Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В силу такого Въ|бора при любом базисе в .К последние п, — г столбцов матрицы А будут нулевыми. Так как Н5А = г, первые г столбцов должны быть линейно независимыми. Поэтому линейно независимыми будут векторы А(е|),...,А(е„). Примем их за первые г базисных векторов в пространство ег', а остальные векторы („ч г, ..., Г"„, этого базиса выберем произвольно. При таком выборе первые г столбцов А будут первыми г столбцами единичной матрицы порядка т. Это и есть вид (7). 6. Сумма и произведение отображений. Рассмотрим два линейных отображения А: .2' — «У и В: .2' — « .У.
Ыы назовем суммой этих отображений и обозначим А + В отображение С: .2' — « .,К, определяелюе равенством С(х) = А(х) + В(х) для любого х Е,У. Не представляет труда проверить, что С линейное отображение. Действительно, если в,У' и .У выбраны базисы, координатные столбцы векторов А(х) и В(х) запишутся через матрицы отображений как Ад и Вд. Следовательно, С(х) будет иметь координатный столбец Ас -«Вя = (А -~- В)с. Итак, сумма А -«В линейных отображений линейное отображение, и его матрица равна сумме матриц А+ В. ГЗ. Линейние отображения 777 Произведение линейного отображения А на число о определяется как отображение В, сопоставляющее вектору х вектор сеА(зе). Легко проверить, что это отображение линейное и имеет матрицу аА, если А матрица отображения А.
Из сказанного следует, что по отношению к введенным здесь линейным операциям множество всех линейных отображений ге в ге представляет собой линейное пространство, которое изоморфно линейному пространству матриц размеров т х и. Теперь рассмотрим три линейных пространства г', ге и ге . Результат последовательного выполнения отображений А: .х' ->,У" и В: .ге' †> .хео называется их произведением и обозначается ВА (отображенис, которое делается первым, пишется справа).
Разумеется, ВА отображает Р' в гео и является линейным отображением. Пусть в пространствах У', .хе и 8оо выбраны базисы соответственно е, Г и ц. Обозначим через А матрицу отображения А в базисах е и Г, а через  — матрицу отображения В в базисах Г и ц. Предложение 7. Отображение ВА имеет матрицу ВА в базисах е ип. Доказательство. Рассмотрим координатный столбец Е произнольного вектора из К.
Координатные столбцы векторов А(х) и В(А(х)) обозначим соответственно через 77 и ~. Тогда 71 = АЕ и Е = = В77 = ВАЕ,как нам и требовалось. Ранг отображения равен рангу его матрицы, а потому из оценки ранга произведения матриц (предложение 7 ~ 5 гл. Ъ') следует Предложение 8. Ранг произведения отображений нв превосходит рангов этих отображений. Другие свойства умножения отображений тоже легко следуют из свойств умножения матриц, и мы не будем на них останавливаться.
Пусть дано линейное отображение А: У' — ь ге. Линейное отображение В: х' — ь ..ге назовем обратним для А и будем обозначать А если ВА = Е и АВ = Е, где Е и Š— тождественные преобразования пространств У и г.". Иначе говоря, для любых х Е г'" и у Е К долгино быть (8) В(А(х)) = х, А(В(д)) = Рд Предложение 9. Линейное отображение А имеет обратное тогда и только тогда, когда оно изоморфизм. Рассмотрим линейное отооражение А: .х' — ~ х' и ныберем базисы е и Г в К и .У.
Пусть А —. матрица отображения А в этих базисах. 1'. Пусть А изоморфизм. Тогда А невырожденная квадратная матрица и имеет обратную матрицу А '. Рассмотрим отображение В: х — ~ лен, опредсляемое матрицсй А ' в базисах Г и е. Очевидно, что оно удовлетворяет условиям (8), и потому является обратным для А. Гй Д.В. Бенземн~нее 1л. Рй Линейные нространстаи 178 2.
Пусть А не изоморфизм. Тогда либо г < г»», либо г < я. В первом случае в 2." найдется вектор н, не принадлежащий А( 2'). Если существует обратное отображение, мы приходим к противоречию; и = А(А '(и)) Е А( У'). Во втором случае существует вектор з ~ о, - Б КегА. Если существует А, мы приходим| к противоречию: з = -| = А '(А(з)) = А '(о) = о. Одновременно мы доказали, что матрица обратного отображения в базисах Г и е есть А Упражнения 1. Все квадратные матрицы порядка 2 умножаются справа на матрицу 1 2 3 2 4 6 Этим определено отображение А пространства матриц порядка 2 в пространство матриц размеров 2 х 3.
Найдите: а) матрицу этого отображения в стандартных базисах»упр. 1 8 1); б) базис в Кег А; в) базис в Нп А. 2. Какому условию должна удовлетворять матрица С разыеров 2 х 3 для того, чтобы отображение, определевное в упр. 1, было инъективным? Может ли оно быть сюръективным? 3. Пусть С - пространство функций, имеющих 1 непрерывных производных на отрезке |О, 1). Дифференцирование отображает С" в С»' '. Проверьте, что это — линейное отображение. Будет ли оно: а) инъектнвным; б) сюръективным? 4.
