Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Рассмотрим надпространство 2' размерности й > О. Пусть еы ..., еь базис в 2 . Для любого вектора з Е 2ы имеем т = ~'е, + ... + ~ьеь и А1х) = А(~'е1+ ... +Сиен) = С'А1ег) + ... + С~А1еь). Г2) Это означает, что произвольный элемент множества А1.У') образов всех векторов из К' есть линейная комбинация векторов А(ег),... ..., А1еь). Наоборот, каждая такая линейная комбинация, очевидно, является образом вектора из К'.

Итак, множество А(.хы) линейная оболочка А(е1),..., А1еь), и, следовательно, есть подпространство. Размерность его не превосходит й в силу предложения 1 2 2. Необходимо отметить частный случай доказанного предложения: множество образов всех векторов из .2' является подпространством А1.л') в .~. Оно называется множествам значений отображения и обозначается 1ш А. О п р е д ел е н и е.

Размерность множества значений отображения называется рангол~ отображения. Если ранг А равен т, то А(.К) совпадает с 9', и каждый вектор из .2' является образом некоторого вектора из 2'. Отображение, обладаюшее этим свойством, называется сюраентивныл~ отображением. Определение. Ыножество векторов, отображаюшихся в нулевой вектор при отображении А, называется ядром отображения А и обозначается Кег А. Предложение 2. Ядро есть линейное надпространство в И'. 4о.

Линейные отображения 773 2. Координатная запись отображений. Рассмотрим линейные пространства х' и г" размерностей п и т и линейное отображение А: г' -ь х'. Пусть еы ...,е„ базис н г'. Тогда образ произвольного вектора х = С'ег + ... + С "е„раскладывается в линейную комбинацию А(х) = С~А(е~) + ... + СеА(ен).

(3) Значит, А(х) может быть найден по координатам х, если известны образы базисных векторов А(ег), ..., А(е„). Выберем также базис в пространстве Г. Пусть это Г = ~~. Каждый из образов базисных векторов мы можем разложить по Г: А(ее) = ~~~ пег"„(1 = 1, ..., и). р — г Если компоненты вектора А(х) мы обозначим через д',...,7~'", то равенство (3) может быть переписано так; ьр Отсюда в силу единственности разложения по базису и у = ~~' О;ь ф= 1,...,7п). о=1 (4) Действительно, ндро не пусто: оно во всяком случае содержит нулевой вектор.

Далее, если А(х) = о и А(у) = о, то А~ох + Ду) = = оА(х) +,ЗА(у) = о. Пусть ядро А ненулевое: гйш КегА > 1. Тогда каждый вектор из А( х") имеет бесконечно много прообразов. Действительно, если у = = А(х) и о ф хо Е Кег А, то А(х + хо) = у. Верно и обратное утверждение: если какой-то нектар у Е,его имеет хотя бы два различных прообраза, то ядро А содержит ненулевой вектор. Действительно, если А(х1) = А(хз) = у для хг ф хг, то А(х1 — хг) = о и г = х7 — хз ненулевой вектор в ядре. Отображение, при котором различные векторы имеют различные образы, называетсн инаективним отображением.

Итак, получено Предложение 3. Отображение инаективно тогда и только тогда, когда его ядро — нулевое подпространство. Если отображение инъективно, то линейно независимые векторы переходят в линейно независимые. Действительно, пусть образы векторов хы ..., хь линейно зависимы; оп А(хг) + ... + оьА(хь) = о. Тогда А(о~ хг -Ь ... + оьхь) = о.

Отсюда для инъсктивного отображения получаем еегхг + ... + оьхь = о, и, следовательно, хы ...,хь линейно зависимы. 1л. 1Л. Линейные пространства 174 Если мы составим матрицу А из чисел а1, быть записаны в матричной форме 77= 46 то равенства (4) могут (5) или, подробнее 1 1 ап с„п1 1 "' и Здесь координатный столбец образа вектора х (в базисе Г) выражен как произведение матрицы А размеров гп х и на координатный столбец вектора х в базисе е.

Определение. Матрицей линейного отображения А: ~' — 1 .х в паре базисов е и Г называется матрица, столбцы которой (в их естественном порядке) координатные столбцы векторов 4(е1),..., .4(е„) в базисе Г. Формула (5) показывает, как употребляется матрица линейного отображения для нахождения образа вектора. Матрица линейного отображения в следующем смысле однозначно определена: если для любого вектора х = е4 координатный столбец образа в базисе Г есть 47 = В4, то матрица В совпадает с А. Это утверждение нетрудно проверить.

