Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Каждая линейная функции на п мерном линейном пространстве в произвольном базисе е задается линейным однородным многочленом Е(х) =,рт~' + ... + (р„~н от координат вектора в этол базисе. Коэффициенты многочлена ~ры ..., ~рп равны значениям функции на базисньчх векторах. Значенин функции Е на векторах базиса е удобно называть компоненталт или коэффициентализ функции Е в базисе е. Матрица линейного отображения п-мерного пространства в одногиерное имеет разлчеры 1 х и, т. е. это строка длины и. Предоставим читателю проверить, что это строка ц рч ... р„'ц. Формула (2) в матричном виде 95.

Линейные функции гуз записывается так: г(х) = 3 Чэ ... уэ„~! (3) Каждая строка уэ по формуле (3) определяет линейную функцию. В самом деле, уэ(ц + зз) = уц + уп и у(счц) = счу(ц). Формула (6) 93 выражает матрицу отображения в новых базисах через его старую матрицу и матрицы перехода к новым базисам. Так как в одномерном арифметическом пространстве базис фиксирован раз и навсегда, для линейной функции эта формула принимает вид (4) Здесь Чз строка коэффициентов функции в базисе е, а уз' строка ее коэффициентов в базисе е' = еЯ.

Разумеется, формулу (4) легко получить и непосредственно. Дейстнительно, уэ', = 1(е',) = уэсг, для любого з. Координатный столбец ~т, вектора е'; есть зьй столбец матрицы перехода Я. Отсюда прямо следует (4). 3. Сопряженное пространство. В 93 введены определения линейных операций для линейных отображений. В применении к линейным функциям эти определения формулируются так. Определение. Суммой линейных функций г и я называется функция 'и, значение которой для любого вектора х определяется равенством П(х) = Г(х) + б(х). Произведением линейной функции 1 на числоо называется функция а, значение которой на векторе х определяется как а(х) = н1(х).

Предложение 2. Пусть 1 и а линейные функции, а у и зр их строки коэффициентов в некотором базисе е. Тогда, су ма 1+ + а -- линейнал функция, и ее строка коэффициенгпов равна ~р+ ч(з. Для произвольного числа сь произведение его линейная функция, и ее строка коэффициентов есть оуэ. Докажем первую часть предложения. Вторан часть доказывается аналогично. Для произвольного вектора х значения функций записываются как б(х) = ~а~ и я(х) = Щ. Тогда значение суммы 1 + я на том же векторе равно ~рц+ зрс = (уз+ чр)с.

Это показывает, что 1+ я линейная функция со строкой коэффициентов уз+ зр. Предложение 3. Множество 2э всех линейньгх функций на и-мерном линейном пространстве .хэ по отношению к введенным вьпие линейным операциям представляет собой и;мерное линейное пространство. Действительно, существует взаимно однозначное отображение множества .2' на множество строк длины и, причем сумме функций соответствует сумма строк, а произведению функции на число произведение ее строки на это число.

Поскольку аксиомы линейного 13 д.в. Бекзеын~эеэ 1л. 'е1. Линейные пространстве пространства выполнены для операций со строками, они будут выполнены и для операций в х *. Следовательно, .х" -- линейное пространство,изоморфное пространству строк длины и. Определение. Линейное пространство г' всех линейных функций на линейном пространстве .ье называется сопрязкенныль для у. Выберем базис е в пространстве х' и рассмотрим линейные функции р' (1 = 1, ..., и), определяемые равенствами рп л) = ~', где ~з .— 1-я координата вектора ш (пример 3). Это означает, что р'(с ) = ' ..' (1,1 = 1,...,п), (5) или, иначе, строка коэффициентов функции р' есть 1-я строка единичной матрицы.

Отсюда легко следует, что функции р, ..., р" линейно независимы. Так как пространство г' п-мерное, эти функции составляют в нем базис. Определение. Базис р', ...,р" в ье', определяемый формулой (5), называется бивртвганальным или взаимным базису еы ...,е„пространства .У. Строка ~~ рз ...ьзв ~~ раскладывается по строкам единичной матрицы с коэффициентами зы ..., р„. Поэтому элемент 1 пространства Р со строкой коэффициентов ~)рз ... у„~) имеет разложение ь = за~ р + "+ ззнр т (6) Введем столбец р, составленный из функций р'.

Теперь разложение (6) можно переписать в матричной форме: рз (7) 1= ~)'р р Таким образом, строка координат элемента 1 б ~'* во взаимном базисе р совпадает с его строкой коэффициентов в исходном базисе еы ..., в пространства У'. Если для пространства .У' придерживаться соглашения писать компоненты вектора в столбец, а базисные векторы в строку, то формулу (7) следовало бы написать в виде 1 = Пусть в .ье базисы е и е' связаны равенством е' = е5. Найдем матрицу перехода между их взаимными базисами р и р'. Для этого напишем формулу (4) в виде (4) З 1, решив ее относительно старых коэффициентов и транспонировав, чтобы записать коэффициенты в столбе .

Мы пол чим ю' = Ф ') ю' . Отсюда видно, что матрицеб перехода вт базиса р к базису р' в пространстве К" будет матрица (Я ')т. Значит, базисы связаны формулой р' = рт(Б ')т. Если вернуться для пространства .У" к записи ,т т уэц Линейные функции 195 элементов базиса в столбец, связь базисов примет вид р=фр' (8) Пространство х' такое же линейное пространство, как и любое другое, и, следовательно, имеет сопряженное пространство .хэ элементы которого - . линейные функции на хэ'.