Пусть А: .2» — » 2' и .М'= А( х'). Определим отобрал»ение А': .х' — » Ф' равенством А'»х) = А(х) Докажите, что: а) КегА' = КегА; б) ВЗА' = ВЗА: в) А' сюръектнвно. б. Пусть 2' = х'»»Ь 2э и х = х| ж х|, х| е 2'», т. 6 .2' . Определим преобразования Р| и Р простра»»ства.х» формулами Р»(х) = х| и Р.(х) = = хэ»такие преобразования называются проектированиями). Докажите, что Р,жР»=Е, РР.=Р|Р»=0, Р,=Р, О=1,2), где 0 нулевое, а Е тождественное преобразования. 6. Докажите теорему 2, приводя матрицу линейного отобра|кения элементарными преобразонанинми строк и столбцов н виду »7). 7. Пусть А линейное отображение Верно лн,что а) А».хн Г| 2»н) = А(2") П А».х»н); б) А(,2" Г|.2»н) С А».х»') Г1 А( У"')? 3 4.
Задача о собственных векторах 1. Линейные преобразования. Линейное преобразование это отображение, которое отобрал|ает линейное пространство в то же самос пространство. В этом параграфе мы будем заниматьсн исключительно преобразованиями. Все результаты об отображениях верны и для преобразований, но здесь должны быть сделаны существенные оговорки, касающиеся координатной записи преобразования. 94. Задача в войск~ванных векторах 779 Именно, для координатной записи отображения А: 2' -э.2' выбираются базисы в обоих пространствах К и хл.
Если же пространст! ва К и .2' совпадают, естественно пользоваться одним и тем же базисом и для векторов, и для их образов. Поэтому вводится следующее Определение. Матриией линейного преобразования А: К-э К в базисе е = у ез ... е„'й называется матрица, столбцы которой -- ко- ОрдниатпЫЕ СтОЛбцЫ ВЕКтОрОВ А(вз), ..., А(ва) В баЗИСЕ Е. В соответствии с этим определением формула (6) 93 для матрицы преобразования принимает вид А' = 5 'АЯ. Множество матриц А', получаемых из данной матрицы .4 по формуле (1), уяче, чем множество матриц, получаемых из той же матрицы .4 по формуле (6) 9 3 при несвязанных между собой матрицах Я и Р.
В более узком множестве, вообще говоря, не найдется матрипы канонического вида (7) 9 3, и теорема 2 9 3 не верна для преобразований. Не следует думать, что это случайное обстоятельство, связанное с "неудачным" определением матрицы преобразования. Матрица отображения задает это отобраячение, и потому все свойства отображения содержатся среди свойств его матрицы. Свойствами отображения являются те свойства его матрицы, которые инвариантны, т.
е. не меняются при переходе к другой паре базисов, а остальные описывают как бы его расположение по отношению к базисам. Теорема 2 93 по существу означает, что единственным свойством отображения является его ранг. Линейные преобразования имеют больше свойств, чем линейные отображения. Это связано с тем, что образ вектора лежит в том же пространстве, и мы получаем возможность говорить о взаимном расположении вектора и его образа. Например, приобретают смысл вопросы о том, коллицеарен ли вектор своему образу, имеют ли ядро и множество значений ненулевое пересечение. Для отображения .2к в другое пространство,2' эти вопросы лишены смысла.
Естественно, что матрица преобразования должна иметь больше инвариантных свойств, чем матрица отображения, а это означает, что множество матриц, задающих преобразование в различных базисах, должно быль уже, чем соответствующее множество для отображения. 2. Умножение преобразований. Линейные преобразования обладают той особенностью, что произведение определено для любых преобразований одного пространства. В частности, если А и В - .
преобразовании пространства Ж то определены АВ и ВА. Эти произведения, вообще говоря, различны. Однако может случиться, что АВ = ВА. В этом случае говорят, что А и В перестановачны или намл~утируюгл. Произведение АА естественно обозначить А и определить целую 180 Гл. е1. Линейные пространства положительную степень А по индукции соотношением Аь = АА~ Нулевой степенью преобразования по определению считают тождественное преобразование Е. Линейное преобразование В, представленное как линейная комбинация целых неотрицательных степеней преобразования А аоЕ+ а1А+ ... + аьА, называется многочленом от преобразования А или, точнее, значением многочлена р(1) = ао + а11+ ...
+ аь1ь па преобразовании А, и обозначается р(А). Нетрудно проверить, что любой многочлсн от А перестаповочен с А и что любые два многочлсна от А перестановочны. Отметим, что при нашем определении матрицы преобразования сохраняется все сказанное о связи алгебраических операций над отображениями с соответствующими операциями над их матрицами.
В частности, матрицей произведения ВА преобразований в базисе е будет произведение ВА их матриц, и для произвольного многочлепа р(А) матрицей в каком-либо базисе будет матрица р(А). 3. Инввриантные подпрострвнства. Рассмотрим линейное пространство 2' и его линейное преобразование А. Определение. Подпространство .У' С .з' называется инвариантным относительно А, если для каждого вектора х из .К' образ А(х) лежит в 2', или, что то же, А( У') С с' .
П р и мер 1. Рассмотрим обычное геометрическое пространство и поворот А этого пространства на угол а вокруг заданной оси р. При повороте вектор переходит в вектор, и, следовательно, поворот порозкдает преобразование трехмерного векторного пространства. Очевидно, что это преобразование линейное. Векторы, лежащие па оси р, образуют одномерное инвариантное надпространство, так как для них А(л) = х. Векторы, перпендикулярные оси р, образуют двумерное инвариантное надпространство, так как вектор, перпендикулярный оси, после поворота останется ей перпендикулярным. П ример 2. Нулевое надпространство инвариантно отоюсительно любого преобразования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
