1,1 — 1, Π— а), Π— а) . Найдите матрицу перехола от первого базиса по второму и с ее помощью разложение многочлена рО) по второму базису. 4. Как расположены друг относительно друга Лаа базиса еи ..., е„и гв ..., ~„, если матрица перехода от е к Г верхняя треугольная? Докажите из этих соображений, что обратнап к верхней треугольной матрице также верхняя треугольная.
б. Кав ориентированы друг относительно друга лаа базиса, если: й = = е1 -Ь е ; 1 = е. ж еи Гз = ез ж еп 11 = еэ — ед! й 2. Линейные надпространства 1. Определения и примеры. В обычном геометрическом пространстве сумма векторов, лежащих в некоторой плоскости, также лежит в этой плоскости, и умножение вектора на число не выводит его из плоскости, в которой он лежит. Теми я.е свойствами обладают векторы, лежащие на прямой линии. Для линейных пространств обобщением плоскости и прямой служат линейные надпространства.
О и р е дел е н и е. Непустое подмножество .2'~ векторов линейного пространства .х' называется линейным подпространетеом, если; а) сумма любых векторов из 2' принадлежит 2'; б) произведение каждого вектора из хЫ на любое число также принадлежит 2'. В силу этого определения любая линейная комбинации векторов из ее' принадлежит .2'. В частности, нулевой вектор как произведение Ох должен принадлежать х"', и Ллн каждого х из У' противоположный вектор — х = ( — 1)х лежит в,.х". Сложение и умножение на число, определенные в 2', будут такие ' ми же операциями в его подпространстве .х' .
Справедливость аксиом линейного пространства для еХ' прямо вытекает из их справедливости лля 2'. Таким образом, надпространство является линейным пространством. П р и м е р 1. Пусть дано некоторое множество Я векторов в линейном пространстве .2'. Обозначим через .2' совокупность всевозможных линейных комбинаций, каждая из которых составлена из конечного числа векторов из пл.
Множество 2' является полпространством |бб 1л. Рй Линейные пространства в У. Действительно, если х и у принадлежат У~, то з. = Л|р| + ... ... + Льрь и у = у|у| + ... + рту„„, где р, у С г|л 11 = 1, ..., й; 1 = = 1, ...,|п). Мы видим, что х+ у = ~~| Л,р, + ~~| и, дз, т. е. х+ у также является линейной комбинацией конечного числа векторов из,У. Точно так же мы видим, что ох = ~~| 1оЛ,)р,. Так построенное подпространство .2'~ называется линейной оболочкой множества Я. Пусть р|, ...,р .
- линейно независимая систеэ|а векторов из ээ такая, что каждый вектор из,гР по ней раскладывается. |1Если пространство конечномерно, то очевидно, что в каждом множестве, содержашем ненулевые векторы, такая система найдется.) Векторы р|, ...,р„„образуют базис в линейной оболочке М. В самоы деле, каждую линейную комбинацию векторов из Тг можно представить как линейную комбинацию векторов р|, ..., р„, так как каждый вектор из Я можно разложить по р|, ..., р„и подставить эти разложения в рассматриваемую линейную комбинацию.
В частности, осли,У конечное множество векторов, мы имеем Предложение 1. Размерность линейной оболочки множество из т, ветпоров не превосходит т. Пример 2. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений с п неизвестными. Согласно предложению 3 ~ 6 гл. Л' совокупность всех решений этой системы представляет собой подпространство в линейном пространстве столбцов высоты и. Каждая фундаментальная система решений этой системы уравнений является базисом в этом подпространстве. Пример 3. В каждом линейном пространстве множество, состоящее только из нулевого вектора, является подпространством. Оно называется нулевым.
П р и и е р 4. Все пространство,Р является подпространством в,.К. Предло|кение 2. Пусть гн — надпространство п-мерного пространства 2'. Тогда |Вш г" ( и. Если |11п|.г = и, то гн совпадает с 2'. Действительно, любая система из и| > и, векторов в.гл' лежит также и в 2' и потому линейно зависима. Пусть базис в .2" содержит п нектаров. Тогда любой вектор из гс' раскладывается по этому базису и, следовательно, принадлежит К .