Предложение 4. Пространство В'*' может быть отождествлено с Х'. Доказательство. Фиксируем определенный вектор х из .2' и сопоставим каждому элементу $ Е К* число $(х). Таким образом, х можно рассматривать как функцию на В' . Эта функция линейная. Действительно, (1 + я) (х) = 1(х) + й(х), и, следовательно, х сумме функций сопоставляет сумму чисел, сопоставляемых слагаемым.

Аналогично, равенство (о1)(х) = о1(х) означает, что произведению( на о вектор х сопоставляет произведение о на число, сопоставленное 1. Итак, х лзожно отождествить с некоторым элементом И" . При этом сумма и произведение на число для векторов из В' совпадают с их суммой и произведением на число, если их понимать как функции на х'*. Это очевидно. Например, для суммы это равносильно равенству 1(х -~- у) = 1(х) + 1(у).

Теперь мы видим, что К может быть отождествлено с подпространством в Х' '. Но Йп1.хэ = с(1т.'а' = Йт.хэ, и надпространство совпадает со всем пространством. Упражнения 1. Может ли для линейной функции еа линейном пространстве х" для всех т Е 'х' выполняться: а) 1(х) > О; б) 1(х) 3 01 2. Пусть а — фиксированный вектор плоскости. Сопоставим каждому вектору х плошадь ориентированного параллелограмма, построенного пах и а, или О, если векторы коллинеарвы. Проверьте, что эта фунвция линейна, и найдите строку ее коэффнциевтов в базисе си ех, если а = ае| -Ь де . Изменив базис, проверьте формулу (4).

3. Пусть к натуральное число. Сопоставим каждому многочлену степени не выше и значение его й-й производной в точке а,. Проверьте, что этим определена линейная функция. Найдите ее координатную строку в базисах: а) 1, К1, ...,1: б) 1, (1 — а), (1 — и), ..., (1 — а)". 4. Пусть еи ..., в„е Х' и р, ..., р" Е.Х: пара биортогональных базисов. Докальите, что длн любого х Е К и лля любого 1 Е 'х' выполнено х = = р (х)с~ -~- ... + р" (х)в и 1 = 1(в1)р -~- ...

-~-1(с )р 9 6. Квадратичные формы 1. Билинейные функции. Введем следующее Определение. Билинейной функцией или билинейной формой на линейном пространстве хэ называется функция Ь от двух векторов Гл. Вй»»инейныв пространства из .К, линейная по каждому из своих аргументов, т. е. удовлетворяющая 1для любых х, у и з и любого числа о) равенстнам Ь)х + д, з) = Ь1х, з) + Ь(у, з), Ь1ох, у) = оЬ)х, у), (1) Ь1х, у + з) = Ь1х, у) + Ь1х, з), Ь1х,од) = оЬ1х., у).

Ь»х,у) = Ь(~ С'ео ~~ т1»с ) = ~~ С"»1»Ь(сов. ), или, окончательно, Ь)х,у») = У»з»»с'»1». 12) Здесь аз чисел А. = Ь1е„е ) (значения билинейной функпии на всевозможных парах базисных векторов) называются ее коэффициента»ни в базисе е. Их записывают в виде квадратной матрицы порядка ти Аэ " Ап Аз ",Ф2п А» с»ы н» ннз " Впн Эта матрица называется»натрицей билинейной функции в данном базисе. Как легко проверить умножением матриц, равенство 12) можно написать в матричном виде: Ь1х,у) = ~~В»1. (3) Матрица билинейной функции в следуюшем смысле однозначно определена: если значение Ь1х,у) для любой пары векторов получается по формуле 13) с помошью матрицы С, то С = В, т.

е. элементы С - — значения Ь на парах базисных векторов. Действительно, в этом случае мы имеем А = Ь(еее ) = е» Сев где е, и е . столбцы единичной матрицы. Пример 4 ~ 2 гл. Ъ' показывает, что А» равно элементу сц матрицы С. При замене базиса матрица билинейной функции, разумеется, меннстся. Получим закон ее изменения. Пусть С' и »1' — координатные столбцы векторов х и у н базисе е' = е5. Тогда с = Я' и т1 = Я»1'. По формуле 13) имеем Ь1х,у) = 1Я')т В(Я»1') = ~'(Я~ВЯ)»1'. Поскольку матрица В' функции Ь в базисе е' однозначно определена, В' = Я~ВЯ.

14) Пример 1. Паре векторов на плоскости сопоставим скалярное произведение. В силу известных свойств скалярного произведении это -- билинейная функция. Пусть е = д е» ... енй ". базис в К. Если С' и у» (1,1 = 1, ..., и) .. координаты векторов х и д, то значение билинейной функции Ь на этой паре векторов может быть вычислено согласно 11) так; 96. Квадратичные формы 197 Перемножая матрицы, мы получим выражение для элементов В' сс, = ~ аьас дьс (с,д = 1, ", п), % ь,с в котором вс — - элементы матрицы перехода я.

Билинейная функция Ь называется симметричной, если для любой пары векторов Ь1х, у) = Ьсу, х). Если билинейная функция симметрична, то Ь(сц, е ) = Ь(ес, е,) для любых с и,с, т. е. Ви = 17сс. Таким образом матрица В билинейной функции симметрична.

Характеристики

Список файлов книги