Умножим матрицу В на координатный столбец вектора е„ т. е. на 4-й столбец единичной матрицы. Произведение равно 1-му столбцу В, а это и есть координатный столбец А(е,). Пример 5 показывает, что при выбранных в пространствах .х' и х базисах каждая матрица размеров т х п служит матрицей некоторого линейного отображения х." -1Ж П редло жение 4. Ранг матрицы линейного отображения равен рангу этого отображения. Доказательство. Пусть 71, ...,7'„номера базисных столбцов матрицы А линейного отображения А. Тогда векторы А(е, ), ..., А(е „) линейно независимы и каждый из векторов А(с,) (1 = 1, ..., и) по ним раскладывается.

Следовательно., мы можем разложить образ А(х) любого вектора только по А(с:,), ..., А(е; ). Таких| образом, эти векторы образуют базис в 1шА, и их число равно рангу А. Предложение доказано. Из этого предложения видно, что ранг матрицы линейного отображенил один и тот же, какую бы пару базисов мы ни выбрали. Предложение 5. Сумма ранга отображения и размерности его ядра равна размерности отображаемого пространства. Доказательство. Согласно формуле (5) ядро отображения определяется однородной системой линейных уравнений 44 = о с п неизвестными. Ранг матрицы системы равен рангу отображения г. Фундаментальная система решений этой системы состоит из а = п — г 43. Линейные отображение 77э решений, которые являются координатными столбцами векторов, составляющих базис в ядре.

В частности, равенство г = и необходимо и достаточно, чтобы отобралеение имело нулевое ядро, т. е. было инъектнвным. Напомним, что отображение называется взаилено однозначным, если каждый вектор у Е .хе является образом одного и только одного вектора из,хе, т. е. если оно является как инъективным, так и сюрьективным. Для инъективного отображения г = и, а для сюръективного г = т.. Итак, имеет место Предложение 6. Линейное отображение А: .х'" — ь .К взаимно однозначно тогда и только тогда, когда размерности пространшпв совпадают и равны рангу отображения: и = т = ИВА. 3. Изоморфизм линейных пространств. Дадим следующее О п р е д ел е н и е. Взаимно однозначное линейное отображение называется изоморфизмом.

Если существует изоморфизм .х' -+ хе, то линейные пространства .х' и х' называются изоморфными. П р и м е р 7. Выбор базиса в и-мерном линейном пространстве .х' определяет изоморфизм х' на и-мерное арифметическое пространство, сопоставляющий каждому вектору его координатный столбец. Это координатный изолорфизм. Из предложения 6 видно, что два линейных пространства могут быть изоморфны только тогда, когда их размерности совпадают. Оказывается, это условие является и достаточным: имеет место Теорема 1. Два вещественных пространства изолорфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.

То же верно и для комплексных пространств. Нам остается проверить только достаточность условия. Она очевидна: пусть .К и х'" †. два п-мерцых линейных пространства. Если в каждом из них выбран базис, то любая невырожденпая квадратная матрица порядка п по формуле 15) определяет линейное отображение, которое будет изоморфизмом согласно предложению 6. Значение теоремы об изоморфизме линейных пространств . в следующем.

Линейные пространства могут состоять из чего угодно (столбцов, многочленов, чисел, направленных отрезков, функций) природа их элементов роли не играет, когда изучаются их свойства, связанные с линейными операциями. Все эти свойства у двух изоморфных пространств совершенно одинаковы. Если мы условимся не различать между собой изоморфные пространства, то для каждой размерности найдется только одно линейное пространство. 4. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов. Рассмотрим линейное отображение А: х' — ь ех. Если в пространствах выбраны базисы е и Г, то А определяется матрицей А.

Пусть другая пара базисов е' и Г' связана с е и Г матрицами перехо- 1л. |Л. Линейные пространства да Я и Р, и в базисах е' и 1' отображение А имеет матрицу .4'. Наша задача - . найти связь между матрицами А и Х. Рассмотрим произвольный вектор х пространства .У и его образ у = А(х). Обозначим координатные столбцы х в базисах е и е' соответственно через с и д', а координатные столбцы у в базисах Г и Г' через |1 и 77г. Согласно формуле (4) 51 д = Яг, 77 = Рц'.

Подставив эти выражения в формулу (5), мы получаем Р77г = АЯг. Поскольку матрица перехода имеет обратную, 77г = Р 1АЯ'. Но по формуле (5) |1' = Агяг. Так как матрица линейного отображения длн данной пары базисов единственна, мы получаем А' = Р 'АЯ. (6) 5. Канонический вид матрицы линейного отображения. Естественно возникает вопрос, как выбрать в пространствах лге и 2' базисы таким образом, чтобы матрица заданного отображения имела возможно более простой вид.

Теорема 2. Для любого линейного отображения А: Ее — «.2' ранга г можно так выбрагпь базисы в .У и .лге, нто оно будет иметь матрицу (7) О О (Е„едининная подматрица порядка г, остазгьные элементы, если они есть, равны нулю). Доказательство. Поместим векторы е„.«г,...,е„базиса пространства 2' в КегА (его размерность как раз равна и — г), а векторы е|, ..., ее можеы выбрать произвольно.

Характеристики

Список файлов книги