Значит,.2' совпадает с .гг'. Сформулируем еше одно достаточно очевидное Предложение 3. Пусть .гы - - надпространство и-мерного линейного пространства 2'. Если базис е|, ....,еь в.х" дополнить до базиса е|, ...,еь,еье|, ...,е„в.2', то в таком базисе все вектоРы из.гг' и только они будут иметь компоненты ~ь+' = О, ..., ~" = О. Действительно, если для вектора х имеем ~ь'ы = ... = сл = О, то х = ~'е| + ...
+ (ьеь и, следовательно, х Е 2Ы. Обратно, вектор Г2. Линейные ~вдаровтранства 767 из хы раскладывается в линейную комбинацию х = ~'еь + ... + Сьев. Она же есть разложение х по базису еы ..., е„при Сьт' = ... = Св = О. Заметим, что равенства С "+' = О, ..., .(и = О можно рассматривать как систему линейных уравнений, свнзывающую координаты вектора х. Нетрудно доказать, что и в любом друтом базисе К определяется системой линейных уравнений.
Действительно, при замене базиса старые компоненты выражаются через новые по формулам (5) ~ 1, и в новом базисе система уравнений примет вид ~аь+~с = О, ..., ~,"с = О. з=.1 ~=1 Ранг этой системы ранен п — й, поскольку строки матрицы перехода линейно независимы. Итак,мы доказали Предложение 4. Пусть в и-льврном пространстве .У выбран базис. Тогда координатные столбцы векторов, принадлежащих к.-мерному надпространству хз (й ( п), удовлетворяют однородной системе линейных уравнений ранга п — Е 2.
Сумма н пересечение надпространств. Рассмотрим два надпространства .х' и .К линейного пространства .К. Определение. Будем называть суммой надпространств и .2"' и обозначать вы+ х'" линейную оболочку их объединения .У' О .У". Подробнее определение означает, что вектор х из.х" + .х'" (и только такой) представим в виде х = ~~ озр, + ~~~ Дзуз, где векторы р, лезкат в хз, а вз --- в.2"'. Обозначая написанные выше суммы через х' и х",мы видим, что надпространство х' + х' состоит из векторов, представимых в виде х = х'+ х", где х' й .х', а хи с .'ь" . Пусть размерности надпространств .х" и хы' равны й и Е Выберем в этих подпространствах базисы еы ..., ез и 1ы ..., 1п Каждый вектор из ьз + ьл раскладывается по векторам еы ..., еы Ты ..., ~п и мы получим базис в .гз' + хв, если удалим из этой системы все венторы, которые линейно выражаются через остальные.
Сделать это можно, например, так. Выберем какой-либо базис в.2' и составим матрицу из координатных столбцов всех векторов еы ..., еь, 1ы ..., 7ь Те векторы, координатные столбцы которых базисные столбцы этой матрицы, составляют базис в Ел + У". Определение. Назовем пересечением надпространств гв" и "' 1 в и обозначим х' О .х' множество векторов, которые принадлежат обоим подпространствам. Пересечение х' Г1 'ь" есть надпространство. Действительно, нулевой вектор лежит во всех подпространствах и, следовательно, пересечение не пустое множество. Если векторы х и у лежат в х П .х'", 168 1л.
г1. Линейные пространства то они лежат как в х~, так и в .У~~. Поэтому вектор х+ у и при любом гз вектор ох также лежат и в хн, и в У", а следовательно, и в .У' й.УО. В конечномерном пространстве надпространства могут быть заданы системами линейных уравнений. Тогда их пересечение задается системой уравнений, получаемой объединением систем, задающих надпространства. Для в > 2 надпространств .У ,..., 2н сумма и пересечение опре- 1 деляются аналогично, и полученные выше свойства переносятся на суммы и пересечения з надпространств. В частности, суммой надпространств У", ...,.2" называется линейная оболочка их объединения.
Это множество всех векторов, представимых в виде суммы хз + ... + х„где х, Е хн (1 = 1, ..., в). Каждый из векторов х,, может быть разложен по базису в своем подпространстве .2", и потому любой вектор из суммы хн', ..., х раскладывается по системе векторов, получаемой объединением базисов всех поцпространств. Число векторов в этой системе равно Впп 2" + ... + йш 2". Поскольку векторы всех базисов в совокупности могут быть линейно зависимыми, размерность суммы надпространств может оказаться меньше общего числа векторов в системе: (Пп1(,2о + + 2зн) < д1пз,у1 + + д1П1,2'3 Базис в сумме надпространств получается., как и при з = 2, из объедипенин базисов слагаемых удалением векторов, линейно выражающихся через остальные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
